基于子陣劃分的二維穿墻MIMO陣列設(shè)計(jì)

(國防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長沙410073)

0 引言

近些年來,伴隨著新的需求以及新的概念的引入,雷達(dá)成像技術(shù)有了長足的發(fā)展。應(yīng)對(duì)于城市反恐、巷戰(zhàn)以及火災(zāi)、地震等災(zāi)難廢墟中被掩埋受災(zāi)人員的搜救等需求[1-3],超寬帶穿墻成像技術(shù)得到廣泛研究。

目前,大部分研究主要針對(duì)于二維穿墻成像,利用寬帶信號(hào)得到距離向分辨率,利用天線的空間展布得到方位向分辨率。然而,由于二維成像是對(duì)真實(shí)三維空間二維投影的結(jié)果,成像結(jié)果不可避免地會(huì)出現(xiàn)陰影效應(yīng)以及空間模糊等現(xiàn)象。對(duì)于一些復(fù)雜場(chǎng)景來說,投影幾乎意味著混疊不可辨,因此,通過天線的二維空間展布獲取目標(biāo)場(chǎng)景的三維信息就成為了迫切需要。

為了解決穿墻三維成像中合成孔徑成像時(shí)的實(shí)時(shí)性問題以及實(shí)孔徑成像時(shí)大量實(shí)際陣元帶來高成本問題,MIMO技術(shù)[4-5]通過虛擬陣元技術(shù),在保持實(shí)際陣元數(shù)目不變的情況下可獲得更大的成像孔徑,得到廣泛應(yīng)用。考慮到二維平面陣列中,收發(fā)陣元位置的可選擇性過大,若是直接設(shè)計(jì)分析二維MIMO陣列,難度會(huì)較大,結(jié)果也可能并不盡人意。協(xié)同陣、虛擬陣等等效陣列[3,6-9]可將收發(fā)異置的MIMO陣列形式等效為收發(fā)同置形式,這種等效分析為MIMO陣列的分析設(shè)計(jì)提供了重要工具。

在文獻(xiàn)[10]中Lockwood通過選擇不同的收發(fā)陣元間距提出一種稀疏二維陣列設(shè)計(jì)框架,Smith在文獻(xiàn)[11]中利用快速傅里葉變換方法得到幾種遠(yuǎn)場(chǎng)典型二維陣列,Zhuge在文獻(xiàn)[12]中利用分離孔徑函數(shù)的方法將一維線陣的設(shè)計(jì)方法推廣至二維均勻面陣?？紤]到利用等效陣列分析MIMO陣列性能時(shí),其等效條件僅在某一較小角度內(nèi)是有效的,因此,利用等效陣列設(shè)計(jì)MIMO陣列時(shí),希望所設(shè)計(jì)的MIMO陣列與等效陣列具有相同的視角,其收發(fā)陣列的尺寸盡可能小,從而保證近乎一致的成像幾何。參考陸必應(yīng)等人在文獻(xiàn)[3]中給出的一維STVA陣列,本文在具體分析一維STVA陣列具有最短物理尺寸的原理上,提出基于子陣劃分的去卷積方法,利用子陣劃分后的部分信息衡量評(píng)價(jià)去卷積后得到多種MIMO陣列,從而選擇出具有最小物理尺寸的MIMO陣列,并最終將這種方法推廣至二維面陣情況,設(shè)計(jì)出適于穿墻三維成像的二維MIMO陣列,并利用仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 協(xié)同陣與虛擬陣

協(xié)同陣的概念是由Kassam等人[7]提出,主要基于將雙程收發(fā)異置天線對(duì)等效為單程單個(gè)等效陣元的思想,利用波束形成技術(shù)得到陣列波束方向圖,從而表征原始陣列性能?？紤]二維平面MIMO陣列,設(shè)該MIMO陣列包含M個(gè)發(fā)射陣元和N個(gè)接收陣元,各陣元均位于xz平面上,如圖1所示。分別記第m個(gè)發(fā)射陣元的坐標(biāo)位置為rt,m=(xt,m,0,zt,m),m=0,1,2,…,M-1,第n個(gè)接收陣元的坐標(biāo)位置為rr,n=(xr,n,0,zr,n),n=0,1,2,…,N-1。則協(xié)同陣等效陣元的位置向量可由收發(fā)陣元位置向量的和向量來表示：

式中,i=(m+1)(n+1)-1,m=0,1,2,…,M-1,n=0,1,2,…,N-1。

圖1 二維平面MIMO陣列示意

假設(shè)發(fā)射陣元rt,m和接收陣元rr,n的加權(quán)系數(shù)分別為wt,m與wr,n,則協(xié)同陣等效陣元的加權(quán)系數(shù)可表示為

