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      基于改進爬山法的帶電粒子圓徑跡重建

      2014-03-20 08:20:46牛莉博李玉蘭傅楗強李元景
      原子能科學技術(shù) 2014年1期
      關(guān)鍵詞:徑跡帶電粒子測量點

      牛莉博,李玉蘭,傅楗強,黃 孟,何 彬,李元景

      (1.清華大學 工程物理系,北京 100084;2.第二炮兵工程大學102教研室,陜西 西安 710025;3.清華大學 粒子技術(shù)與輻射成像教育部重點實驗室,北京 100084)

      徑跡探測器是一重要的電離輻射探測器,被廣泛應用于大型物理實驗、核技術(shù)及應用等領(lǐng)域,基于時間投影室(TPC)的徑跡探測器是目前使用最為廣泛的徑跡探測器之一[1-3]。TPC的基本原理為:當帶電粒子經(jīng)過TPC 靈敏體積時,使TPC 工作氣體電離產(chǎn)生電子-離子對,電子在TPC 內(nèi)部均勻電場作用下,向讀出端蓋漂移并產(chǎn)生雪崩放大。電子信號由按一定規(guī)則排列的若干讀出盤讀出,讀出盤的位置信息確定了帶電粒子x-y 方向的位置,而z 方向的位置由z=vD(t1-t2)確定(vD為電子在電場中的漂移速度;t1為帶電粒子穿過TPC 的時間,由外部時間探測器的觸發(fā)信號給出;t2為電子到達讀出端面的時間)。根據(jù)讀出盤的擊中信息重建帶電粒子的飛行徑跡是TPC 數(shù)據(jù)分析的重要步驟,在均勻磁場情況下,帶電粒子的徑跡是1條空間螺旋線,其在二維讀出平面上的投影為圓形。圓徑跡重建的任務為:對于給定的1 組二維讀出平面上的擊中點(xi,yi)(i=1,2,…,n),通過一定的算法判斷這些擊中點是否來自于同一圓徑跡,即這些擊中點是否由同一帶電粒子產(chǎn)生;若這些測量點由同一帶電粒子產(chǎn)生,則對這些擊中點進行擬合得到該圓徑跡參數(shù),即圓心(a,b)和半徑R 的擬合值。

      霍夫變化是一種簡單有效的徑跡重建方法,在粒子徑跡重建算法中得到了廣泛使用[4-6]。然而,由于霍夫變換需將參數(shù)空間進行離散化,隨參數(shù)空間維數(shù)的增加,計算量將急劇增加,計算速度變慢。文獻[7]指出,霍夫變換法已很難滿足對圓徑跡的識別與檢測。爬山法最早由Yager和Filev[8-9]提出,是一有效的快速聚類算法。與霍夫變化一樣,傳統(tǒng)的爬山法也需將參數(shù)空間進行網(wǎng)格化,對高維數(shù)據(jù)的聚類速度急劇下降。而改進爬山法則使用數(shù)據(jù)點替代網(wǎng)格點,在數(shù)據(jù)點構(gòu)造密度函數(shù)替代在網(wǎng)格點構(gòu)造山峰函數(shù),通過尋找密度函數(shù)最大值以確定參數(shù)擬合結(jié)果,可極大提高計算速度,對高維數(shù)據(jù)的聚類分析具有良好適應性。本文通過空間映射將圓徑跡尋跡問題轉(zhuǎn)化為尋找參數(shù)空間上的聚類中心問題,使用改進爬山法獲得圓徑跡的參數(shù)擬合值,并給出不同情況下圓徑跡擬合參數(shù)的精度。

      1 方法

      1.1 爬山法

      假設有n個數(shù)據(jù)點{x1,x2,…,xn},每個數(shù)據(jù)點是p 維的,即xj∈Rp(j=1,…,n)。傳統(tǒng)爬山法中,首先在數(shù)據(jù)空間中定義1組網(wǎng)格點{Ni},Ni∈RF,聚類中心被固定在這些網(wǎng)格點上。然后在每個網(wǎng)格點上定義山峰函數(shù)如下:

      其中,d(xj,Ni)為數(shù)據(jù)點xj和網(wǎng)格點Ni之間的距離。顯然,對于擁有較多臨近點的網(wǎng)格點,其山峰函數(shù)值較大,參數(shù)α決定臨近區(qū)域的大小。具有大的山峰函數(shù)值M1(Ni)的網(wǎng)格點Ni成為聚類中心的潛在可能性大。于是,可將具有最大峰值的網(wǎng)格點設定為第1個聚類中心,即可通過以下目標函數(shù)找到第1個聚類中心N*1:

