空間解析幾何教學(xué)改革的一些探討

謝 正，李建平

（國防科技大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南 長沙 411105）

空間解析幾何教學(xué)改革的一些探討

謝 正，李建平

（國防科技大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南 長沙 411105）

空間解析幾何是高校教學(xué)中一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，結(jié)合國內(nèi)外幾何學(xué)科發(fā)展趨勢，開展教學(xué)改革，以緊跟國際發(fā)展趨勢是必然之舉.本文在解析幾何教學(xué)的課堂實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)分析的基礎(chǔ)上，總結(jié)提出了精簡原解析幾何課時，增加幾何系列課程教學(xué)內(nèi)容，面向啟發(fā)性的習(xí)題設(shè)計(jì)等一些改革舉措，對該課程教學(xué)改革有一定有借鑒作用.

解析幾何；教學(xué)方法；啟發(fā)式教學(xué)

1 前言

從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來課，該學(xué)科存在三大結(jié)構(gòu)，即分析結(jié)構(gòu)，代數(shù)結(jié)構(gòu)與幾何結(jié)構(gòu).分析系列和代數(shù)系列，由于有全校公共課《高等數(shù)學(xué)》與《線性代數(shù)》的教學(xué)任務(wù)，因此我系組織了全國與全軍教學(xué)名師為核心，中青年教員為主力的強(qiáng)大的教學(xué)團(tuán)隊(duì)，課程建設(shè)相對完備[1-3].相比之下，幾何系列課程的建設(shè)基礎(chǔ)與人員配置相對薄弱.這部分是因?yàn)槲倚?shù)學(xué)專業(yè)的設(shè)置目的具有強(qiáng)烈的專業(yè)應(yīng)用背景，從而弱化了一些數(shù)學(xué)方向，特別是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向，以幾何為研究方向的教員較少.

空間解析幾何，又稱為坐標(biāo)幾何或卡氏幾何，是使用代數(shù)方法進(jìn)行研究的幾何學(xué).研究工具為二維或三維的直角坐標(biāo)系來研究平面、直線、曲面和圓的方程[4-6].解析幾何的提出是被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開端.空間解析幾何作為幾何系列課程的第一門教學(xué)課程，是我校數(shù)學(xué)和物理專業(yè)的大學(xué)第一學(xué)期的專業(yè)必修課.全校公共課高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中也包含了12學(xué)時的解析幾何內(nèi)容.因此，可以看出解析幾何是高校教學(xué)中一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，開展教學(xué)改革以緊跟國際發(fā)展趨勢是必然之舉.

為適應(yīng)國防現(xiàn)代化和軍隊(duì)信息化建設(shè)需要，圍繞高素質(zhì)新型軍事人才培養(yǎng)目標(biāo)，我系開展了幾何系列課程的教學(xué)改革研討，通過借鑒國內(nèi)外大學(xué)先進(jìn)的教學(xué)改革理念和思想，結(jié)合目前我國高中幾何教學(xué)內(nèi)容，對2009年所制定的幾何系列教學(xué)方案，在課程設(shè)置、課程名稱、教學(xué)內(nèi)容，以及課程時間做出了較大的調(diào)整，群策群力形成了新的幾何系列課程的改革方案，完善和改進(jìn)目前學(xué)校數(shù)學(xué)課程存在的一些問題，使我校的數(shù)學(xué)課程教學(xué)更加符合技術(shù)應(yīng)用型人才培養(yǎng)的建校宗旨.為了進(jìn)一步增強(qiáng)我校數(shù)學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)的科學(xué)性與先進(jìn)性，我們根據(jù)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合對學(xué)員背景知識和教學(xué)感受的訪查，比對高等數(shù)學(xué)中解析幾何的教學(xué)效果，分析我?！犊臻g解析幾何》課程的教學(xué)內(nèi)容、課時安排，考核方式等方面存在的問題，同時也可以為我系幾何系列課程總結(jié)行之有效的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與改革舉措提供素材.

2 課程分析

2.1 教學(xué)組織與安排

《空間解析幾何》的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生(1)掌握平面曲線、空間直線、平面、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面、二次曲面等的基本性質(zhì)；(2)提高用代數(shù)方法解決幾何問題的能力；(3)能夠熟練使用至少一種數(shù)學(xué)軟件(Maple,Matlab等)進(jìn)行作圖和計(jì)算解析幾何中的問題；(4)培養(yǎng)空間感覺，為今后學(xué)習(xí)其它幾何課程打下必要的基礎(chǔ).

