追尋簡約的數(shù)學(xué)教學(xué)

杜紫紅

近來，因要教學(xué)《垂直與平行》的研討課，筆者觀摩相關(guān)的課堂教學(xué)也有四五節(jié)，但發(fā)現(xiàn)大部分課總是在“引導(dǎo)學(xué)生在紙上任意畫兩條直線，并根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系進(jìn)行分類”上糾纏了很長時(shí)間，教學(xué)效果很一般。于是，筆者與備課團(tuán)隊(duì)一起，著眼于學(xué)生的認(rèn)知需要，圍繞“簡約、智慧”進(jìn)行思考，進(jìn)行了有創(chuàng)意的設(shè)計(jì)。

一、既關(guān)注知識也關(guān)注思想方法的教學(xué)

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。以“簡約、智慧”的教學(xué)思想設(shè)計(jì)教學(xué)，我們在這節(jié)課中關(guān)注分類思想方法的滲透，四次分類活動，完善學(xué)生的認(rèn)知。

分類一：

師：同學(xué)們，今天我們來做個(gè)試驗(yàn)：瞧，這兒有兩根小棒，從高處落下來，猜猜它們會掉在哪里。

生：兩根都在桌上，兩根都在地板上，一根在桌上一根在地板上。

師：（出示課件■）如果把這三種情況分成兩類，你想怎么分？為什么這么分呢？

生1：①②分一類，③分一類。

生2：因?yàn)棰佗趦筛“舳悸湓谕粋€(gè)地方，③兩根小棒落在不同的地方。

師：兩根小棒都落在桌面或都落在地面，我們說它們落在同一個(gè)平面內(nèi)；一根在地面，一根在桌面就說它們不在同一個(gè)平面內(nèi)。

……

分類二：

師：在這個(gè)平面上有五組直線，你能把它們分成兩類嗎？（出示■）

生1：①②③分為一類，④⑤分為一類。

師：為什么這么分類呢？

生：交叉在一起的分為一類，沒有交叉在一起的分為一類。

師：還有不同的方法嗎？

生：①③分為一類，②④⑤分為一類。

師：到底②是分在左邊還是右邊呢？

生：沉默，思考。

師（指②）：今天咱們研究兩條直線的位置關(guān)系，直線它就只能這么長嗎？

生（恍然大悟）：直線可以往兩端無限延伸……

師：瞧，把這些直線都延長了，你發(fā)現(xiàn)了什么？

這時(shí)候，你想怎么分類呢？

生：①③分為一類，②④⑤分為一類。

生：相交的分為一類，不相交的分為一類。

師（板書）：這一類延長了會相交嗎？像這樣不管怎么延長都不相交的兩條直線，我們就說它們互相平行。

……

分類三：

師（課件演示）：如果一條直線旋轉(zhuǎn)了呢？

生：相交了。

師（課件演示）：繼續(xù)旋轉(zhuǎn)呢？再旋轉(zhuǎn)？

生：相交、相交……

師：有多少組相交？

生：無數(shù)組。

師：（出示動態(tài)課件■）在這么多組的相交中，哪一組最特殊？

生：最中間的那組最特殊了。

……

分類四：

課件演示，學(xué)生根據(jù)動態(tài)課件的演示快速說出兩條直線的位置關(guān)系。

生：相交、相交、相交……

師：（出示課件■）

生（異口同聲）：相交、垂直……

師：到底是相交還是垂直？

生：垂直。

師：垂直的兩條直線相交嗎？

生：相交。

師：那是說相交好還是垂直好呢？

生：垂直好。因?yàn)橄嘟惶毡榱?，只有相交成直角才是互相垂直?/p>

生（鼓掌）……

師：那你們說說同一平面內(nèi)的位置關(guān)系可以分成幾類？

生：平行的一類，相交的一類。

師：為什么不把垂直也分成一類呢？

生：垂直也是相交，是比較特別的相交。

……

第一次分類，圍繞“2根小棒落在哪里”進(jìn)行分類，學(xué)生在淺顯的生活情境中獲得了“同一平面”及“不同平面”的認(rèn)識。第二次分類明確相交與平行。將分類設(shè)置條件，強(qiáng)調(diào)只能分兩類，這樣的要求使學(xué)生的分類標(biāo)準(zhǔn)清晰而準(zhǔn)確——“可以按是否交叉”進(jìn)行分類，相交的分為一類，不相交的分為一類。但是第二組直線是否真的相交，學(xué)生的思考聚焦到第二組直線的何去何從上，在思考辨析中抓住思維的拐杖——“直線可以無限延長”，借助課件的幫助使得學(xué)生清晰地看到延長后的各組直線的情況，分類水到渠成。第三次的分類在相交中分出了垂直。雖然沒有明確提出分類標(biāo)準(zhǔn)，但是圍繞著“這么多組相交，哪組最特殊”這一問題，學(xué)生觀察到“相交成直角”的特殊位置，進(jìn)而進(jìn)入了“垂直”的教學(xué)。第四次分類，同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系到底是分成兩類還是三類，學(xué)生在分類中分出完整的知識結(jié)構(gòu)，垂直也是一種相交，分類思想為主線貫穿全課。

