玻色超流體中的準粒子激發(fā)與穩(wěn)定性

賀麗

(江蘇科技大學張家港校區(qū)基礎(chǔ)教學部，江蘇張家港215600)

超流是凝聚態(tài)物理中一類重要的宏觀量子現(xiàn)象，其本質(zhì)是大量粒子在集體運動中所表現(xiàn)出的相位相干性.在三維玻色系統(tǒng)中(如液氦、冷原子氣體等)，超流總伴隨著玻色-愛因斯坦凝聚的發(fā)生［1-3］，而博戈留波夫方法是理解這類物理系統(tǒng)最基本的理論工具.該方法不僅適用于平衡態(tài)性質(zhì)的描述，還可以用于處理非平衡的穩(wěn)態(tài).文中利用博戈留波夫方法求解了以一定速度流動的玻色超流體的準粒子譜，并根據(jù)色散關(guān)系的正定性給出了超流穩(wěn)定性條件.當體系具有伽利略不變性時，該條件即等價于朗道判據(jù).而當伽利略不變性不滿足時，朗道判據(jù)不再成立，超流穩(wěn)定性只能通過準粒子的激發(fā)譜來判斷.我們通過具體模型的計算，分別討論了上述兩種不同情形下的超流臨界速度.

1 流動狀態(tài)下的準粒子激發(fā)

從描述相互作用玻色系統(tǒng)的一般性哈密頓量出發(fā)，其二次量子化形式為

考慮玻色超流體以速度v流動，有宏觀數(shù)目為N0個的粒子占據(jù)在動量為p0的態(tài)上，形成玻色愛因斯坦凝聚，p0滿足(?p∈p)p=p0=v.由于相互作用造成的粒子間的散射，即使在零溫，凝聚粒子數(shù)N0也會小于系統(tǒng)總粒子數(shù)N，而占據(jù)p≠p0態(tài)的非凝聚粒子被稱為量子虧缺(quantum depletion).虧缺部分與凝聚部分之和滿足總粒子數(shù)守恒.

文中僅限于討論零溫的情況，即虧缺部分全部由量子漲落提供，而沒有熱激發(fā)的貢獻.

當相互作用較弱時，可以用博戈留波夫理論處理該系統(tǒng).由于凝聚粒子數(shù)目為宏觀量級N0?1，可以合理地將動量p0對應(yīng)的算符用常數(shù)來代替，ap0≈a≈，而非凝聚部分的貢獻則可視為漲落效應(yīng)，對于p≠p0的算符保留至二階，可將哈密頓量近似為［1］:

當正則變換系數(shù)滿足下述關(guān)系時，

哈密頓量可以寫為對角化形式:

式中準粒子能量為:

式(4～7)實際上是玻色超流體博戈留波夫理論的一般性結(jié)果，當取v=0時(即p0處于能譜∈p最小值點時)該結(jié)果對應(yīng)于平衡態(tài)的情形［1］，而當v為有限大小時則描述的是流速恒定的穩(wěn)態(tài).

在準粒子表象下，容易求得非凝聚原子(即量子虧缺)的數(shù)目，當不產(chǎn)生準粒子激發(fā)時，可以得到

只要相互作用足夠弱，非凝聚粒子數(shù)目總是占很小的比例，即Ndpl?N，這一關(guān)系保證了博戈留波夫前提假設(shè)的自洽性.

2 超流穩(wěn)定性

穩(wěn)定的超流態(tài)可以無阻尼的流動，這種情形對應(yīng)于準粒子的真空態(tài).當體系出現(xiàn)準粒子激發(fā)時，準粒子與外部(包括器壁、雜質(zhì)等)的碰撞會造成系統(tǒng)能量和動量的損失，從而產(chǎn)生耗散［23］.因此，超流的穩(wěn)定性要求準粒子能譜必須是恒正的，即穩(wěn)定性條件可一般寫為:

顯然，當流速v足夠大時，上述條件必然會被破壞，故存在一個超流穩(wěn)態(tài)的速度上限，即臨界速度vc.

2.1 伽利略不變性與朗道判據(jù)

當單粒子能譜取為通常的自由原子的色散關(guān)系∈p=p2/(2m)時，體系的流速與凝聚動量滿足v= p0/m，而公式(7)中的準粒子能量可簡化為:

顯然，對于給定的流速v，最容易造成不穩(wěn)定的動量出現(xiàn)在與v相反的方向，因此超流穩(wěn)定條件又可進一步寫為:

這正是最早由朗道提出的超流判據(jù)［23］.與前面的微觀理論推導(dǎo)不同，朗道在提出該判據(jù)時直接采用了系統(tǒng)具有伽利略不變性這一特征，從而得到了流動體系與靜止體系的準粒子譜關(guān)系為E= E+q·v，即公式(10)的結(jié)果.當朗道判據(jù)取等號時所對應(yīng)的速度即為該系統(tǒng)的超流臨界速度vc.

