代表性啟發(fā)式交易者市場微觀結(jié)構(gòu)

黃東新, 周德清

(1. 紐約大學(xué)坦頓工程學(xué)院, 紐約 11201;2. 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院, 北京 100081)

1 引言與綜述

代表性啟發(fā)已被心理學(xué)家記錄為行為偏差的一種類型[1-2]. 人們經(jīng)常使用代表性啟發(fā)法來做決策. 文獻(xiàn)[1] 表示“遵循這種啟發(fā)法的人評估一個(gè)不確定事件或樣本的概率, 依據(jù)的是: (i) 與其母體的基本屬性相似的程度; (ii) 反映其產(chǎn)生過程的顯著特征的程度”.

代表性啟發(fā)往往與價(jià)格的過度反應(yīng)聯(lián)系起來, 被用來解釋動(dòng)量效應(yīng)和反轉(zhuǎn)效應(yīng). 文獻(xiàn)[3] 認(rèn)為, 大多數(shù)人會(huì)違反貝葉斯規(guī)則, 傾向于對意想不到和戲劇性的新聞事件反應(yīng)過度. 具有代表性啟發(fā)式的投資者在評估股票價(jià)值時(shí)更看重當(dāng)前信息的重要性. 與過度反應(yīng)假說的預(yù)測一致, 先前的輸家的投資組合表現(xiàn)優(yōu)于先前的贏家. 文獻(xiàn)[4] 構(gòu)建一個(gè)投資者情緒的狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型, 使投資者在保守型偏差和代表性啟發(fā)式之間轉(zhuǎn)換. 該模型依賴代表性啟發(fā)式解釋資產(chǎn)價(jià)格對新信息的過度反應(yīng). 文獻(xiàn)[5] 認(rèn)為資產(chǎn)價(jià)格對新信息反應(yīng)過度, 因?yàn)閯?dòng)量交易者根據(jù)過去的價(jià)格推斷未來的價(jià)格, 從而推動(dòng)過去贏家的價(jià)格高于他們的基本價(jià)值. 文獻(xiàn)[6] 建立一個(gè)類似的模型, 來考察代表性啟發(fā)是如何導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格對好消息或壞消息反應(yīng)過度或反應(yīng)不足的. 文獻(xiàn)[7] 提出了一個(gè)診斷性期望產(chǎn)生的信用周期模型, 一種基于代表性啟發(fā)式的信念形成機(jī)制. 在他們的信貸周期模型中,信貸息差波動(dòng)過度, 對新聞反應(yīng)過度, 而且容易發(fā)生可預(yù)測的逆轉(zhuǎn). 文獻(xiàn)[8] 使用基于代表性啟發(fā)式的信念形成模型來解釋, 為什么分析師預(yù)測最樂觀的長期收益增長的股票的回報(bào)率遠(yuǎn)低于那些預(yù)測最悲觀的股票. 在這個(gè)模型中, 分析師對新聞的反應(yīng)過度, 夸大了客觀上更有可能發(fā)生的情況的可能性.

一些學(xué)者設(shè)計(jì)了試驗(yàn)來檢驗(yàn)代表性啟發(fā)對于股票價(jià)格的影響. 文獻(xiàn)[9] 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)和調(diào)查, 以證明非專家預(yù)計(jì)過去明顯的價(jià)格趨勢將繼續(xù). 在實(shí)驗(yàn)和調(diào)查中, 投資者都預(yù)期在過去價(jià)格上漲之后, 未來價(jià)格會(huì)更高. 文獻(xiàn)[10] 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)投資者對盈余信息的過度或不足反應(yīng)的代表性和錨定調(diào)整, 以及這對盈余估計(jì)和股票估值的影響. 研究結(jié)果證實(shí), 這種過度反應(yīng)行為是由代表性啟發(fā)式偏見造成的. 文獻(xiàn)[11] 使用來自藍(lán)籌股調(diào)查和專業(yè)預(yù)測者調(diào)查的數(shù)據(jù), 調(diào)查專業(yè)預(yù)測者對信息的反應(yīng), 并發(fā)現(xiàn)對于單個(gè)預(yù)測者來說,對信息的過度反應(yīng)是常態(tài). 文獻(xiàn)[12] 證明了過度自信會(huì)增加公共信息對股價(jià)的沖擊, 并且正向影響交易量.