教學(xué)內(nèi)容包括：空間坐標(biāo)系、向量與它的幾何表示、向量內(nèi)積、外積、混合積、平面的方程、點(diǎn)到平面的距離、直線的方程、平面與直線之間的位置關(guān)系、空間曲線與曲面的參數(shù)方程、柱面、錐面、二次柱面與二次錐面、以及正交變換與仿射變換等內(nèi)容.課程學(xué)時分配如表1所示.

表1 空間解析幾何課程學(xué)時分配

2011年秋季，我們就《空間解析幾何》教學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)、難點(diǎn)以及建議對2011級應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)與應(yīng)用物理專業(yè)學(xué)員做訪問調(diào)查，現(xiàn)將調(diào)查訪問結(jié)果整理如表2所示.每項(xiàng)調(diào)查僅列出反應(yīng)最多前三項(xiàng).

從以上訪談?wù){(diào)查結(jié)果不難看出，在解析幾何課程教學(xué)當(dāng)中，講授內(nèi)容簡單成為教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也能成為教學(xué)的缺點(diǎn)，成為學(xué)生學(xué)習(xí)課程的障礙.因此，如何正確選擇教學(xué)內(nèi)容，形成一套有效的教學(xué)模式至關(guān)重要.同時，學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的實(shí)踐環(huán)節(jié)和討論互動環(huán)節(jié)是非常期望的.

針對教學(xué)內(nèi)容和高中內(nèi)容有重復(fù)的不足之處，我們首先分析一下高中的幾何教學(xué)內(nèi)容.高中幾何課程中所教授的幾何學(xué)包括平面解析幾何和立體幾何，其中：(1)平面解析幾何包括：直線、圓錐曲線、橢圓、雙曲線、拋物線、坐標(biāo)變換、參數(shù)方程、極坐標(biāo).(2)立體幾何包括：直線與平面：空間中的直線與平面、直線與平面的平行和垂直關(guān)系、平面之間的平行于垂直關(guān)系、二面角、多面體與旋轉(zhuǎn)體、球、圓柱，以及圓錐等內(nèi)容.因此現(xiàn)有教學(xué)內(nèi)容的第一章、第二章，以及第三章的內(nèi)容和高中幾何內(nèi)容重復(fù)性大，可以大幅縮減，節(jié)約課時.針對增加現(xiàn)代幾何教學(xué)內(nèi)容等建議，我們認(rèn)真學(xué)習(xí)了國內(nèi)外知名大學(xué)的幾何課程，正所謂他山之石，可以攻玉.下面我們以牛津大學(xué)幾何課程《GeometryI,II》[7,8]教學(xué)內(nèi)容為例，進(jìn)行分析：

《GeometryI》，一共7講，其內(nèi)容相當(dāng)于我校的《空間解析幾何》.

（1）向量幾何：向量的性質(zhì)、向量的長度與標(biāo)量積.

（2）三維幾何與向量積：向量的外積、混合積（scalartriple product）、二重外積（vectortripleproduct）、直線方程.

（3）等距變換：向量的等距變換、坐標(biāo)系的等距變換、2階正交矩陣、R3中的旋轉(zhuǎn).

（4）曲線與曲面：曲線、R3中的曲面.

（5）二次曲線：二次曲線的Focus-directrix定義、卡氏坐標(biāo)下的曲線方程、極坐標(biāo)下的曲線方程、拋物鏡面.

《GeometryII》，一共8講，其內(nèi)容相當(dāng)于復(fù)幾何與球幾何的初步介紹.

（1）DelFerro-Tartaglia-Cardano方法、復(fù)數(shù)表示的三角不等式、夾角、直線與圓的方程；

（2）方程的行列式形式、Ptolemy定理

（3）反演點(diǎn)(Inversepoints)與Apollonius定理、Mobius變換

（4）圓與直線（circline，直線視為半徑為無窮大的圓）上的Mobius變換

（5）Mobius變換的共形（保角）性質(zhì)、球極投影、黎曼球面

（6）球面S2上的圓

（7）球幾何、球面三角形、球面的正則劃分、正多面體

（8）球面三角形、對偶性、對偶三角形

通過對牛津大學(xué)幾何講義分析，發(fā)現(xiàn)牛津大學(xué)的講法和我校存在較大的不同.同樣是講直線方程，但是講法并不相同，我校的講法遵循基本講法，牛津大學(xué)講義遵循現(xiàn)代的形式講法，而這種講法恰巧是和現(xiàn)代符號計(jì)算，以及機(jī)器人視角等前沿問題緊密結(jié)合的.從下面的例子可見一斑：

求解方程r∧a=b.