若多個(gè)協(xié)同陣等效陣元位置相同,則該位置處加權(quán)系數(shù)為多個(gè)加權(quán)系數(shù)之和。

對(duì)于窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)條件下,MIMO陣列波束方向圖可通過陣列加權(quán)系數(shù)的傅里葉變換得到：

式中,θ,φ表示目標(biāo)到陣列中心的入射高度角和方位角;k=2π/λ表示波數(shù),λ表示波長。

將式(1)、(2)代入式(3)可得

式(4)中第一個(gè)和式為發(fā)射陣列的波束方向圖,可記為Pt(θ,φ),第二個(gè)和式為接收陣列的波束方向圖,可記為Pr(θ,φ),因此,對(duì)于窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)MIMO的波束方向圖可表示為收發(fā)陣列波束方向圖的乘積形式。

而對(duì)于寬帶遠(yuǎn)場(chǎng)情況,由于信號(hào)持續(xù)時(shí)間較短,信號(hào)能量隨時(shí)間變化起伏較大。因此,寬帶信號(hào)下波束方向圖為空間角度和時(shí)間的多維函數(shù),可表示為

式中,k=2π/λ表示中心頻率對(duì)應(yīng)的波數(shù);c表示光速;A(t)表示發(fā)射的寬帶脈沖包絡(luò),在理想單頻情況下,A(t)為一常量。

與協(xié)同陣稍有差別,虛擬陣[3,8-9]基于相位中心近似原理,將原始雙程收發(fā)異置MIMO陣列等效為雙程收發(fā)同置等效陣列,對(duì)于上文中給出的MIMO陣列,等效虛擬陣可表示為

式中,i=(m+1)(n+1)-1,m=0,1,2,…,M-1,n=0,1,2,…,N-1。而虛擬陣的加權(quán)系數(shù)則與協(xié)同陣的加權(quán)系數(shù)一致,即wv,i=wc,i,i=0,1,2,…,MN-1。

對(duì)于收發(fā)同置的虛擬陣,由于發(fā)射與接收信號(hào)傳播途徑完全一致,因此,對(duì)于雙程成像過程可等價(jià)為單程波束形成過程,此時(shí),信號(hào)傳播速度為實(shí)際傳播速度的一半,因此寬帶遠(yuǎn)場(chǎng)虛擬陣的波束方向圖可表示為

式中,kv=2π/λ=4πfc/c表示中心頻率對(duì)應(yīng)的波數(shù),fc為中心頻率。

2 點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)

前文中波束方向圖是基于遠(yuǎn)場(chǎng)假設(shè)得到的,對(duì)于近場(chǎng)成像誤差較大,而點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)(PSF)為成像系統(tǒng)對(duì)理想點(diǎn)目標(biāo)的響應(yīng),近遠(yuǎn)場(chǎng)都適用,因此對(duì)于穿墻成像一般選取點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的部分指標(biāo)作為衡量陣列性能的標(biāo)準(zhǔn)。

仍考慮圖1所示二維平面MIMO陣列,假設(shè)理想點(diǎn)目標(biāo)位于坐標(biāo)ro=(xo,yo,zo),發(fā)射寬帶信號(hào)為步進(jìn)頻信號(hào)：

式中,f p=f0+pΔf,p=0,1,…,P-1為步進(jìn)頻率,Δf為頻率間隔,P為步進(jìn)頻數(shù)。為計(jì)算簡便,取所有頻點(diǎn)信號(hào)幅值均為1,即S(f p)=1,p=0,1,2,…,P-1。在自由空間傳播條件下,第m個(gè)發(fā)射陣元與第n個(gè)接收陣元關(guān)于第p個(gè)頻點(diǎn)的雙程格林函數(shù)可表示為

式中,k p=2πf p/c表示頻點(diǎn)f p所對(duì)應(yīng)的波數(shù)。因此,對(duì)于成像區(qū)域r=(x,y,z),該二維平面MIMO陣列的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)可以表示為

由式(10)可知,MIMO陣列的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)是關(guān)于目標(biāo)位置r o、成像位置r為空變函數(shù)。

而對(duì)于等效虛擬陣,其點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)可表示為

式中,rv,i為第i個(gè)虛擬陣元的位置,ro為目標(biāo)位置,r為成像位置。

在評(píng)價(jià)成像質(zhì)量時(shí),一般取PSF主瓣的3 dB寬度為分辨率,并以PSF的峰值旁瓣比(PSLR)以及積分旁瓣比(ISLR)表征對(duì)弱目標(biāo)的辨別能力,可分別定義如下：

式中,Ps,max為最高旁瓣功率,Pmain為主瓣功率,Ptotal為總功率。

3 二維MIMO陣列設(shè)計(jì)