代表性啟發(fā)投資者可以與理性投資者共存, 甚至獲取更高的利潤. 文獻(xiàn)[13] 證明啟發(fā)式交易者可以與知情的貝葉斯交易者共存, 因?yàn)閱l(fā)式交易者對私人信息反應(yīng)過度,交易更積極, 從而使他們獲得更多的信息租金. 文獻(xiàn)[14] 構(gòu)建了代表性啟發(fā)式交易者與理性交易者競爭的動(dòng)態(tài)競爭市場模型, 發(fā)現(xiàn)由于噪聲交易者造成的錯(cuò)誤估值, 啟發(fā)式交易者能夠比理性交易者產(chǎn)生更高的預(yù)期利潤.

本文基于文獻(xiàn)[15] 的一般均衡模型, 描述了代表性啟發(fā)式交易者的最優(yōu)行為及其對市場的影響. 在第二節(jié), 分析了一個(gè)所有交易者都是代表性啟發(fā)式的市場. 在第三節(jié)中, 使用文獻(xiàn)[16] 方法, 擴(kuò)展本文的模型來內(nèi)生化噪音交易, 以進(jìn)一步研究代表性啟發(fā)式對市場均衡的影響.

2 啟發(fā)式交易者和有價(jià)信息

2.1 模型的基礎(chǔ)設(shè)置與市場均衡的形成

文獻(xiàn)[17] 基于文獻(xiàn)[14] 的理性預(yù)期模型, 考慮了一個(gè)所有交易者都過度自信的市場, 發(fā)現(xiàn)過度自信增加了預(yù)期交易量, 增加了市場深度, 降低了過度自信交易者的預(yù)期效用. 它對波動(dòng)性和價(jià)格質(zhì)量的影響取決于誰過于自信.

本模型參考了文獻(xiàn)[17] 的方法, 研究了投資者全部具有代表性偏差的市場. 市場上存在著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn). 假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為0; 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的每股支付, 其中在交易前, 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的交易者決定是否為有關(guān)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)終值的新信息支付成本c. 購買信息的人會(huì)收到一個(gè)公共信號(hào)其中以及,是相互獨(dú)立的. 然后市場會(huì)同時(shí)進(jìn)行一輪的交易.

市場的參與者包括購買信息的交易者(知情交易者), 不購買信息的交易者(不知情交易者) 和不考慮價(jià)格或價(jià)值的噪音交易者(本文中的交易者包括知情交易者和不知情交易者, 而噪音交易者被明確地稱為噪音交易者). 交易者是一個(gè)[0, 1] 連續(xù)統(tǒng), 因此每個(gè)交易者都正確地假設(shè)自己的需求不會(huì)影響價(jià)格. 每個(gè)交易者被賦予f0I的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和x0I的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn). 為方便起見, 假設(shè)噪聲交易者對每個(gè)（非噪聲）交易者的需求是, 其中因此,是每個(gè)交易者的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)供應(yīng)量. 在均衡狀態(tài)下,λ是選擇購買信息的交易者的比例.

根據(jù)新信息, 知情交易者更新其對于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)終值的均值和方差的預(yù)期. ?v的條件均值和方差的正確估計(jì)如下:

其中下標(biāo)a表明其為實(shí)際值.