兩邊與a做外積，得a∧(r∧a)=(a·a)r-(a·r)a=a∧b.

從內(nèi)容上看，牛津大學(xué)的《GeometryI》和我校的《空間解析幾何》內(nèi)容一樣，但是強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)不一樣，其使用的語言和現(xiàn)代數(shù)學(xué)接軌.從課時上看，一共7學(xué)時，是我們學(xué)時的一半.《GeometryII》進(jìn)一步介紹復(fù)幾何的基本知識，為今后的復(fù)變函數(shù)與多復(fù)變函數(shù)打下基礎(chǔ).數(shù)學(xué)大師陳省身先生曾說過，多復(fù)變的寶藏，挖掘十未盡其一.計(jì)算數(shù)學(xué)家王仁宏教授在多元樣條領(lǐng)域開創(chuàng)性的工作也源于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中多復(fù)變領(lǐng)域的Bezout定理.

表2 空間解析幾何教學(xué)學(xué)員訪談?wù){(diào)查結(jié)果

3 改革舉措

3.1 精簡原解析幾何課時

為豐富學(xué)員的們知識面，精簡和高中內(nèi)容相關(guān)內(nèi)容，節(jié)約課時,按講義作為單元，進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的整合，讓學(xué)員在較短的時間內(nèi)高效學(xué)完整組的教學(xué)內(nèi)容，關(guān)于第一、二章關(guān)于空間坐標(biāo)系、向量代數(shù)、與平面與直線等內(nèi)容用6～8學(xué)時即可完成，重點(diǎn)講授向量的外積與混合積，剩下的課時用來增加學(xué)員的知識面.對于高中時學(xué)過的內(nèi)容，都用向量形式簡潔的表達(dá)，并由二維、三維情形推廣到高維情形.例如，任意維數(shù)的向量空間中的，球方程（對于2維向量空間，為圓方程）可表示為|r-c|=d，其中r是球上點(diǎn)的位置向量，球心為c，半徑為d.我們還可以引導(dǎo)學(xué)員自己給出其等價形式，如(r-c)·(r-c)=d2，r·r-2r·c-c·c=d2，以便加強(qiáng)對學(xué)員們向量運(yùn)算的理解.再如r0是直線L上的一點(diǎn)，n是垂直于L的向量，這L方程為(r-r0)·n=0，再根據(jù)內(nèi)積的分配率寫為r·n=r0·n.

為了驗(yàn)證精簡課時的可行性，我們對學(xué)過《高等數(shù)學(xué)》中的解析幾何內(nèi)容（6學(xué)時）的大學(xué)第二學(xué)期的高等數(shù)學(xué)高級班（簡稱高班）學(xué)員測試了2011年秋季學(xué)期的空間解析幾何期末考試題.平均分達(dá)到85分.同樣的試卷，理學(xué)院的學(xué)員平均分為89分，但是學(xué)習(xí)了38個學(xué)時.時效比為

6.049 :1，高班明顯占優(yōu).試驗(yàn)表明精簡課時勢在必行.

3.2 增加幾何系列課程教學(xué)內(nèi)容

根據(jù)調(diào)查訪問學(xué)員的所反饋情況，學(xué)員們建議加強(qiáng)增加現(xiàn)代幾何教學(xué)內(nèi)容.因此需要開始相關(guān)課程，使我校的幾何系列課程教學(xué)更加符合技術(shù)應(yīng)用型人才培養(yǎng)的建校宗旨.下面我們對幾種幾何學(xué)作為添加內(nèi)容的優(yōu)點(diǎn)做一些簡要的闡述.

