GPS高程擬合方法探討

夏永成,樊寬林,劉 非

(四川中水成勘院測繪工程有限責(zé)任公司，四川 成都 610072)

1 前 言

利用GPS測量得到的高程是基于WGS-84橢球的大地高。由于我國的高程是正常高系統(tǒng)，是建立在似大地水準(zhǔn)面基礎(chǔ)上的，它們之間的關(guān)系是：

Hr=H84-ζ

(1)

ζ是該點(diǎn)的高程異常(見圖1)。知道了各點(diǎn)的高程異常就可以求出各點(diǎn)的正常高。

圖1 高程異常示意

目前求解高程異常的方法很多，主要是數(shù)值逼近法，分為函數(shù)模型逼近和統(tǒng)計(jì)模型逼近。函數(shù)模型逼近的最大優(yōu)點(diǎn)是對趨勢性變化效果擬合效果較好；統(tǒng)計(jì)模型的特點(diǎn)是計(jì)算靈活，對穩(wěn)態(tài)隨機(jī)過程的逼近效果較好。常用的函數(shù)模型逼近法有解析內(nèi)插法(包括曲線內(nèi)插法、樣條函數(shù)法和Akima法)、曲面擬合法(包括平面擬合法、多項(xiàng)式曲面擬合法、多面函數(shù)擬合法、曲面樣幾條擬合法和移動曲面擬合法)等。還有一些其他方法如：地球重力場法和地形改正法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型法和基于灰色系統(tǒng)理論的灰關(guān)聯(lián)法等。

2 幾種常用的擬合方法及特點(diǎn)

2.1 多項(xiàng)式擬合法

設(shè)點(diǎn)的ζ與點(diǎn)的位置信息(x,y)有以下關(guān)系

ζ=f(x,y)+ε

(2)

式中f(x,y)為ζ中趨勢值；ε為誤差。

設(shè)f(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy+…

(3)

寫成矩陣形式有：

ζ=XB+ε

(4)

對于每個(gè)已知點(diǎn)，都可以列出以上方程，在ΣεTPε=min的條件下，可以解出

B=(XTPX)-1XTPζ

(5)

再代入式(3)求高程異常，最后按式(1)求出Hr。

2.2 多面函數(shù)法

設(shè)點(diǎn)的ζ與點(diǎn)的位置信息(x,y)有如下關(guān)系

(6)

式中ai為待定系數(shù)，Q(x,y,xi,yi)為核函數(shù)，xi、yi為已知點(diǎn)坐標(biāo)。核函數(shù)一般選用具有對稱性的距離型即：

Q(x,y,xi,yi)=[(x-xi)2+(y-yi)2+σ]1/2，

Q(x,y,xi,yi)=[(x-xi)2+(y-yi)2+σ]-1/2

(7)

上兩式分別稱為正雙曲面函數(shù)和倒雙曲面函數(shù)。σ為光滑系數(shù)為一常數(shù)，可由試驗(yàn)給定。

當(dāng)待求點(diǎn)數(shù)等于已知點(diǎn)數(shù)時(shí)，任一點(diǎn)ζP為

ζP=QPQ-1ζ=(Q1PQ2P…

(8)

式中，Qij=Q(x,y,xi,yi)。當(dāng)待求點(diǎn)多于已知點(diǎn)數(shù)時(shí)，

ζP=QP(QTQ)-1ζ

(9)

2.3 移動曲面法

一般對某一內(nèi)插點(diǎn)，(xj′,yj′),若數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)滿足

(xi-xj′)2+(yi-yj′)2≤R2

(10)

可用這些數(shù)據(jù)點(diǎn)參加內(nèi)插，則稱以(xj′,yj′)為圓心，半徑為R的圓形移動窗口內(nèi)曲面內(nèi)插。

設(shè)移動到第j個(gè)內(nèi)插點(diǎn)(xj′,yj′)時(shí)，利用落入該點(diǎn)移動窗口內(nèi)的m個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)上的觀測值ζi(i=1,2,…m),以下列多項(xiàng)式

ζi=a0+a1x+a2y+a3xy

(11)

計(jì)算第j個(gè)內(nèi)插點(diǎn)函數(shù)值。在m個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上建立如下誤差方程：

令

Vi=a0+a1xi+a2yi+a3xiyi+ζi,Pi

(12)

Pj=diag(P1,P2,…Pm)Xj=(a0,a1,a2,a3)T,

w(d)為權(quán)函數(shù)，目前廣泛使用的權(quán)函數(shù)有

w(d)=exp(-d2/a2)

(13)

w(d)=1/(1+d2/a2)

(14)

a為常數(shù)，可由試驗(yàn)給定，一般取數(shù)據(jù)點(diǎn)平均距離的兩倍。應(yīng)用最小二乘原理解得

(15)

