純方位目標跟蹤系統(tǒng)觀測平臺的貪婪法機動策略＊

許志剛，周 立

（淮海工學(xué)院a.理學(xué)院；b.測繪工程學(xué)院，江蘇連云港 222005）

0 引言

純方位目標跟蹤（bearings－only tracking，BOT）技術(shù)在紅外探測、無人機空中偵察、海洋中的目標搜救等一些實際工程中具有重要的應(yīng)用價值［1－2］.

由于特殊的可觀測性問題［3］，被動觀測平臺必須進行有效的機動，才能保證系統(tǒng)存在唯一解［4］.在實際應(yīng)用中，量測的角度往往受噪音的干擾，即使在系統(tǒng)可觀測情況下，估計器的性能受觀測平臺機動軌跡的影響也非常大，具體體現(xiàn)在目標參數(shù)估計精度、估計器穩(wěn)定性、收斂時間等指標方面.

在研究觀測平臺機動策略時，選用不同的性能指標會產(chǎn)生不同的機動軌跡；從跟蹤估計目標運動參數(shù)角度，大多數(shù)文獻選用FIM信息陣和方位變化率來研究.如文獻［5］選用FIM下界為性能指標，研究固定目標定位問題中的平臺機動軌跡；文獻［6］直接基于最大化FIM的行列式，用微分包含技術(shù)試圖尋找目標定位問題的觀測平臺最優(yōu)軌跡；文獻［7］則選用方位變化率最大作為性能指標，推導(dǎo)出勻速直航目標跟蹤的本載體最優(yōu)軌跡；Passerieux等［8］以變形FIM為指標，通過解析和數(shù)值迭代方法給出最佳觀測平臺機動Euler方程.另外有文獻基于Cramer－Rao下界（CRLB）性能指標，利用矩陣跡最小探索觀測平臺的最優(yōu)軌跡［9］.目前對運動目標跟蹤問題，文獻大多利用批處理方法給出末端點平臺航向控制，且控制表達式非常繁瑣，計算復(fù)雜，不利于應(yīng)用；或者利用方位差最大指標給出實時控制，但這種控制只考慮了方位信息，與觀測器和目標相對距離以及速度無關(guān)，達不到充分利用現(xiàn)有信息的效果.

文獻［10］選用最大化當前FIM增量行列式指標給出了定位系統(tǒng)的一種基于當前量測的最優(yōu)控制策略.本文將上述結(jié)果推廣到遠距離目標被動跟蹤系統(tǒng)，給出當前時刻一種新的觀測平臺航向控制策略，設(shè)計的航向機動控制序列幾何意義明確，在工程應(yīng)用中具有可操作的借鑒價值.

1 問題描述

1.1 CRLB遞推式

傳統(tǒng)上，CRLB主要被用來估計次優(yōu)線性／非線性濾波的誤差性能［11］，由于CRLB在系統(tǒng)構(gòu)建前能預(yù)測可達到的最優(yōu)理論性能指標，因此也可以利用它來進行系統(tǒng)設(shè)計.雖然CRLB批處理計算需要求取高階矩陣的逆，使得計算復(fù)雜度隨采樣時間延長越來越高［12］，但Tichavsky等［13］給出離散系統(tǒng)濾波CRLB（PCRLB）遞推式，使得計算復(fù)雜度大為減小.

記Jk為濾波Fisher信息矩陣（FIM）［11］，離散型濾波信息陣Jk的一個遞推計算公式［13］為

這里

1.2 系統(tǒng)模型

假定目標和觀測平臺都在同一平面上，觀測平臺以速率Vw，k運動.觀測平臺動力學(xué)方程為

初始條件

其中xw，k，yw，k分別為k時刻觀測平臺在x和y方向的坐標；Cw，k為k時刻觀測平臺運動航向，為控制參數(shù).

量測噪音ηk～N（0，R）.

Fisher信息矩陣（FIM）為

其中

式（5）可化為

利用式（1）可得FIM遞歸式為

2 純方位跟蹤系統(tǒng)觀測平臺次優(yōu)機動軌跡

在BOT系統(tǒng)中，F(xiàn)IM是反映觀測平臺機動后對目標信息提取的度量陣.隨著量測數(shù)據(jù)的增加，F(xiàn)IM陣的全局計算量呈指數(shù)型增長，同時也不適合實時控制；在工程應(yīng)用中，k時刻觀測平臺機動模式控制策略的選擇更具有現(xiàn)實意義.