二、以結(jié)構(gòu)化思想設(shè)計(jì)教學(xué)

“簡約、智慧”的課堂，除了要引導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)數(shù)學(xué)知識，還應(yīng)注意加深知識間的聯(lián)系，使之串點(diǎn)成線，連線成面。為了達(dá)到這一目標(biāo)，筆者仔細(xì)研讀了人教版、北師大版中“垂直與平行”的內(nèi)容，并進(jìn)行分析比較。

人教版教材的編排注重“從整體上把握平行和垂直的含義”，安排了“學(xué)生在紙上任意畫兩條直線”的活動，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系進(jìn)行分類，對相交和不相交進(jìn)行觀察和辨析，從而揭示平行和垂直的概念；北師大版教材將垂直與平行劃分為“平移與平行、垂直與相交（旋轉(zhuǎn)）”兩課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，強(qiáng)調(diào)在直線的動態(tài)變化中認(rèn)識垂直與平行。不同版本的編排有各自的特點(diǎn)，將垂直與平行放在一起教學(xué)能使學(xué)生從整體上把握“平行與垂直”的含義，溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識的橫向網(wǎng)絡(luò)；將平行置于平移，垂直置于相交（旋轉(zhuǎn)）內(nèi)進(jìn)行教學(xué)，有利于學(xué)生從動態(tài)的角度理解垂直與平行的概念，進(jìn)而形成縱向的知識聯(lián)系。為了發(fā)揮不同教材的優(yōu)勢，這堂課中，我們嘗試將這二者的編排進(jìn)行融合。

在學(xué)生認(rèn)識“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行”之后，設(shè)計(jì)如下：endprint

師（出示課件■）：我們把互相平行的兩條直線請到方格紙上，你們發(fā)現(xiàn)什么了？

生1：這兩條直線之間的寬度一樣。

生2：兩條直線之間的距離都是兩格。

師（課件演示：直線平移■）：一條直線不動，另一條直線向上平移兩格，你們又發(fā)現(xiàn)什么了？

生1：兩條直線之間的距離是4格。

生2：平移之后這兩條直線還是互相平行的……

師（課件演示）：如果一條直線旋轉(zhuǎn)了呢？

生：相交了。

師（課件演示■）：繼續(xù)旋轉(zhuǎn)呢？再旋轉(zhuǎn)？

生：相交、相交……

師：有多少組相交？

生：無數(shù)組。

師（出示動態(tài)課件）：在這么多組的相交中，哪一組最特殊？

生：最中間的那組最特殊了。

……

本次教學(xué)一改以往在靜態(tài)中認(rèn)識“垂直與平行”的做法，學(xué)生通過分類認(rèn)識“平行”，將平行線請到方格紙上，借助直觀，使學(xué)生清晰地看到兩條直線之間的“寬度”是兩格，初步體會“平行線之間的距離相等”；平移之后，兩條直線仍然平行，它們之間的距離還是相等；如果旋轉(zhuǎn)了呢？學(xué)生在直線的平移與旋轉(zhuǎn)中，認(rèn)識了平行線的特點(diǎn)，并在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中認(rèn)識“不斷地旋轉(zhuǎn)形成數(shù)不清的相交情況”，其中最特殊的相交就是垂直。人教版與北師大版教材的融合使用，學(xué)生既能從整體上把握“平行和垂直”的含義，又能在直線“平移與旋轉(zhuǎn)”的動態(tài)變化中認(rèn)識概念，加深知識間的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)思想。

三、關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)

垂直與平行內(nèi)容以陳述性的知識為主，在陳述性知識的教學(xué)中，我們關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。如認(rèn)識平行時(shí)，提出明確的任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在分類的過程中生生交流，完善分類的標(biāo)準(zhǔn)；認(rèn)識垂直時(shí)則是引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)課本，圍繞問題“在這么多組相交中，哪組最特殊”“相交成直角有哪些知識”，同學(xué)們自學(xué)課本，在學(xué)習(xí)任務(wù)中明確提出交流要求，為生生的思維碰撞提供時(shí)間與空間。

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，是師生交往、互動與共同發(fā)展的過程，教師要根據(jù)學(xué)生的具體情況，對教材進(jìn)行再創(chuàng)造，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動和交流的機(jī)會，促進(jìn)他們在自主探索的過程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，使得數(shù)學(xué)課堂簡約而又充盈著學(xué)生的智慧。endprint