代入(11)可得該點(diǎn)的高程異常。

移動曲面計(jì)算法在計(jì)算時(shí)，通常采用契比雪夫多項(xiàng)式為移動多項(xiàng)式。

2.4 地球重力場模型法

地球重力場模型是依據(jù)重力場理論導(dǎo)出的計(jì)算重力異常等的數(shù)學(xué)模型，它是利用最新的衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)、地面重力數(shù)據(jù)、衛(wèi)星測高等重力場信息計(jì)算得到的重力位的球諧函數(shù)級數(shù)展開的系數(shù)[4]。根據(jù)給定的重力場模型的位系數(shù)Cnm、Snm可用下式計(jì)算各點(diǎn)的高程異常：

sinmL)Pnm(sinB)

(16)

式中ρ、B、L——分別為計(jì)算點(diǎn)的矢徑、緯度和經(jīng)度;

GM——為引力常數(shù)與地球質(zhì)量的乘積；

γ——為計(jì)算的正常重力值；

a——為參考橢球的長半軸；

Cnm、Snm——為完全規(guī)格化位系數(shù)；

Pnm(sinB)——為完全規(guī)格化締合Legendre函數(shù)；

N——為地球重力場模型展開的最大階數(shù)；

m——為次。

若給定一組位系數(shù)就確定了一個(gè)相應(yīng)的地球重力場模型，就可以求出該點(diǎn)相對于此模型的高程異常。

目前國際上公開的比較有代表性的EGM96模型,它是美國NASA/GS-FC和國防制圖局聯(lián)合研制的360階全球重力場模型，相當(dāng)于全球55Km分辨率。它在美國本土分辨率為50Km，精度達(dá)到幾厘米，在我國精度只有米級，因此難以直接應(yīng)用于生產(chǎn)，但它包含比較準(zhǔn)確的重力場長波信息[3]，可用于更高精度的GPS高程擬合。

2.5 各種擬合方法的特點(diǎn)

多項(xiàng)式擬合法是在擬合區(qū)域的已知高程點(diǎn)之間按削高補(bǔ)低的原則構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式曲面(線)擬合區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面。當(dāng)擬合范圍大，高程異常變化大，擬合的誤差就越大。擬合多項(xiàng)式的階次越高，擬合面產(chǎn)生震蕩的可能性增大。模型的自適應(yīng)程度較低。

多面函數(shù)是一種純數(shù)學(xué)的逼近方法，它是在待求點(diǎn)上與每個(gè)已知點(diǎn)上建立函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)為一規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面，將這些曲面按一定比例迭加起來就可以擬合出任何不規(guī)則的曲面。它的核函數(shù)是距離的函數(shù)，顧及了待求點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的相關(guān)性，起著權(quán)系數(shù)矩陣的作用。

移動曲面法用有限區(qū)域內(nèi)所有已知點(diǎn)來擬合該點(diǎn)的高程異常，該區(qū)域隨著擬合點(diǎn)的位置變化而移動，可以更好地模擬該區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面。該法精度較高，自適應(yīng)程度較好[5]。

地球重力場模型法的精度隨著地點(diǎn)的變動而變化，當(dāng)該區(qū)域的所測重力數(shù)據(jù)沒有參與建模或參與建模的數(shù)據(jù)少時(shí)，計(jì)算出的重力異常精度就低，該區(qū)域參與建模的重力數(shù)據(jù)多時(shí)精度就高。但利用它計(jì)算出的高程異常能準(zhǔn)確反應(yīng)該區(qū)域高程異常的變化趨勢。鑒于它們的這些特點(diǎn)，綜合起來衍生出另一種方法——基于地球重力場模型的擬合法。

3 基于地球重力場模型的擬合法

基于地球重力場模型的擬合法把高程異常分為長波信息和短波信息，用地球重力場模型計(jì)算長波信息，用逼近函數(shù)計(jì)算短波信息。它的原理是擬合出用地球重力場模型計(jì)算的高程異常誤差的函數(shù)，然后用函數(shù)計(jì)算出的高程異常誤差，再加上該點(diǎn)在地球重力場模型中計(jì)算的高程異常。設(shè)根據(jù)地球重力場模型計(jì)算出該點(diǎn)的高程異常為ζGM，該點(diǎn)的高程異常誤差為ε，則有

H84+ζ=H84+ζGM+ε

(17)

移項(xiàng)得

ε=ζ-ζGM

(18)

ζ為該點(diǎn)的實(shí)際高程異常。令ε=f(x,y)，f(x,y)為文中所述的擬合函數(shù)，利用最小二乘法推估求得內(nèi)插點(diǎn)的高程異常誤差ε，再代入上式可求得該點(diǎn)的高程異常，最后用高程異常加上該點(diǎn)的大地高得到該點(diǎn)的正常高。這種方法通常被叫做“移去-計(jì)算-恢復(fù)法”。