不失一般性，第一步先研究k到k＋1時刻（k＞1）的觀測平臺機動軌跡.如圖1所示，設(shè)觀測平臺在時刻k位于O點，目標位于A點，在k＋1時刻觀測平臺運動到B點，假設(shè)觀測平臺速度在一個采樣周期內(nèi)保持不變，即從k時刻到k＋1時刻速度Vw，k不變，采樣周期為T，則sk＝｜OB｜＝Vw，kT；記｜OA｜＝rk，｜BA｜＝rk＋1，現(xiàn)要確定觀測平臺在k時刻的航向Cw，k，使得當前信息量最大.由于從k時刻到下一采樣時刻之前僅有前k時刻的量測方位，可假定一個采樣周期內(nèi)目標近似不動（仍位于A）.

圖1 觀測平臺與目標的幾何態(tài)勢Fig.1 Geometric state of observer platform and target

依據(jù)貪婪法思想，盡可能使當前信息最大，這里取最大化信息陣行列式增量為性能指標，即可歸結(jié)為求解優(yōu)化問題：

經(jīng)推導(dǎo)得

下面給出k時刻觀測平臺航向的幾何描述.

觀測平臺在k時刻測得目標角度βk；作以O(shè)為圓心，sk＝Vw，kT為半徑的圓（如圖2所示），作OD⊥OA交圓O于D點，連AD交圓于B點，則∠OAD＝αk.作OE⊥BD，容易看出∠DOE＝∠BOE＝αk，且αk＝βk－βk＋1，所以因此觀測平臺最優(yōu)軌跡為從O點運動到B點.如果僅就當前量測信息，關(guān)于觀測器與目標瞄準線對稱方向還有另一個機動軌跡，由于這里的目標是運動的，對于左右兩個機動軌跡的選擇可通過所有量測方位信息給出判斷.

圖2 當前時刻k的觀測平臺次優(yōu)機動航向Fig.2 Optimal maneuver heading of observer platform at current time k

當觀測平臺到達B點后，此時目標運動到F點，目標在F點方位被測量.觀測平臺在進行下一個機動控制選擇時，當采樣時間很小時，可繼續(xù)將目標看作在F點不動.下面討論左右支機動策略的選擇.

考慮n時刻累計信息陣：

由目標與觀測平臺運動態(tài)勢，根據(jù)投影定理得

上式化簡可得

其中qm，k，qw，k分別為目標和觀測平臺的舷角，左負右正（見圖2）.

當觀測平臺與目標互為右舷（sin qm，k，sin qw，k均為正值）時，此時0≤βk＋1－βk≤π；反之，當觀測平臺與目標互為左舷（sin qm，k，sin qw，k均為負值）時，此時－π≤βk＋1－βk≤0；由于這里主要考慮遠距離目標跟蹤，當觀測平臺與目標相對距離的變化率很小時，可忽略不計，因此，若觀測平臺與目標同舷時，sin2（βiβj）取得最大值，也即max｛det［（~JToln）2×2］｝存在.

以圖3為例，當目標軌跡為P→A1→A2→A3→A4→A5時，運用機動策略可得觀測平臺1條次優(yōu)機動序列：O→B1→B2→B3→B4→B5.這里目標與觀測平臺互為左舷（－π≤qm，k，qw，k≤0）.同理可給出目標與觀測平臺互為右舷的機動序列.

圖3 觀測平臺機動軌跡（－π≤qm，k，qw，k≤0）Fig.3 Observer platform maneuver trajectoryl（－π≤qm，k，qw，k≤0）

特別地，若目標沿瞄準線（LOS）走接近或遠離觀測平臺的直線運動，可以找到觀測平臺2條次優(yōu)機動軌跡.圖4給出當目標沿LOS航向走接近觀測平臺情形下觀測平臺2支次優(yōu)機動航向.目標軌跡為P→A1→A2→A3→A4→A5.左支：O→B1→B2→B3→B4→B5→B6.右支：O→D1→D2→D3→D4→D5→D6.