由文獻(xiàn)[5]可知,根據(jù)分辨率以及旁瓣要求可設(shè)計(jì)出一維均勻等效線陣,且在等效陣列一定的情況,一維STVA陣列具有最小物理尺寸的特性,這種特性對(duì)于便攜性要求以及受限環(huán)境下的成像具有巨大優(yōu)勢(shì)。

仍考慮文獻(xiàn)[5]中的等效虛擬陣,比較圖2中待選的五種MIMO線陣可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)接收陣列尺寸較大時(shí),發(fā)射陣列尺寸會(huì)較小,符合等效陣列不變的原則。

由于等效陣列可以看作MIMO收發(fā)陣列之間的空間卷積,即

式中,De(r)為等效陣元的分布函數(shù);Dt(r),Dr(r)分別為發(fā)射陣元和接收陣元的分布函數(shù);“?”表示空間卷積運(yùn)算。由卷積的性質(zhì)可知,當(dāng)發(fā)射陣元確定時(shí),等效陣列是由多個(gè)發(fā)射陣元處接收陣列的副本組成。因此,在部分情況下,由等效陣列去卷積得到收發(fā)陣列的過程,可以簡化為將等效陣列劃分為多個(gè)相同結(jié)構(gòu)子陣的過程。對(duì)于同一等效陣列,不同的子陣劃分形式會(huì)導(dǎo)致去卷積得到不同的MIMO陣列,如圖2所示等效線陣,確定發(fā)射陣元個(gè)數(shù)為2時(shí),該線陣具有多種不同的子陣劃分形式,從而得到不同的收發(fā)結(jié)構(gòu)MIMO陣列形式。

圖2 多個(gè)具有相同等效虛擬陣的線性MIMO陣列

為了考察不同子陣劃分形式對(duì)最終MIMO陣列物理尺寸的影響,下面引入綜合尺寸的概念,其可定義如下：

式中,Le表示最終MIMO陣列的綜合尺寸;Lr,Lt分別表示等效陣列去卷積得到的收發(fā)陣列的物理尺寸。結(jié)合等效陣列的定義以及卷積的性質(zhì)可知：

式中,Lr0表示通過子陣劃分得到的接收陣列的副本的尺寸,da表示各子陣中心之間的距離,Nt表示發(fā)射陣元數(shù)目。將式(15)代入式(14)中,可得

對(duì)于圖2中所示5種不同子陣劃分,其綜合尺寸如表1所示。

表1 圖2中5種子陣劃分的綜合尺寸 (單位：等效陣元間距)

由表1可知,STVA陣列(陣列2)所對(duì)應(yīng)子陣劃分其綜合尺寸最小,因此STVA陣列具有最小物理尺寸。

將一維STVA陣列的原理推廣至二維面陣情況,考慮等效陣列為二維均勻方陣,假設(shè)該等效二維均勻面陣包含N×N的等效陣元,陣元間距分別為d x,d z,其分布函數(shù)可表示為

等效陣列的中心位置為

假設(shè)發(fā)射陣元數(shù)為T,T為二維等效方陣行數(shù)或列數(shù)N的一個(gè)因數(shù),則可確定接收陣元數(shù)為R=N×N/T,對(duì)R進(jìn)行因式分解,設(shè)R可分解為N R組因式乘積,記其中第a組因式分解為R=R ax×R az,若R ax和R az均為N的非自身因數(shù),則再對(duì)R ax,R az分別進(jìn)行因式分解,設(shè)其分別可分解為N ax,N az組因式乘積,分別記其中第p,q組因式分解為R ax=R apr×R aps,R az=R aqr×R aqs;若R ax或R az等于N,則記N ax或N az為1;若R ax或R az不為N的因數(shù),則記N ax或N az為0,因此,整個(gè)等效陣列可分解為N E種不同子陣劃分形式,N E滿足下式：

取N E中任意一子陣劃分形式,得到一種子陣結(jié)構(gòu),即接收陣列的副本可表示如下：

該接收陣列副本的中心位置可表示為

因此,接收陣列的分布函數(shù)可表示為

根據(jù)式(17)、(22)以及式(6)給出的等效虛擬陣元的位置關(guān)系可得,發(fā)射陣列的分布函數(shù)為

將式(17)、(22)、(23)代入式(13)中,式(13)成立,因此,式(22)、(23)中的收發(fā)陣列位置滿足等效陣列設(shè)計(jì)要求。

與一維線陣稍有差別,二維面陣需要同時(shí)考慮方位向和高度向的物理尺寸,因此,引入適用于二維面陣的綜合尺寸概念,可表示為

式中,“∪”表示取并集覆蓋面積;Sr0表示子陣尺寸;Ntx,Ntz表示沿x,z方向的子陣個(gè)數(shù);dtx,dtz分別表示沿x,z方向子陣之間的間距。