4 幾個(gè)問題

4.1 參數(shù)的選取

在擬合過程中參數(shù)的選取是很關(guān)鍵的，常見的是以該點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)，這樣擬合時(shí)所組成的法方程的系數(shù)很大，求解待定系數(shù)ai的誤差會增大。當(dāng)用坐標(biāo)為參數(shù)時(shí)可以先對它進(jìn)行中心化，這樣可以減少其計(jì)算精度的損失。中心化的模型如下：

(19)

Xi′=Xi-ΔX,Yi′=Yi-ΔY

(20)

4.2 權(quán)的選取

4.3 精度評定

高程擬合的精度評定是通過內(nèi)符合精度和外符合精度體現(xiàn)的。

內(nèi)符合精度μ

(21)

式中n為參與擬合計(jì)算的已知點(diǎn)的殘差V的個(gè)數(shù)。

外符合精度M

(22)

式中V為檢核點(diǎn)的高程異常與擬合高程異常之差，n為檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

外符合精度能客觀地反映擬合的效果。當(dāng)所選的已知數(shù)據(jù)點(diǎn)剛好位于所選模型附近時(shí)，內(nèi)符合精度很高，它并不代表未知點(diǎn)有同樣的擬合精度。因此進(jìn)行精度評定時(shí)要把內(nèi)外符合精度權(quán)衡比較。

5 數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

某高山峽谷區(qū)水電規(guī)劃測繪布設(shè)的GPS控制網(wǎng)見圖2，一共30個(gè)GPS點(diǎn)。平均邊長4.1km，測區(qū)平均海拔2 650m。平面等級為D級，高程按四等三角高程聯(lián)測。

圖2 GPS網(wǎng)形示意

下面我們用以下四種方案進(jìn)行高程擬合，設(shè)觀測值都為等權(quán)觀測。

方案一：用其中的6個(gè)點(diǎn)，以點(diǎn)的北京坐標(biāo)為參數(shù)用二次六項(xiàng)式直接擬合高程異常；

方案二：先用EGM96擬合高程異常中的長波部分，求差后再用其中的6個(gè)點(diǎn)用一次三項(xiàng)式擬合高程異常之差；

方案三：同方案二，只是將已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加為9個(gè)；

方案四：先用EGM96擬合高程異常中的長波部分，求差后再用其中的9個(gè)點(diǎn)用二次六項(xiàng)式擬合高程異常之差。四種擬合方法的精度結(jié)果見表1：

表1 四種擬合方法精度比較 m

從表1可以看出：基于地球重力場模型的GPS高程擬合法采用合適的數(shù)學(xué)模型精度高于單純的多項(xiàng)式擬合法，該方法隨著已知點(diǎn)的增多精度會提高，但當(dāng)已知點(diǎn)增加到一定數(shù)量后精度不會進(jìn)一步提高，這是由于多項(xiàng)式的runge現(xiàn)象造成的；方案二、三外符合精度相當(dāng)，但方案二已知點(diǎn)個(gè)數(shù)只占所有點(diǎn)數(shù)的20%，因此方案二比方案三更為實(shí)用(見表2)。

表2 方案二高程差異量統(tǒng)計(jì)

從表2可看出，方案二達(dá)到五等水準(zhǔn)精度，除個(gè)別點(diǎn)超限外基本達(dá)到四等水準(zhǔn)的精度。而且超限的點(diǎn)均位于已知點(diǎn)附近，這是由于多項(xiàng)式擬合的振蕩現(xiàn)象引起的，可以通過分段擬合或適當(dāng)增加已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)從而達(dá)到擬合結(jié)果精度達(dá)到四等水準(zhǔn)的要求。

6 結(jié) 語

基于地球重力場模型的GPS高程擬合法已逐漸成為研究局部精化大地水準(zhǔn)面的重要手段。如果地球重力場模型的精度越高、使用的擬合函數(shù)得當(dāng)、高程聯(lián)測點(diǎn)布設(shè)合理擬合精度將會越高，可以滿足高山峽谷區(qū)四等水準(zhǔn)精度。對于不同形狀的GPS網(wǎng)，擬合高程的方法也不同，需經(jīng)過計(jì)算和分析選定擬合函數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 徐紹銓,等.GPS測量原理及應(yīng)用[M].武漢大學(xué)出版社.2005(2).

[2] 武漢測繪科技大學(xué)測量平差教研室編.測量平差基礎(chǔ)[M].測繪出版社.1996(5).

[3] 陸彩萍,等.顧及EGM96模型的GPS水準(zhǔn)高程擬合[J].測繪工程,2002(3).

[4] 程衛(wèi)興.GPS水準(zhǔn)方法比較分析.測繪與空間地理信息[J].2005.

[5] 喬仰文,等.GPS高程擬合的幾種常用方法[J].東北測繪，1999(2).