然而, 正如心理學(xué)文獻(xiàn)中所討論的, 擁有代表性啟發(fā)的交易者過于重視新的信息,從而高估了新的信息與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)終值之間的相關(guān)性. 換句話說, 啟發(fā)式交易者會(huì)根據(jù)以下方式更新其均值和方差:

其中h表示啟發(fā)式交易者的信念,m是一個(gè)啟發(fā)式偏差參數(shù),m> 1. 參數(shù)m越高, 啟發(fā)式偏差越大. 此外, 為了確保Varh[|]>0, (3) 式和(4) 式意味著

在這個(gè)模型中, 所有交易者都是啟發(fā)式交易者. 每個(gè)人都高估了新信息的重要性,但一些人認(rèn)為信息的成本仍然太高, 選擇成為不知情交易者. 不知情的交易者根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格P更新其均值和方差. 正如心理學(xué)文獻(xiàn)中所討論的, 他們還高估了P和終值之間的相關(guān)性, 如下所示:

交易員i對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的稟賦為x0I, 對無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的捐贈(zèng)為f0I. 他對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需求為x1I, 對無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需求為f1I. 因此, 他最后的財(cái)富是W1I=x1I+f1I. 他的效用函數(shù)是U(W1I) = -Exp(-aW1I), 其中a是共有的絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的系數(shù). 他通過選擇是否購買信息來實(shí)現(xiàn)預(yù)期效用的最大化, 然后根據(jù)他的信息在預(yù)算約束下選擇最優(yōu)需求. 也就是說, 如果他是知情交易者, 他就會(huì)解決

如果他是不知情交易者, 他解決

條件均值和方差可以計(jì)算得

知情交易者對于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需求為

不知情交易者對于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需求為

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格可以計(jì)算為

把(10) 式和(11) 式帶入(12) 式可以得到

把(14) 式代入(13) 式可以得到

其中

如果λ≠ 0, 那么P是的線性方程, 并且這兩個(gè)在信息上是等價(jià)的.是兩個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)變量的組合, 本身是正態(tài)分布的. 因此,基于投資者的信念是正態(tài)分布的.其中包含信息的方差部分, 包含噪音的方差部分然后, 可以計(jì)算不知情交易者對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)終值的條件均值和方差為

在均衡狀態(tài)下, 即當(dāng)0 <λ< 1 時(shí), 知情交易者和不知情交易者的預(yù)期效用之間沒有差異, 因此

也可以計(jì)算出(具體證明過程見附錄)

從(15) 式和(16) 式可得

如果D<0,ru0, 那么因?yàn)樗钥砂l(fā)現(xiàn)

2.2 市場的特征與投資者的行為

命題2.1存在一個(gè)均衡, 其中知情交易者的比例為

其中

命題2.2當(dāng)λ∈(0,1), 隨著m增加, 價(jià)格的信息性Vara(v|P)-1增加.

因?yàn)槭袌鼍鉂M足, 基于啟發(fā)式交易者的信念, 知情交易者和不知情交易者具有相同的預(yù)期效用,ru=e2acrh. 隨著m的增加, 交易者將高估新信息與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)終值之間的相關(guān)性, 從而低估條件方差rh. 交易員認(rèn)為, 更多的終值信息被納入價(jià)格P, 因此基于價(jià)格的條件方差ru應(yīng)相應(yīng)減小.

所以可以輕松地計(jì)算出

并且隨著m增加,S會(huì)增加, 噪音部分D將減少.

因此隨著m增加, Vara(|P) 降低并且價(jià)格的信息性增加.

命題2.3當(dāng)λ∈(0,1) 并且如果

λ降低隨著m增加; 否則,λ先增加后減少(證明見附錄).

m以兩種方式影響λ: 首先, 啟發(fā)式交易者高估了和市場價(jià)格P之間的相關(guān)性,導(dǎo)致λ減少; 其次, 啟發(fā)式交易者高估了和新信息之間的相關(guān)性, 這導(dǎo)致λ增加.

如果h?相對較小, 即私人信息的質(zhì)量較差, 則m的增加會(huì)導(dǎo)致交易員在很大程度上高估私人信息的價(jià)值, 因此λ先增加后減少. 否則,λ單調(diào)遞減.