由切片投影原理[13]可知,二維面陣在某個(gè)方向的性能是由該陣列在此方向的陣元投影決定的,因此當(dāng)僅關(guān)心方位向和高度向兩個(gè)基本方向陣列性能時(shí),可先分別設(shè)計(jì)滿足方位向、高度向的性能要求的一維均勻線陣,再將兩個(gè)基本線陣組合成二維均勻面陣。

因此,整個(gè)二維MIMO陣列的設(shè)計(jì)過程可遵循以下幾個(gè)步驟：

(1)根據(jù)陣列性能要求設(shè)計(jì)方位向、高度向一維均勻線陣[3,6],分別得到

(2)將兩個(gè)一維線陣組合為二維均勻面陣,如式(17)所示;

(3)對(duì)于給定發(fā)射陣元數(shù)目,按照式(19)劃分二維均勻面陣,得到接收陣列副本如式(20)所示,根據(jù)式(24)選取最小綜合尺寸對(duì)應(yīng)的子陣劃分形式以及接收陣列副本;

(4)根據(jù)式(22)從接收陣列副本確定接收陣元位置;

(5)根據(jù)卷積特性,由等效陣列位置以及接收陣列位置確定發(fā)射陣元位置如式(23)所示。

4 設(shè)計(jì)實(shí)例及仿真結(jié)果

陣列要求：設(shè)計(jì)UWB二維MIMO陣列,要求該陣列在距離5 m處,天線中心對(duì)應(yīng)處方位向、高度向可達(dá)到0.3m分辨率,旁瓣水平低于-25 dB,發(fā)射陣元數(shù)為18,整個(gè)陣列物理尺寸盡可能小。

為適于UWB成像要求,采用步進(jìn)頻信號(hào)體制,中心頻率為1 GHz,帶寬為1 GHz,頻率步進(jìn)為4 MHz,按照前文中所述設(shè)計(jì)步驟,結(jié)合文獻(xiàn)[6]可知,一維均勻線陣孔徑長度L以及陣元數(shù)目N分別滿足下式：

通過式(27)、(28)可得到,L=2.28 m,N=18,因此經(jīng)一維線陣組合成的二維均勻面陣為一18×18(2.28 m×2.28 m)的均勻方陣,陣元間距d=0.1341 m,由于發(fā)射陣元數(shù)為18,由式(19)可知,該方陣可按照?qǐng)D3所示15種方式劃分為18個(gè)相同結(jié)構(gòu)的子陣。

圖3 二維面陣15種18個(gè)陣元的子陣結(jié)構(gòu)

根據(jù)式(24),可以計(jì)算得到這五種子陣結(jié)構(gòu)的綜合尺寸如表2所示。

表2 圖3中15種子陣劃分的綜合尺寸 (單位：等效陣元間距的平方)

由表2可知,陣列4子陣結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的綜合尺寸最小,相應(yīng)的MIMO陣列物理尺寸最小,按照相應(yīng)步驟可得到MIMO收發(fā)陣列形式如圖4所示。

圖4 等效二維均勻面陣和MIMO收發(fā)陣列

利用仿真軟件對(duì)所設(shè)計(jì)二維等效均勻面陣以及MIMO陣列性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證,其PSF如圖5所示。通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),二維等效均勻面陣與MIMO陣列性能均滿足設(shè)計(jì)要求,且兩者PSF具有較好的一致性,從而驗(yàn)證了利用等效陣列設(shè)計(jì)二維MIMO陣列的正確性以及利用劃分子陣結(jié)構(gòu)來去卷積得到MIMO陣列的有效性。

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)MIMO陣列在穿墻三維成像中應(yīng)用,利用仿真軟件對(duì)穿墻三維成像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),假設(shè)MIMO陣列距墻3 m,墻體厚度為0.2 m,介電常數(shù)為4.2,在墻后2 m處沿高度向設(shè)置兩個(gè)點(diǎn)目標(biāo),目標(biāo)間距為0.4 m,成像場(chǎng)景示意以及成像結(jié)果如圖6所示。通過仿真實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn),示例中所設(shè)計(jì)的MIMO在穿墻三維成像方面具有較優(yōu)性能。

5 結(jié)束語

本文利用等效陣列的概念來分析設(shè)計(jì)MIMO陣列,分析了一維STVA陣列具有最短物理尺寸的原理,并將其原理推廣至二維面陣,提出利用子陣劃分的方法解決等效陣列到MIMO陣列的去卷積問題,最后舉例設(shè)計(jì)了適于要求UWB-MIMO陣列,并將其用于穿墻三維成像仿真實(shí)驗(yàn),取得較好的成像結(jié)果。

圖5 等效陣列與MIMO陣列方位向、高度向PSF對(duì)比圖

圖6 三維穿墻成像場(chǎng)景示意及成像結(jié)果

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