圖1為當系統(tǒng)具有伽利略不變性時，玻色超流體在不同流速下的準粒子譜.通過兩個實例給出了當相互作用勢取不同形式時流動狀態(tài)下的準粒子色散關(guān)系及相應(yīng)的臨界速度.圖1a)取接觸相互作用勢Uq=U0，超流臨界速度即為聲子的速度，vc=c≡;圖1b)取含動量線性依賴的相互作用勢Uq=U0+U'q，此處取U'=0.98)當相互作用滿足1＜U'＜2時，準粒子的色散譜會出現(xiàn)一個能量局域極小的旋子激發(fā)，此時超流臨界速度由旋子決定，vc=Δrot/qrot，其中，qrot=［3mnU'+/2和Δrot= n分別為靜止情況下的旋子動量和旋子能隙.

圖1 玻包超流體在不同流速下的準粒子譜Fig.1 Quasi-particle spectrum of bosonic superfluid w ith different velocity

需要強調(diào)的是，在這兩個例子中朗道判據(jù)與超流穩(wěn)定性條件一致是單粒子哈密頓量滿足伽利略不變性的結(jié)果.當這一前提條件不成立時，朗道判據(jù)原則上不再適用，超流的穩(wěn)定性條件以及臨界速度只能由更為普適的公式(9)給出.

2.2 存在自旋－軌道耦合時的超流臨界速度

近來，具有自旋-軌道耦合效應(yīng)的玻色-愛因斯坦凝聚成為冷原子物理中的一個研究熱點［4-5］.在這個系統(tǒng)中，由于自旋自由度與軌道自由度之間的糾纏，伽利略不變性是不被滿足的.在目前所廣泛采用的實驗方案中，自旋-軌道耦合效應(yīng)是借助拉曼光的雙光子躍遷來實現(xiàn)的［6-8］.通過這種耦合光場作用，在沿拉曼光方向上最低能帶的單粒子色散關(guān)系被調(diào)制為

式中:kr為反沖動量;Ω為拉曼耦合強度;δ為拉曼失諧.實驗中這3個量都是連續(xù)可調(diào)的參數(shù)，在不同參數(shù)條件下，可以人為地控制單粒子能譜的色散行為.這里重點關(guān)注物理上最有興趣的一種情況，即Ω=2k/m，δ=0的情形，此時單粒子能譜在小動量時呈現(xiàn)出四次方的色散關(guān)系(選擇適當?shù)哪芰苛泓c)，

超流穩(wěn)定性的必要條件是沿凝聚動量反方向傳播的聲子激發(fā)能量恒正，由此臨界失穩(wěn)的凝聚動量大小為p0c=(6U0nmk)1/4.再代入速度動量關(guān)系，即可求得體系的超流臨界速度

圖2 自旋－耦合玻色氣體的超流穩(wěn)定性Fig.2 Superfluid stability of Bose gasw ith spin-orbit coupling

這個有限大小的臨界速度從一個側(cè)面說明了朗道判據(jù)的失效.這是因為，對于靜止的凝聚體而言(p0=0)，準粒子色散譜在長波極限下的聲速為零，即min(?p∈p)=0，如果按朗道判據(jù)則會給出臨界速度為零的錯誤結(jié)論.這里朗道判據(jù)不適用的物理原因正是由于體系不具有伽利略不變性導(dǎo)致的.

在上述簡化模型的處理中，假定了決定體系穩(wěn)定性的準粒子激發(fā)總是出現(xiàn)在由公式(14)描述的小動量區(qū)間內(nèi)，而高階修正可以忽略不計，此外也沒有考慮相互作用勢對動量的依賴關(guān)系.計入這些因素后，可以發(fā)現(xiàn)，只有當相互作用較弱時超流的穩(wěn)定性才是由聲子決定的［9］，而當相互作用較強時最先失穩(wěn)的是旋子激發(fā).采用文獻［9-10］中給出的方法，在不做簡化的情況下計算了臨界速度隨相互作用強度的變化關(guān)系，如圖2b)所示.可以看到，從簡化模型推出的公式(15)在弱相互作用條件下定量上符合得很好，這個公式為之前的數(shù)值計算提供了解析上的漸進形式.

3 結(jié)論

文中用博戈留波夫方法推導(dǎo)了流動狀態(tài)下玻色-愛因斯坦凝聚的準粒子激發(fā)譜，并根據(jù)激發(fā)譜的正定性要求得到了超流穩(wěn)定性條件.當體系哈密頓量滿足伽利略不變性時，該穩(wěn)定性條件與朗道判據(jù)等價;而當體系不具有伽利略不變性時，朗道判據(jù)不再適用，超流的穩(wěn)定性則需根據(jù)準粒子譜來確定.作為一個實例，計算了存在自旋-軌道耦合時玻色氣體在一種特殊情況下的超流臨界速度，并推導(dǎo)出臨界速度在相互作用較弱時的漸進表達式.

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