命題2.4當(dāng)λ∈(0,1) 時(shí), 對于許多特定的參數(shù)集(可能是所有參數(shù)集), 當(dāng)交易者高估有價(jià)信息的重要性時(shí), 知情交易者的期望效用低于不知情交易者(證明見附錄).

啟發(fā)式程度m對市場均衡的影響體現(xiàn)在很多方面.m的增加導(dǎo)致投資者對?v的條件均值增加, 條件方差減小, 因此P的價(jià)格分布、知情交易者和非知情交易者的交易量以及知情交易者λ的比例都發(fā)生了變化.

因?yàn)榻灰渍吒吖浪饺诵畔r(jià)值導(dǎo)致的λ的增加對知情交易者造成了更大的損害,所以知情交易者的預(yù)期效用低于不知情交易者.

通過數(shù)值模擬, 驗(yàn)證了對于滿足市場均衡的許多參數(shù), 不知情交易者的實(shí)際預(yù)期效用高于知情交易者.

命題2.5當(dāng)λ=1 時(shí), 即所有交易者為知情交易者, 他們相當(dāng)于做市商, 掌握有關(guān)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)終值的一些信息, 并將供應(yīng)計(jì)劃設(shè)置為

隨著m的增加, 價(jià)格的波動(dòng)性Vara(P) 增加. 如果=y0> 0, 則價(jià)格的條件均值Ea(P|y0) > Ea(|y0); 如果=y0< 0, 則價(jià)格的條件均值為Ea(P|y0) < Ea(|y0).因此, 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格對新信息反應(yīng)過度.

當(dāng)新信息的成本c很小, 或者絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)a很大, 或者噪音交易的方差很大時(shí), 每個(gè)人都會(huì)選擇成為知情交易者. 知情交易者將風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格設(shè)定為

價(jià)格由兩部分組成: Eh(|) 反映了交易者基于新信號(hào)對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)最終價(jià)值的預(yù)期,反映了噪聲交易者的需求.

這種過度反應(yīng)特征也被認(rèn)為是導(dǎo)致價(jià)格反轉(zhuǎn)的原因之一. 比如, 文獻(xiàn)[17] 解釋了經(jīng)歷極端長期收益或損失的股票的系統(tǒng)性價(jià)格反轉(zhuǎn), 與投資者過度反應(yīng)的行為假設(shè)一致. 這篇的后續(xù)論文報(bào)告了支持過度反應(yīng)假說的額外證據(jù), 這與基于公司規(guī)模和由CAPM-betas 衡量的風(fēng)險(xiǎn)差異的兩個(gè)假說不一致.

命題2.6當(dāng)λ=1 時(shí), 隨著m的增加, 市場深度(dP/dz)-1增加.

市場深度可以表示為, 交易量增加一個(gè)單位, 對價(jià)格的影響的倒數(shù). 市場深度很容易計(jì)算得

(dP/d)-1是m的遞增函數(shù), 因此, 隨著m的增加, 市場深度增加, 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的供給曲線變平. 從經(jīng)濟(jì)角度來看, 隨著m的增加, 交易者將低估條件方差rh, 并高估新信息的價(jià)值. 因此, 投資者的交易量將增加, 單位交易量的變化對價(jià)格的影響變小.

命題2.7當(dāng)λ= 1 時(shí), 如果a2≤(h?+hv)hz, 即信息的準(zhǔn)確性高, 而投資者的絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)不高, 那么價(jià)格的波動(dòng)Vara(P) 隨著啟發(fā)程度m的增加而增加; 如果a2≥(h?+hv)hz, 則價(jià)格的波動(dòng)Vara(P) 隨著啟發(fā)程度m的增加, 先減小后增大.

價(jià)格的方差

是m2的二次函數(shù). 它的對稱軸

價(jià)格方差在m2=1 的導(dǎo)數(shù)

因此, 如果a2≤(h?+hv)hz, 價(jià)格的波動(dòng)性將隨著啟發(fā)度m的增加而增加; 如果a2≥(h?+hv)hz, 則價(jià)格的波動(dòng)性隨著啟發(fā)程度m的增加先減小后增大.

