時間分?jǐn)?shù)階中立型時滯微分方程的數(shù)值解法

張艷敏

(青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院， 山東 青島 266106)

分?jǐn)?shù)階微分方程比較于整數(shù)階的微分方程來說，能更好的描述自然科學(xué)和工程領(lǐng)域現(xiàn)象發(fā)生.隨著大量分?jǐn)?shù)階方程在各個領(lǐng)域的出現(xiàn)，對此類方程的研究已經(jīng)引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.由于這些方程的精確解很難獲得，所以對數(shù)值方法的研究就非常重要.目前對分?jǐn)?shù)階時滯微分方程的研究相關(guān)文獻(xiàn)還較少[1-4]，數(shù)值方法的研究就更少了[3-4]，所以研究此類方程的數(shù)值解法就尤其重要.

本文將考慮如下初邊值時間分?jǐn)?shù)階時滯拋物方程的數(shù)值解：

0<α<1,0<α，函數(shù)g(x,t)，f(x,t),φ0(t),φ1(t)已知且連續(xù)，L>0,T>0，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[5].

1差分格式的構(gòu)造

(2)

(3)

(4)

對式(3)分解成：

(5)

(6)

2穩(wěn)定性的證明

定理1差分格式(5)、(6)無條件穩(wěn)定.

ωk=(k+1)1-α-k1-α，所以有1=ω0>ω1>…>ωk>ωk+1>…>0.

由差分格式(5)、(6)得誤差方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

3收斂性的證明

定理2差分格式(5)、(6)無條件收斂.

由式(5)、(6)和局部截斷誤差得

(11)

(12)

(13)

(14)

4 數(shù)值算例

u(x,t)=tex，0≤x≤1,-1≤t≤0；u(0,t)=t,u(1,t)=et，0

精確解u(x,t)=tex，τ=1，Δt=0.005，h=0.1，數(shù)值計算結(jié)果如下：

表1 數(shù)值解的相對誤差

因此該數(shù)值解法是有效的.

[1] 伊婕.變分迭代法關(guān)于Caputo分?jǐn)?shù)階常微分方程和中立型比例延遲微分方程的收斂性分析[D].長沙：湘潭大學(xué),2010.

[2] 楊水平.關(guān)于分?jǐn)?shù)階多階延遲微分方程的解的存在性[J]. 惠州學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2011,31(3):29-31.

[3] 潘新元.兩類分?jǐn)?shù)階延遲微分方程及其數(shù)值方法的漸近穩(wěn)定性[D].長沙：湘潭大學(xué),2009.

[4] 馮日月.分?jǐn)?shù)階延遲微分方程數(shù)值方法的研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2009.

[5] Podlubny I. Frcational Differential Equations[M]. San Diego：Academic Press,1999.

[6] 馬亮亮.時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值解法[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2013，43(10):248-253.

[7] 金承日,潘有思.時間分?jǐn)?shù)階色散方程的有限差分法[J].黑龍江大學(xué)：自然科學(xué)學(xué)報,2011,28(3):291-294.