一類半線性橢圓問題非平凡解的存在性

高婷梅

(陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 漢中 723000)

1 主要結(jié)果

考慮下面的Dirichlet邊界值問題

-△u+b(x)u=f(x,u),x∈Ω,u=0,x∈?Ω,

(1)

在文獻(xiàn)[1]中,作者在(AR)條件成立的前提下研究了方程(1):

此(AR)條件對于證明相應(yīng)的泛函具有山路幾何結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的(PS)c序列有界時起著至關(guān)重要的作用, 但它卻不包含一些超二次非線性項(xiàng), 例如

為了克服缺失(AR)條件帶來的困難,很多數(shù)學(xué)家作出了努力，可見文獻(xiàn)[2-8]。本文中, 假設(shè)條件(f1)成立,在缺乏(AR) 條件的情況下證明方程(1)存在非平凡解。下面給出本文的主要結(jié)果。

定理假設(shè)f(x,t)滿足(f1)和以下條件:

(f4) 存在常數(shù)θ≥1,θ0>0使得θG(x,s)≥G(x,t)-θ0對所有的x∈Ω,0≤t≤s都成立, 其中G(x,t)=f(x,t)t-2F(x,t)。

則方程(1)至少存在一個非平凡解。

注：文獻(xiàn)[9-10]中,在缺乏(AR)條件的情況下,利用局部環(huán)繞定理(見文獻(xiàn)[1])證明了方程(1)至少存在一個非平凡解,但是卻假設(shè)以下條件成立:

顯然, 條件(f4)不同于條件(f0);其次,本文利用了條件(f3),由于0≤a<+∞, 這包含了文獻(xiàn)[9-10]中的情形。

2 定理的證明

由條件(f3),常數(shù)a<+∞,可以分成兩種情況:

,e2,…,en},n∈N,

(a) 證明I在0處關(guān)于(X1,X2)局部環(huán)繞,即存在δ0>0,使得

I(u)≤0,?u∈X2且‖u‖≤δ0,

I(u)≥0,?u∈X1且‖u‖≤δ0。

λk-1st2≤tf(x,st)≤λkst2。

(2)

因?yàn)閐imX2<+∞,則存在C1>0,使得

‖u‖∞≤C1‖u‖, ?u∈X2,

所以由式(2)可知

其中C3>0是一個常數(shù)。因?yàn)閝>2,則對所有的u∈X1,當(dāng)‖u‖足夠小時,有I(u)≥0。

(b) 證明I滿足(PS)*條件。

假設(shè){uαn}是一個使得αn可容許的序列,并且滿足

(3)

ωn→ω在L2(Ω)中,

ωn(x)→ω(x)， a.e.x∈(Ω)。

∞, a.e.x∈Ω+,

上式可以推出

→+∞,n→+∞, a.e.x∈Ω+,

(4)

由條件(3),有

所以

≤1+C4‖b‖∞≤C0,

其中C4,C0>0是常數(shù)。這和(4)式矛盾。

(5)

由上式可得

I(tnun)→+∞,n→+∞。

(6)

注意到I(0)=0且I(un)≤c,因此當(dāng)n充分大時tn∈(0,1)。所以

從而

(7)

因?yàn)?≤tn≤1,所以|tnun|≤|un|,連同 (f4),(6)以及(7)式可以得到,當(dāng)n→+∞時,

(8)

然而由(3)可知

這和(8)式矛盾。所以{un}有界。

F(x,t)≥M1t2-M2, ?(x,t)∈Ω×R，

所以

利用局部環(huán)繞定理,方程(1)存在一個非平凡解。

Ⅱ 假設(shè)0≤a<λ1,利用一個變化的山路引理(見文獻(xiàn)[11])證明定理。

由條件(f2)和(f3),對任何ε>0,存在A>0使得

上式結(jié)合Poincare不等式和Sobolev不等式可得

則有

I|?Bρ≥β>0。

(c′)證明泛函I滿足(C)條件。

I(un)→c, (1+‖un‖)‖I′(un)‖→0,n→+∞,

利用變化的山路引理, 可以得到方程(1)的一個非平凡解。

定理得證。

[參考文獻(xiàn)]

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