從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度來看, 隨著m的增加, 價(jià)格波動(dòng)的知情部分S增加, 而噪音部分D減少. 如果交易者的絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)a很小, 那么價(jià)格波動(dòng)更多地取決于新信息因此Vara(P) 是m的遞增函數(shù). 否則, 當(dāng)m相對較小時(shí), Vara(P) 隨著m增加而減小.但在任何情況下, 當(dāng)m接近其上界時(shí),D→0, 價(jià)格波動(dòng)主要由S決定, 因此Vara(P)隨著m增加而增加.

3 噪音交易者內(nèi)生化模型

3.1 內(nèi)生的噪音交易者以及新的市場均衡模型

本文參考文獻(xiàn)[16] 的方法擴(kuò)展了模型, 去內(nèi)生化噪音交易者的行為. 噪音交易者不再只是隨機(jī)交易, 而是以最大化預(yù)期回報(bào)為目標(biāo). 市場參與者仍然包括知情交易者, 不知情交易者(前兩個(gè)統(tǒng)稱為交易者) 和噪音交易者. 所有交易者都是代表性啟發(fā)交易者.在該模型中, 時(shí)間是離散的, 由4 天組成:t=0,1,2,3.

在第0 天, 噪音交易者通過最大化他們的期望回報(bào)來決定是否進(jìn)入市場交易的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn). 噪音交易者進(jìn)入市場會(huì)得到B的獎(jiǎng)勵(lì)(例如, 被動(dòng)基金的經(jīng)理進(jìn)入市場會(huì)得到獎(jiǎng)勵(lì)), 以補(bǔ)償他們因缺乏信息而在交易中遭受的損失. 最終決定進(jìn)入市場的噪音交易者的數(shù)量是L, 其中0 ≤L≤. 由于當(dāng)L=時(shí), 模型退化為基本模型, 因此下面不討論這種情況.

在第一天, 考慮到量為L的噪聲交易者進(jìn)入市場, 交易者選擇是否支付成本c以獲得有關(guān)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)終值的新信息. 最后,λ的交易者決定成為知情交易者.

第二天, 與基本模型一樣, 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在金融市場上由交易者和噪聲交易者進(jìn)行交易. 市場價(jià)格是由供需平衡產(chǎn)生的. 在均衡的形成過程中, 所有交易者都知道均衡價(jià)格P, 噪音交易者的量L, 以及知情交易者的量λ.

并且其方差

系數(shù)L內(nèi)生性地決定了市場中噪聲交易的量. 假設(shè)交易者在交易過程中知道L, 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均衡價(jià)格和知情交易者的比例的形成機(jī)制與上述基本模型相同.

在決定是否在第0 天參與市場時(shí), 噪音交易者會(huì)按照給定的價(jià)格函數(shù)和其他噪音交易者的決定進(jìn)行交易. 交易的預(yù)期回報(bào)由兩部分組成: (1) 參與獎(jiǎng)勵(lì)B; (2) 交易的預(yù)期回報(bào)E[(-P)] 從交易單位的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn). 因此, 決定交易的噪音交易者l的總預(yù)期回報(bào)是

當(dāng)W(L) > 0 時(shí), 噪音交易者將進(jìn)入, 直到W(L) = 0;W(L) < 0 時(shí), 噪聲交易者將退出, 直到W(L)=0, 因此均衡L滿足W(L)=0.