      對于具有多個聚類中心的情況,在尋找下一聚類中心前,有必要消除上一網(wǎng)格點對下一聚類中心的影響。在找到第k-1個聚類中心N*k-1后,估計第k個聚類中心的計算公式如下:

      其中,k=2,3,…,且有:

      式(4)為峰值調(diào)整方程,參數(shù)γ決定了消減已提取聚類中心點峰值影響的臨近區(qū)域的大小。通過式(3)和(4)的迭代可得到新的聚類中心。

      1.2 改進爬山法

      顯然,爬山法的計算時間隨數(shù)據(jù)維度的增加而急劇增加,Chui[10]用數(shù)據(jù)點代替網(wǎng)格點來改進原始的爬山算法。在此基礎上,Yang等[11]對山峰函數(shù)和峰值調(diào)整方程進行了修改,進一步減小算法的計算時間。在改進的爬山算法中,考慮用核密度估計每個數(shù)據(jù)點向xi的密度:

      式中:參數(shù)ρ為歸一化項;參數(shù)λ可由自相關(guān)有關(guān)算法得到,或由實驗者給定。于是第1個聚類中心估計公式為:

      在估計出第k-1個聚類中心后,用改進的山峰調(diào)整算法調(diào)整下一輪的山峰:

      在調(diào)整后的密度中,具有最高密度值Pk(xi)的那個數(shù)據(jù)點即為所要提取的第k個聚類中心:

      通過式(8)和(9)的不斷迭代,可提取出新的聚類中心。

      1.3 空間映射

      盡管改進爬山法能很好估計出聚類中心,但由于初始測量點并不具備聚類特性,無法直接應用于圓徑跡的重建。為能將改進爬山法應用于圓徑跡的重建,首先需對擊中點進行變換,即將測量得到的二維坐標數(shù)據(jù)(xi,yi)轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)空間中的參數(shù)值,該參數(shù)值與對應圓徑跡參數(shù)有關(guān)。圓方程可如下表示:

      式中,d=R2-a2-b2。由于平面上任意3個不共線的點將確定1個圓,且該圓的圓心和半徑可按下式計算得到:

      這樣,對所有(xi,yi)中任意3個不共線的測量點組合便可得到個參數(shù)值(aj,bj,Rj)。由于測量點(xi,yi)來自于相同的圓徑跡,因此由測量點空間映射得到的參數(shù)值(aj,bj,Rj)在參數(shù)空間里面形成聚類。圖1a為有兩條圓徑跡并包含噪聲點的原始測量數(shù)據(jù)分布,圖1b、c、d分別為測量點空間映射后所得參數(shù)值在a-b、a-R、b-R 平面上的投影。由圖1可知,參數(shù)值在參數(shù)空間中存在聚類中心,且該聚類中心在參數(shù)空間中的位置即為圓徑跡參數(shù)的擬合值。

      2 算法性能

      2.1 單圓徑跡重建

      計算中選取的圓徑跡的真實參數(shù)為圓心(a,b)=(4,5),半徑R=2,使用該參數(shù)隨機產(chǎn)生的擊中點數(shù)目分別為8、12和16。在實際探測器中,測量點(xi,yi)的坐標存在測量誤差,模擬中隨機產(chǎn)生的測量點(xi,yi)到圓心的距離服從高斯分布,該分布的均值為半徑R,方差分別為R的5%、10%和15%。除此之外,模擬數(shù)據(jù)還隨機產(chǎn)生了一些噪聲點,噪聲點數(shù)分別選為數(shù)據(jù)點的50%、25%和0%,噪聲點的(xi,yi)坐標均勻分布在[0,10]區(qū)間上。圖2為上述模擬數(shù)據(jù)中的1個事例,圖2a為隨機產(chǎn)生的原始數(shù)據(jù),有效數(shù)據(jù)點為20個,噪聲數(shù)據(jù)點為10個,即50%的噪聲數(shù)據(jù)點,(xi,yi)坐標的測量不確定度為10%的R;圖2b為數(shù)據(jù)點空間映射產(chǎn)生的參數(shù)值在參數(shù)空間a-b平面上的投影;圖2c為密度函數(shù)值在參數(shù)空間a-b 上的投影;圖2d為參數(shù)空間上的密度函數(shù)值,密度函數(shù)值的大小用彩虹圖表示,數(shù)值由大到小依次由紅色到藍色表示。

