稀疏網(wǎng)格配置法在隨機Burgers’方程中的應(yīng)用

蔡國憲， 李炯天， 樸光日, 金元峰

( 1.韓國亞洲大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 水原 443-749； 2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

許多物理問題存在各種不確定性,其中的量化不確定性包括動蕩、氣候?qū)W、湍流燃燒、多孔介質(zhì)流和流體力學(xué)等領(lǐng)域.不確定性的數(shù)值模擬對研究隨機微分方程具有重要意義，其研究方法一般采用蒙特卡羅方法和隨機Galerkin方法，然而這兩種方法在模擬多維的隨機非線性方程時需解決大量成本的問題；因此，提高計算精度和效率對研究更多的隨機非線性方程問題有著重要意義.本文利用蒙特卡羅方法和隨機稀疏網(wǎng)格配置法對隨機Burgers’方程進行考察，驗證了隨機稀疏網(wǎng)格配置法在計算效率和精度上的優(yōu)勢.

1 隨機配置方法

定義1(Ω,F,P )為概率空間，其中Ω為樣本空間, F為樣本空間Ω子集上的σ-代數(shù)， P為F上的概率測度.

考慮對于隨機變量η∶Ω→R的確定函數(shù)f∶R→R.顯然，f滿足f(ω)=f(η(ω)).

u(z;0,t)=a(z;t),u(z;1,t)=b(z;t),u(z;x)=c(z;x).

為了求時間和空間點對于概率空間的平均和方差，首先利用一維Lagrange內(nèi)插式得出關(guān)系式(1)：

(1)

這里M為配置點的個數(shù).利用(1)式可以得出如下的一維隨機函數(shù)uh,p(z;x,t)在概率空間上的平均和方差的近似值：

(2)

(3)

其中ωi表示對應(yīng)的Gauss積分點zi的權(quán)重.

2 全張量積(TP)插值法

上式中zk方向的多項式次數(shù)為k(in)-1.

(4)

3 稀疏網(wǎng)格配置法

稀疏網(wǎng)格配置方法是由俄羅斯數(shù)學(xué)家Smolyak[4]于1963年提出的，它是一種多變量問題的數(shù)值離散方法，可有效求解多維積分[3-6].

(5)

對于d維的函數(shù)g， Smolyak’s方法可由式子

(6)

得到，其中l(wèi)∈N，k∈Nd.

由(6)式可得出全張量積稀疏網(wǎng)格配置式：

(7)

其中k滿足|k|∞=max{kj}≤l和|k|1≤l+d-1.利用(5)式和(6)式可得出[7-8]:

圖1和圖2是用Clenshaw-Curtis方法[9]得到的全張量積(TP)插值法和稀疏網(wǎng)格配置法的二維配置點.

圖1 全張量積插值配置點

圖2 嵌套式稀疏網(wǎng)格配置點

4 實驗結(jié)果

本文考慮如下的隨機Burgers’方程：

u(ξ;0,t)=1+0.2ξ1,u(ξ;1,t)=-1-0.2ξ2,u(ξ;1,0)=-2-0.2(ξ1+ξ2)x+1+0.2ξ1，

υ=0.01, Δt=0.1, Δx=1/80,T=1，ξ1,ξ2∈U (0,1).

(8)

利用二維隨機變量的稀疏網(wǎng)格配置法計算(8)式解的均值和方差.圖3和圖4是在時間T=1時(8)式解的均值和方差,其中L2、L4和L6分別表示稀疏網(wǎng)格配置法的級別.圖5是x軸采樣點和y軸誤差的關(guān)系，其中‘+ - - +’折線顯示蒙特卡羅方法的采樣點與解的收斂關(guān)系，‘0- -0’折線顯示蒙特卡羅方法取104個采樣點時的解與稀疏網(wǎng)格配置法在不同級別解的關(guān)系，‘△- -△’折線顯示稀疏網(wǎng)格配置法在臨近的級別之間誤差的減少趨勢.

圖3 時間T=1時(8)式解的平均

圖4 時間T=1時(8)式解的方差

圖5 誤差的比較

實驗結(jié)果(圖5)表明：在計算精度上，稀疏網(wǎng)格配置法的收斂速度明顯優(yōu)于蒙特卡羅方法，因此可以說明稀疏網(wǎng)格配置法在求解隨機Burger’s方程方面具有可行性.表1和表2中給出的是用蒙特卡羅方法和稀疏網(wǎng)格配置法的計算時間(所用計算機為win 7, Intel i 7 2.93 GHz， 8 GB內(nèi)存).由表1和表2可以看出，蒙特卡羅方法取10 000個采樣點時需要722 s，而稀疏網(wǎng)格配置法到第6個級別只需要23 s.從圖3和圖4可以看出,稀疏網(wǎng)格配置法在第6個級別已經(jīng)很接近蒙特卡羅方法取10 000個采樣點時的結(jié)果.由此表明，嵌套式稀疏網(wǎng)絡(luò)配置法的計算精度以及計算效率比蒙特卡羅方法有很大的提高.

表1 蒙特卡羅方法的計算時間

表2 嵌套式稀疏網(wǎng)格配置法的計算時間

參考文獻：

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