圖4 目標走LOS航向時觀測平臺的2支機動軌跡Fig.4 Two observer maneuver trajectories in LOS course

3 數(shù)值算例

給出最大化FIM行列式增量指標下不同目標初距、觀測平臺速度和采樣時間情形下最優(yōu)軌跡的形態(tài)變化.圖5為觀測平臺與目標互為右舷情形下的運動平臺機動軌跡.其中：目標初始坐標（單位：m）（0，2 000），速度8m／s，航向5π／6；觀測平臺初始位置（0，0），速度15m／s；采樣周期T＝5s.圖6為觀測平臺與目標互為左舷情形下的運動平臺機動軌跡.其中：目標初始坐標（單位：m）（0，10 000），速度15m／s，航向7π／6；觀測平臺初始位置（0，0），速度20m／s；采樣周期T＝10s.

在方位率最大指標下機動軌跡與平臺速度無關(guān)，航向與瞄準線垂直，信息提取以方位信息為唯一目的，這里信息包含距離信息和方位信息.從圖6可看出機動軌跡隨觀測平臺速度的提高，向目標靠近的速度相對也加快，反映了觀測平臺速度提高、機動策略加強對目標距離信息的提??；反之則更側(cè)重目標角度信息的提取，使信噪比逐漸提高，增加信息量的獲取.

圖5 觀測平臺與目標互為右舷Fig.5 Observer moves along starboard side of the target

圖6 觀測平臺與目標互為左舷Fig.6 Observer moves along portside of the target

4 結(jié)論

純方位目標跟蹤系統(tǒng)觀測平臺的貪婪法機動策略，利用當前時刻的角度量測數(shù)據(jù)，選用當前FIM行列式增量作為指標，使得每一步選擇中都采取在當前狀態(tài)下最好或最有利的機動選擇.由于貪婪法的計算簡單以及所求得的結(jié)果比較接近最優(yōu)結(jié)果，所以得到的機動控制策略更具有可操作性和實用性.傳統(tǒng)最大角度變化率絕對值指標法，與相對距離和觀測平臺速度沒有關(guān)系，所以它更單一地以提高角度信息為主，當量測容量達到一定飽和度時，濾波效果隨時間增加將趨于平緩.貪婪法機動軌跡隨觀測平臺速度、目標初始距離的變化而變化，在距離信息和角度信息側(cè)重性上保持一種平衡.速度越大，相對距離越小，則機動策略越加強距離信息的提取，反之則更側(cè)重加強角度信息的提取.在短距離目標跟蹤中，目標和平臺幾何態(tài)勢以及距離因素對左右支策略選擇的影響是進一步研究的問題.

［1］ BARSHALOM Y，LI Xiaolong，KIRUBARAJAN T. Estimation with Applications to Tracking and Navigation［M］.New York：Wiley，2001.

［2］ DENG Xinpu，WANG Qiang，ZHONG Danxing.Observability of airborne passive location system with phase difference measurements［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2008，21（2）：149－154.

［3］ NARDONE S C，AIDALA V J.Observability criteria for bearings－only target motion analysis［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1981，17（2）：161－166.

［4］ 許志剛，董志榮.純方位系統(tǒng)定位與跟蹤解的唯一性問題［J］.火力與指揮控制，2002，27（4）：38－42.

［5］ LIU P T.An optimum approach in target tracking with bearings measurements［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1987，56（2）：205－214.

［6］ OSHMAN Y，DAVIDSON P.Optimization of observer trajectories for bearings－only target localization［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1999，35（3）：892－902.

［7］ 董志榮.純方位系統(tǒng)定位與跟蹤的本載體最優(yōu)軌線方程及其最優(yōu)軌線［J］.指揮控制與仿真，2007，29（1）：7－15.

［8］ PASSERIEUX J M，VAN CAPPEL D.Optimal observer maneuver for bearings－only tracking［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1998，34（3）：777－788.

［9］ HELFERTY J P，MUDGETT D R.Optimal observe trajectories for bearing－only tracking by minimizing the trace of the Cramer－Rao lower bound［C］／／Proceedings of the 32nd Conference on Decision and Control.San Antonlo，Texas，December，1993：936－939.

［10］ 許志剛，盛安冬，陳黎，等.被動目標定位系統(tǒng)觀測平臺的最優(yōu)機動軌跡［J］.控制理論與應(yīng)用，2009，26（12）：1337－1344.

［11］ KERR T H.Status of CR－like lower bounds for nonlinear filtering［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1989，25（9）：590－601.

［12］ TAYLOR J H.The Cramer－Rao estimation error lower bound computation for deterministic nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1979，24（2）：343－344.

［13］ TICHAVSKY P，MURAVCHIK C H，NEHORAI A.Posterior Cramer－Rao bounds for discrete－time nonlinear filtering［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1998，46（5）：1386－1396.