（1）復(fù)幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域之一.復(fù)數(shù)相對于二維向量空間中的向量，有明確的幾何意義.因此，可以適當(dāng)?shù)募訌?qiáng)復(fù)數(shù)方法在解析幾何應(yīng)用的介紹.一方面通過復(fù)數(shù)運(yùn)算，簡介證明實(shí)數(shù)空間中的解析幾何的定理，例如Ptolemy定理，提高學(xué)員們對復(fù)幾何領(lǐng)域的興趣.另一方面可引導(dǎo)學(xué)員將實(shí)幾何中的內(nèi)容，推廣到復(fù)幾何，培養(yǎng)學(xué)員的動手能力.例如：對于向量的三角不等式|z+w|≤|z|+|w|的推廣到復(fù)數(shù)的證明.，又，故綜上三式，復(fù)數(shù)的三角不等式得證.

再如復(fù)向量空間中的球方程：|z-α|=r.其形式和實(shí)空間一樣，但是展開寫為，和實(shí)空間含義不一樣.

（2）射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過射影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì).它是一種非度量形式的幾何學(xué).首先由Desargues于17世紀(jì)發(fā)展，一直到19世紀(jì)初期透過J.V.Poncelet等人的工作，而成為幾何學(xué)中一個分支.射影幾何源自于美術(shù)上的透視法原則，歐洲文藝復(fù)興時期透視學(xué)發(fā)展，給射影幾何的發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件.在射影幾何里，兩條平行直線在無窮遠(yuǎn)處相交，該點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn).無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的軌跡是一條無窮遠(yuǎn)直線，這些與向量空間中的解析幾何是不相同的.射影幾何里最基本的概念之一就是交比.例如，以S為中心，從S引出四條射線.另一條直線L與射線束分別交于A,B,C,D.則AB·CD/BC·AD稱為該線束的交比.不論直線L位置如何，交比的值總是不變的.交比在射影變換下的不變是射影幾何中的基本性質(zhì)，射影幾何學(xué)里許多重要的性質(zhì)可據(jù)此推導(dǎo)而來.

（3）仿射幾何是研究圖形在仿射變換下不變性質(zhì)的幾何學(xué).所謂仿射變換是仿射空間到自身保持點(diǎn)的共線、共面性以及保持直線的平行性的變換.因此該幾何不涉及到任何原點(diǎn)、長度或者角度概念.在仿射變換下，直線變?yōu)橹本€，平行直線變?yōu)槠叫兄本€，但長度與角的大小要改變.歐拉在論述解析幾何與微分幾何的坐標(biāo)變換時涉及到仿射坐標(biāo)變換.該學(xué)科位于歐氏幾何和射影幾何之間，作為歐氏幾何的一種擴(kuò)展.Mobius引入仿射幾何的一些基本概念,用它來計(jì)算物體的重心，后來運(yùn)用于形變力學(xué)的研究.仿射幾何可看出是射影幾何的特例，在仿射空間中引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，就成為射影空間.Klein用變換群的觀點(diǎn)研究幾何學(xué)，將幾何學(xué)看作是某種元素對于變換群的不變量理論.據(jù)此，射影幾何學(xué)就是圖形元素關(guān)于射影群不變量的理論，而仿射變換構(gòu)成的群就成為射影變換群的一個子群.

3.3 面向啟發(fā)性的習(xí)題設(shè)計(jì)

我們在習(xí)題的設(shè)計(jì)過程中，注重習(xí)題本身的真實(shí)性與典型性.真實(shí)性是指習(xí)題需要是對某種具體情景的記錄，來源于生活實(shí)踐，不是為了反映教學(xué)內(nèi)容而簡單虛構(gòu)的事例；典型性是習(xí)題需要有足夠的代表性，習(xí)題所描述的內(nèi)容是日常接觸到的情景，與相關(guān)專業(yè)知識的自然直接的聯(lián)系.目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生有強(qiáng)烈的主觀愿望去分析習(xí)題，達(dá)到啟發(fā)式教學(xué)的目的.下面我們設(shè)計(jì)了兩個習(xí)題.

（1）文本相似性處理.將詞匯作為坐標(biāo)，則文章可以視為詞匯組成的高維向量空間的向量.對于中文文章“的”，“得”，“地”，或英文文章中的“The”,“an”，“some”之類的通用詞匯，對文章的內(nèi)容的區(qū)分度不大，因此需要減小它們的作用.一般來講，詞匯的重要性隨著它在文章中出現(xiàn)的次數(shù)成正比增加，但同時會隨著它在所有文章中出現(xiàn)的頻率成反比下降.TF-IDF（term frequency-inverse document frequency）方法就是基于這個思想提出的，是一種基于統(tǒng)計(jì)并廣泛應(yīng)用于文本挖掘的方法，可以評估詞匯對文章的重要程度.TF-IDF加權(quán)的各種形式常被搜索引擎應(yīng)用，作為文件與用戶查詢之間相關(guān)程度的度量或評級.TF-IDF權(quán)重計(jì)算方法經(jīng)常會和向量的內(nèi)積所定義的相似性一同使用于解析幾何中的向量空間模型，用以判斷兩份文件之間的相似性.

