一類線性Weingarten子流形的分類問題

楊 丹, 丁 宇, 黃坤龍

(沈陽大學(xué) 師范學(xué)院, 遼寧 沈陽 110044)

對于de Sitter空間中具有常數(shù)量曲率的完備的類空子流形Mn,Chaves等[5]證明了:如果Mn具有平行平均曲率向量且截面曲率是非負(fù)的,則Mn是全臍子流形或者是M1×…×Mk乘積流形,其中,Mi是全臍的.

線性Weingarten子流形是指平均曲率H和數(shù)量曲率R滿足R=aH+b的子流形.線性Weingarten子流形是常數(shù)量曲率子流形的一種推廣.本文主要考慮de Sitter空間中完備的類空線性Weingarten子流形.主要得到了如下結(jié)果.

M1×M2×…×Mk.

式中,Mn是全臍子流形并且互相是正交的.

注1 如果Mn具有常平均曲率H和常數(shù)量曲率R,則必存在一個(gè)常數(shù)a,使得R=aH.因此,本文得到的定理是文獻(xiàn)[5]中定理1.9 的一種推廣.

1 預(yù)備知識

式中,εi=1(1≤i≤n),εα=-1(n+1≤α≤n+p).

本文做如下記號:

限制到Mn上,得到

ωα=0 (α=n+1,…,n+p).

誘導(dǎo)在Mn上的度量為

令

(1)

則二次型

?ωj?eα

是Mn的第二基本形式.令

Mn的平均曲率向量ξ定義為

平均曲率向量ξ的長度稱為Mn的平均曲率,記為H.當(dāng)ξ≠0時(shí),選擇平均曲率向量的方向?yàn)榈谝环ㄏ蛄康姆较?使得

得到Mn的結(jié)構(gòu)方程為

Gauss方程為

(2)

令Rij和R分別為Mn的Ricci曲率和標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)量曲率,由式(2)知

此外,法曲率張量為

(5)

對式(1)微分,得到Codazzi方程:

(7)

對式(7)求外微分,得到如下Ricci恒等式:

第二基本形式的拉普拉斯算子定義為

由式(7)和式(9)得到

由于

通過簡單地計(jì)算得到

再由式(2)和式(5),通過直接計(jì)算知

式中,N(A)=tr(AA⊥).由于en+1與ξ的方向相同,得到ξ=Hen+1,且

Hn+1=H,Hα=0 (α=n+2,…,n+p).

(13)

由式(6)和式(13)知

假設(shè)ξ/H是平行的,則ωn+1,α=0,且

(14)

令

則由式(13)容易驗(yàn)證

(17)

容易驗(yàn)證它是個(gè)無跡的張量,并且

(18)

將式(13)～式(18)代入到 式(12)中得到

(20)

在式(20)中,令f=nH,由式(4)知

將式(19)代入到式(21),得到

引入如下算子:

為了完成定理的證明,還需要以下結(jié)果.

(n-1)a2+4n(1-b)>0,

則

此外,如果等式成立,則H是常數(shù).

注2 當(dāng)b<1時(shí),由引理1知

此外,如果等式成立,則H是常數(shù).

引理2[7]令B1和B2是對稱的n×n階矩陣,滿足

[B1,B2]=O,trB1=trB2=0,

則

2 定理的證明

對于每一個(gè)法向量場eα,選擇e1,…,en,使得

記截面曲率的下確界為KM, 則得到

所以

另外,容易驗(yàn)證

(25)

將式(14)、式(24)和式(25)代入到式(11)中得到

由式(21)和式(26)得到

由R=aH+b和式(27)知

由于Mn的截面曲率是非負(fù)的,由注2知

因?yàn)長是橢圓型算子,且平均曲率在Mn上能夠達(dá)到最大值,所以H是常數(shù),故

(1)LαLβ=LβLα(對所有的α和β),所以Mn的法叢是平坦的,所有的矩陣Lα能夠同時(shí)對角化;

由式(1)、式(2)和式(23)可知

又由于Rijij≥0,從而

應(yīng)用與文獻(xiàn)[8]中引理 5.1、引理5.2、定理 1.3同樣的方法可以得到如下結(jié)論:

Mn是全臍子流形或者是乘積流形M1×…×Mk,其中,Mi是全臍子流形并且互相是正交的.

參考文獻(xiàn):

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