均衡時(shí)噪音交易者的量為

有

如果D?>0, 那么

當(dāng)λ∈(0,1), 有

因?yàn)? <λ< 1, 所以上述等式在時(shí)成立. 可以發(fā)現(xiàn)λ(B) 是一個(gè)B的單調(diào)遞增函數(shù), 隨著隨著

上述討論是基于D?> 0. 如果D?= 0, 新信息的價(jià)格c= 0, 所以λ= 1,并且L=B/(arh). 如果D?<0, 那么對于任何λ,ru

3.2 拓展模型的市場特征

命題3.1存在一個(gè)均衡, 其風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格為

知情交易者的比例為

并且參與市場的噪音交易者的量為

命題3.2當(dāng)λ∈(0,1), 隨著B增加, 參與市場交易的噪音交易者數(shù)量L增加了,知情交易者的比例λ增加了, 價(jià)格的方差Vara(P)=B2(S/D+1) 與B2成正比.

當(dāng)參與市場的獎(jiǎng)勵(lì)B增加時(shí), 參與市場的噪聲交易者數(shù)量L增加, 噪聲交易增加, 因此價(jià)格傳遞的信息減少, 與知情交易者相比, 不知情交易者的預(yù)期效用降低, 更多交易者選擇成為知情交易者, 并且λ增加.

價(jià)格的方差Vara(P) =B2(S/D+1), 其中B2S/D是知情部分, 而B2是噪音部分. 每一個(gè)都與B2成比例,B越大, 波動(dòng)性越大.

命題3.3當(dāng)λ∈(0,1) 時(shí), 隨著m的增加, 如果=y0> 0, 價(jià)格的條件均值Ea(P|y0) 增加; 如果=y0<0, 則價(jià)格的條件均值Ea(P|y0) 降低. 因此, 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格對新信息反應(yīng)過度.

價(jià)格的條件均值Ea(P|y0)=BD-0.5mEa(|y0). 如果=y0>0, 隨著m增加, 知情交易者對于的估計(jì)Eh(v|y0) 增加, 噪音D降低,C1=BD-0.5增加, 所以價(jià)格的條件均值Ea(P|y0) 增加. 因此, 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格反應(yīng)過度. 啟發(fā)式程度m越大, 過度反應(yīng)越嚴(yán)重.

命題3.4當(dāng)λ= 1 時(shí), 該模型等價(jià)于hz= (arh/B)2的基礎(chǔ)模型. 隨著m增加,參與市場的噪音交易者的量L=B/(arh) 增加, 價(jià)格的方差Var(P)=S+B2增加, 市場深度(dP/dz)-1增加.

4 附錄

4.1 代表性啟發(fā)法的設(shè)置

關(guān)于代表性啟發(fā), 文獻(xiàn)[6] 將其設(shè)置為

關(guān)于過度自信, 文獻(xiàn)[16] 將其設(shè)置為

當(dāng)η=1 , 并且

存在

因此, 在文獻(xiàn)[14] 中設(shè)置的代表性啟發(fā)是過度自信的特例.m和k形成一對一的映射,并且兩者共同增加.對應(yīng)于k→∞. 當(dāng)不考慮期望效用時(shí), 代表性啟發(fā)式交易者與過度自信者具有完全相同的特征. 也就是說, 有相應(yīng)的m和k使得兩者的交易量和利潤是相同的. 因此該設(shè)置并不是一個(gè)對于代表性啟發(fā)的良好的建模.

因此, 在本文中, 將啟發(fā)式交易者估計(jì)的條件均值和方差設(shè)置為

4.2 證明

(16) 式的證明:

命題2.3 的證明: 隨著m增加,rh降低,S增加. 當(dāng)λ∈(0,1) 時(shí), 有

讓f=λ2hz(e2ac-1)/a,p=,q=e2ac,x=rh. 可得

f(x) 的定義域?yàn)閞h∈[0,ra]. 在rh=0 時(shí),隨著所以先大于0, 然后小于零; 或者一直大于0. 因此, 當(dāng)λ∈(0,1) 時(shí), 隨著m增加,λ先增加后減少, 或者是單調(diào)遞減. 把rh=ra帶入(48) 式, 有

隨著m增加,λ單調(diào)遞減, 否則,λ先增加后減少.

命題2.4 的證明: 知情交易者實(shí)際的期望效用為

其中

不知情交易者實(shí)際的期望效用為

其中