（2）從向量的內(nèi)積、外積到機(jī)器人視覺.解析幾何的創(chuàng)立者之一，Descartes曾設(shè)想構(gòu)建一種幾何體之間直接運(yùn)算的代數(shù)工具.經(jīng)過Hamilton，Glassman，Cayley，Clifford，Hestenes等人的努力建立了幾何代數(shù)，又稱為Clifford代數(shù)，是綜合了內(nèi)積和外積兩種運(yùn)算，在幾何和物理中在很多應(yīng)用的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.幾何代數(shù)是復(fù)數(shù)、四元數(shù)和外代數(shù)的推廣，應(yīng)用于廣義相對論、量子力學(xué)、量子場論、射影幾何、微分幾何、共形幾何等學(xué)科研究中.特別幾何代數(shù)在機(jī)器人視覺中有著重要的運(yùn)用.首先通過視覺傳感器獲取環(huán)境的二維圖像，這是三維空間到二維空間的投影，然后通過對射影空間中的幾何體做幾何代數(shù)運(yùn)算，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和解釋，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為符號，讓機(jī)器人能夠辨識物體，并確定其位置.機(jī)器人視角廣泛應(yīng)用于電子、汽車、機(jī)械等工業(yè)部門和醫(yī)學(xué)、軍事等領(lǐng)域.

3.4 有選擇地開展雙語教學(xué)

雙語教學(xué)目前倍受重視，國家留學(xué)基金委自2001年開始，每年都選拔教員赴國外培訓(xùn)，增強(qiáng)教員和學(xué)員同國際科學(xué)家們的溝通的能力.雙語教學(xué)模式主要有以下三種[9]：第一種是全英文的教學(xué)模式，稱為完全雙語模式；第二種是在同時使用漢語和英語的教學(xué)模式，稱為部分雙語模式；第三種在雙語教學(xué)的開始階段部分地或全部使用漢語，然后逐步過渡到僅使用英語的學(xué)習(xí)，稱為過渡教學(xué)模式.根據(jù)我校特點(diǎn)可適當(dāng)推行過渡式雙語教學(xué)模式：使用英文的教材與課件，逐漸過渡到全英文講授模式.在這種雙語教學(xué)模式下，除了講授專業(yè)知識外，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的英語語言能力，包括專業(yè)詞匯以及口語交流等能力.

4 結(jié)束語

《空間解析幾何》是我校應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)與應(yīng)用物理專業(yè)中一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，可直接為《高等代數(shù)》提供直觀的幾何背景，為領(lǐng)悟其結(jié)論的精神實(shí)質(zhì)提供幫助；同時也是學(xué)習(xí)許多其它后繼課程的重要基礎(chǔ)，本文在解析幾何教學(xué)的課堂實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)分析的基礎(chǔ)上，提出了一些改革舉措，對該課程教學(xué)改革有一定有借鑒作用，同時對進(jìn)一步加強(qiáng)幾何系列課程建設(shè)有一定的參考價值.

〔1〕朱建民，李建平.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社,2007.

〔2〕李建平，等.高等數(shù)學(xué)——典型例題與解法.國防科技大學(xué)出版社,2003.

〔3〕王萼芳，石生明，等.高等代數(shù)（第三版）.高等教育出版社, 2010.

〔4〕楊文茂,李全英.空間解析幾何.武漢大學(xué)出版社,2003.

〔5〕丘維生.解析幾何.北京大學(xué)出版社，1988.

〔6〕朱鼎勛，陳紹菱.空間解析幾何學(xué).北京師范大學(xué)出版社，1984.

〔7〕J.Roe,“Elementary Geometry”,OUP,1993.

〔8〕M.Reid and B.Szendroi,“Geometry and topology”, CUP,2005.

〔9〕俞理明.我國高校雙語教學(xué)的定位及其教學(xué)模式探討[J]．中國外語教育，2008.

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1673-260X（2014）01-0215-03