      式(5)中參數(shù)λ 的選擇決定了改進爬山法是否能正確獲得擬合參數(shù)以及參數(shù)的擬合精度,文獻[11]指出λ 的選擇可通過自相關(guān)的有關(guān)算法給出或由實驗者設定。實際上參數(shù)λ的選擇與參數(shù)空間中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有直接關(guān)系,模擬研究發(fā)現(xiàn)對于上述模擬數(shù)據(jù),當λρ=50時,改進爬山法具有良好的適用性,因此本文所有計算均選擇λρ=50。在實際的徑跡重建中,應當根據(jù)探測器的尺寸、圓徑跡的分布及噪聲水平等探測器性能參數(shù)合理設置λ。計算中,在每種情況下隨機產(chǎn)生10 000條模擬徑跡,使用改進爬山法得到每條徑跡的擬合參數(shù),表1列出了在不同情況下改進爬山法給出的圓徑跡參數(shù)的擬合結(jié)果及其精度。由計算結(jié)果易知,在不同的噪聲水平和測量精度下,改進爬山法均能給出較高精度的圓徑跡參數(shù)擬合值。但隨測量不精確度和噪聲水平的增加,參數(shù)的擬合精度在下降。

      圖1 測量點及其空間映射Fig.1 Original data points and their transformations in parameters'space

      圖2 改進爬山法對單圓徑跡擬合結(jié)果Fig.2 Fitting results of single circle track based on modified mountain method

      表1 不同情況下改進爬山法對圓徑跡參數(shù)擬合精度Table 1 Fitting values and their errors derived by modified mountain method under various scenarios

      2.2 其他圓徑跡重建

      圖3為高能物理實驗中帶電粒子在TPC中的投影徑跡,TPC 的中心為中心束流管。高能粒子在束流管中的對撞中心點發(fā)生碰撞,產(chǎn)生的初級帶電粒子的徑跡在讀出平面上的投影為1段圓弧,該圓弧通過坐標原點,其所對應的圓心角由粒子的動量和磁場強度決定;而對于次級帶電粒子的徑跡,其圓弧型徑跡并不一定通過坐標原點,對應的圓心角同樣由粒子的動量和磁場強度決定。

      圖3 帶電粒子在TPC中的投影徑跡Fig.3 Track projection of particles'trajectories in TPC

      針對幾種不同的圓弧型徑跡,圖4示出了使用改進爬山法的重建結(jié)果。圖4a~c為單圓弧型徑跡的重建結(jié)果,圖4a為過原點的初級帶電粒子產(chǎn)生的圓弧型徑跡,該徑跡完全投影到了讀出平面,圖4b為僅部分徑跡投影到TPC讀出平面的情況,而圖4c則為次級粒子產(chǎn)生的徑跡情況。圖4d~f為上述幾種情況下的雙圓徑跡組合情況下的徑跡重建結(jié)果。與單圓徑跡重建相同,計算中使用參數(shù)λρ=50,噪聲點數(shù)取信號點數(shù)的50%~100%,位置測量的隨機誤差為徑跡半徑R 的5%,每條徑跡上信號點數(shù)在16~21之間。計算結(jié)果顯示,改進爬山法同樣適用于多條圓徑跡的重建。

      3 結(jié)語

      本文通過空間映射將二維平面上的帶電粒子圓徑跡重建問題轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)空間上的聚類問題,其中參數(shù)聚類中心在參數(shù)空間上的位置代表了圓徑跡的參數(shù),使用改進爬山法在參數(shù)空間上尋找該聚類中心。充分考慮探測器的位置測量不精確度、噪聲水平和測量點數(shù)等因素,在不同情況下使用改進爬山法計算得到了圓徑跡參數(shù)的擬合值及其精度。計算結(jié)果顯示,該方法具有較強的魯棒性和抗噪聲干擾能力,在不同噪聲水平下均能給出較高的擬合精度。此外,使用改進爬山法對二維平面上的兩條圓徑跡進行了重建,結(jié)果顯示該算法同樣適用多條圓徑跡的重建。

      圖4 不同類型的圓徑跡重建Fig.4 Track reconstruction of circles under various scenarios

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