一類泛函的徑向極小元的局部一致估計＊

韓海燕

（馬鞍山師范高等?？茖W校教師教育系，安徽馬鞍山 243041）

0 引言

帶權的Ginzburg－Landau型泛函是相變理論中的一個模型，它在超導、超流和XY－磁等領域中有著重要的應用，研究這類泛函的極限行為得到了國內外許多研究工作者的關注和青睞.對加權的Ginzburg－Landau型泛函

在函數(shù)類空間

中徑向極小元με的極限行為的研究具有極高的價值.研究徑向極小元極限行為有很多種方法［1］，其中通過建立局部一致估計來實現(xiàn)對徑向極小元的極限行為的研究是一種很重要的途徑.本文將闡述如何對徑向極小元建立局部一致估計.

本文在徑向極小元整體估計的基礎上，適當引入輔助泛函，從而降低整體估計右端的增長速度，使得它不再增長或負增長，最終建立局部一致估計.下面將詳細地闡述該項研究和論證過程.

1 局部一致估計的建立

其中C＞0不依賴于ε∈（0，1），r∈［0，1］.

設r0∈［0，1］.下面將從r0的3種情形來分別對徑向極小元建立局部一致估計.

先考慮0＜r0＜1的情形.對任給的R∈（0，1），都存在常數(shù)C（R）＞0，使得當ε∈（0，ε0）時，

其中ε0＞0充分小，且有公式［3］

定理1 設0＜r0＜1，任給存在常數(shù)C＞0使得

其中ε∈（0，ε0），ε0充分小.

證明 從式（1），對任何T＞0，可以得出

因為是極小元，由式（1）可以推出

在［0，1］上選取光滑切斷因子0≤ζ（r）≤1，使得在（0］上ζ＝1，在r＝r0－T附近ζ＝0，｜ζr｜≤C（T）［6］.在式（6）兩端乘ζρr（ρ＝ρε）并在（T1，r0－T2）上積分，便得

利用式（9）可以導出

利用式（5）（7）（9）還可以導出

將式（11）（12）代入（10）便得到

再選取光滑切斷因子ζ∈C∞（0，1］［7］，滿足在T1附近ζ＝0，在［r0－T2m＋1，r0）上ζ＝1，ζr≤C（T）.與前面的討論一樣，仍可得到

在式（6）兩端乘ρ－1并積分，有

由此及式（5）（7）（13），可以推出

定義1

因為με是Eε（μ，B）的極小元，所以可以得出

這表明

再利用式（8），可得

以此結合式（14）便得到

同樣地，通過考慮泛函

易證其極小元ρε在中存在，類似于式（14）的證明，仍然可以得到

定義2

注意到με是Eε（μ，B）的極小元，可以得到

于是，

運用式（16）得到

結合式（15）并注意到T≥max｛Tim＋1；i＝1，2，3｝，可得式（3）成立.

類似于定理1的證明，可以證明如下的定理.定理2 若r0＝0，則對任給的都存在不依賴于ε的常數(shù)C＞0，使得

若r0＝1，則對任給的T∈（0，1），都存在不依賴于ε的常數(shù)C＞0，使得

通過以上的討論，分別給出了r0在區(qū)間［0，1］上3種局部一致估計，這3種局部一致估計為徑向極小元的極限行為研究奠定了基礎.

［1］ LEI Yutian.Radial minimizer of p－Ginzburg－Landau functional with nonvanishing dirichlet boundary condition［J］.Nonlinear Analysis，2005，60：117－128.

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