師（出示課件■）：我們把互相平行的兩條直線請到方格紙上，你們發(fā)現(xiàn)什么了？

生1：這兩條直線之間的寬度一樣。

生2：兩條直線之間的距離都是兩格。

師（課件演示：直線平移■）：一條直線不動，另一條直線向上平移兩格，你們又發(fā)現(xiàn)什么了？

生1：兩條直線之間的距離是4格。

生2：平移之后這兩條直線還是互相平行的……

師（課件演示）：如果一條直線旋轉(zhuǎn)了呢？

生：相交了。

師（課件演示■）：繼續(xù)旋轉(zhuǎn)呢？再旋轉(zhuǎn)？

生：相交、相交……

師：有多少組相交？

生：無數(shù)組。

師（出示動態(tài)課件）：在這么多組的相交中，哪一組最特殊？

生：最中間的那組最特殊了。

……

本次教學(xué)一改以往在靜態(tài)中認(rèn)識“垂直與平行”的做法，學(xué)生通過分類認(rèn)識“平行”，將平行線請到方格紙上，借助直觀，使學(xué)生清晰地看到兩條直線之間的“寬度”是兩格，初步體會“平行線之間的距離相等”；平移之后，兩條直線仍然平行，它們之間的距離還是相等；如果旋轉(zhuǎn)了呢？學(xué)生在直線的平移與旋轉(zhuǎn)中，認(rèn)識了平行線的特點(diǎn)，并在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中認(rèn)識“不斷地旋轉(zhuǎn)形成數(shù)不清的相交情況”，其中最特殊的相交就是垂直。人教版與北師大版教材的融合使用，學(xué)生既能從整體上把握“平行和垂直”的含義，又能在直線“平移與旋轉(zhuǎn)”的動態(tài)變化中認(rèn)識概念，加深知識間的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)思想。

三、關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)

垂直與平行內(nèi)容以陳述性的知識為主，在陳述性知識的教學(xué)中，我們關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。如認(rèn)識平行時(shí)，提出明確的任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在分類的過程中生生交流，完善分類的標(biāo)準(zhǔn)；認(rèn)識垂直時(shí)則是引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)課本，圍繞問題“在這么多組相交中，哪組最特殊”“相交成直角有哪些知識”，同學(xué)們自學(xué)課本，在學(xué)習(xí)任務(wù)中明確提出交流要求，為生生的思維碰撞提供時(shí)間與空間。

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，是師生交往、互動與共同發(fā)展的過程，教師要根據(jù)學(xué)生的具體情況，對教材進(jìn)行再創(chuàng)造，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動和交流的機(jī)會，促進(jìn)他們在自主探索的過程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，使得數(shù)學(xué)課堂簡約而又充盈著學(xué)生的智慧。endprint

師（出示課件■）：我們把互相平行的兩條直線請到方格紙上，你們發(fā)現(xiàn)什么了？

生1：這兩條直線之間的寬度一樣。

生2：兩條直線之間的距離都是兩格。

師（課件演示：直線平移■）：一條直線不動，另一條直線向上平移兩格，你們又發(fā)現(xiàn)什么了？

生1：兩條直線之間的距離是4格。

生2：平移之后這兩條直線還是互相平行的……

師（課件演示）：如果一條直線旋轉(zhuǎn)了呢？

生：相交了。

師（課件演示■）：繼續(xù)旋轉(zhuǎn)呢？再旋轉(zhuǎn)？

生：相交、相交……

師：有多少組相交？

生：無數(shù)組。

師（出示動態(tài)課件）：在這么多組的相交中，哪一組最特殊？

生：最中間的那組最特殊了。

……

本次教學(xué)一改以往在靜態(tài)中認(rèn)識“垂直與平行”的做法，學(xué)生通過分類認(rèn)識“平行”，將平行線請到方格紙上，借助直觀，使學(xué)生清晰地看到兩條直線之間的“寬度”是兩格，初步體會“平行線之間的距離相等”；平移之后，兩條直線仍然平行，它們之間的距離還是相等；如果旋轉(zhuǎn)了呢？學(xué)生在直線的平移與旋轉(zhuǎn)中，認(rèn)識了平行線的特點(diǎn)，并在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中認(rèn)識“不斷地旋轉(zhuǎn)形成數(shù)不清的相交情況”，其中最特殊的相交就是垂直。人教版與北師大版教材的融合使用，學(xué)生既能從整體上把握“平行和垂直”的含義，又能在直線“平移與旋轉(zhuǎn)”的動態(tài)變化中認(rèn)識概念，加深知識間的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)思想。

三、關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)

垂直與平行內(nèi)容以陳述性的知識為主，在陳述性知識的教學(xué)中，我們關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。如認(rèn)識平行時(shí)，提出明確的任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在分類的過程中生生交流，完善分類的標(biāo)準(zhǔn)；認(rèn)識垂直時(shí)則是引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)課本，圍繞問題“在這么多組相交中，哪組最特殊”“相交成直角有哪些知識”，同學(xué)們自學(xué)課本，在學(xué)習(xí)任務(wù)中明確提出交流要求，為生生的思維碰撞提供時(shí)間與空間。

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，是師生交往、互動與共同發(fā)展的過程，教師要根據(jù)學(xué)生的具體情況，對教材進(jìn)行再創(chuàng)造，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動和交流的機(jī)會，促進(jìn)他們在自主探索的過程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，使得數(shù)學(xué)課堂簡約而又充盈著學(xué)生的智慧。endprint