信號調制關聯噪聲驅動下光學雙穩(wěn)系統(tǒng)的瞬態(tài)性質分析

桂 堤,何麗萍,熊 輝

(湖北理工學院 數理學院，湖北 黃石 435003)

平均首次通過時間(mean first passage time,MFPT)是隨機動力學理論研究中的一個重要課題,用來描述非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)特性,已成為人們廣泛關注的研究課題。游敬云[1]等研究了乘法噪聲系數對雙穩(wěn)鋸齒系統(tǒng)逃逸率的影響;王兵[2]等研究了雙色噪聲驅動非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)平均第一穿越時間;寧麗娟[3]等研究了色關聯噪聲驅動的非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)中平均首次穿越時間;王國威[4]等研究了關聯噪聲和周期信號驅動非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析。

在之前的眾多研究當中,只考慮了噪聲的各種關聯形式對系統(tǒng)的影響。由于噪聲也受信號的影響,考慮噪聲受信號的調制與實際更加吻合,而在此之前的研究討論噪聲受信號調制后對系統(tǒng)的影響較少。本文將討論受周期信號調制的白關聯的乘性噪聲與加性白噪聲驅動下光學雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次通過時間問題。

1 雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次通過時間

考慮如下乘性白噪聲和加性白噪聲驅動的光學雙穩(wěn)系統(tǒng)[5]：

(1)

式(1)中，c為雙穩(wěn)參數,y0為激光輸入模,x為激光輸出模,ξ(t)、η(t) 分別為乘性噪聲和加性噪聲。設驅動系統(tǒng)的乘性噪聲ξ(t)受到周期信號Bcos(Ωt)的調制, 則有：

(2)

且ξ(t)、η(t) 滿足如下統(tǒng)計性質[6]：

〈ξ(t)〉=〈η(t)〉=0,

〈ξ(t)ξ(t')〉=2Qδ(t-t')=γ11,

〈η(t)η(t')〉=2Dδ(t-t')=γ22,

(3)

式(2)～(3)中,B代表調制信號幅值,Ω代表調制信號頻率,Q代表泵噪聲ξ(t)的強度,D代表量子噪聲η(t) 的強度,λ代表噪聲間的關聯強度,為一常量。

通過求解方程(1)～(3)可以得到該系統(tǒng)的?？?普朗克方程如下[7]：

(4)

由方程(4)求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數為：

(5)

U(x)=-Q[u(x)+v(x)+w(x)+z(x)]

(6)

式(5)～(6)中:

(7)

式(7)中，xs1和xs2代表穩(wěn)定點,xu代表不穩(wěn)定點。

利用平均首次通過時間的定義和最陡下降法可得2個不同方向的平均首次通過時間的表達式為[5-8]：

(8)

(9)

式(8)～(9)中，V(x),B(x),U(x)及xs1,xs2,xu均與前文中定義相同。

2 各參量對平均首次通過時間的影響

利用2個不同方向的平均首次通過時間的表達式(8)和(9)，討論各參量分別對T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1)的影響。

不同雙穩(wěn)參數c的取值對平均首次通過時間T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1)隨輸入信號振幅B的變化曲線的影響如圖1所示,其他參數為：y0=6.07,λ=1,Q=3,D=2,Ω=0.001。從圖1(a)中可以看出, 在小B(B<0.6)范圍內, 平均首次通過時間T+(xs1→xs2)隨B值的增大迅速減小并趨于零, 在0.41.4范圍內,T+(xs1→xs2)隨B值的增大先迅速增大后逐漸減小,即出現一個極大值。隨著雙穩(wěn)參數c值的增大, 曲線整體下移, 且峰的位置向B值增大的方向移動。從圖1(b)中可以看出, 平均首次通過時間T-(xs2→xs1) 隨B值的變化曲線與圖1(a)T+(xs1→xs2) 隨B值的變化曲線類似。隨著c值的增大,曲線先整體上移后整體下移,但峰的位置基本不變。這表明B對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1的作用相同, 即隨著B值的增大,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時間先變短, 然后變長, 最后又逐漸變短。c對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1的作用不同,c值越大, 系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2所用的平均時間越短;而隨著c值的增大,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時間先變長后變短。

(a) T+(xs1→xs2)隨B的變化曲線

(b) T-(xs2→xs1)隨B的變化曲線

不同輸入信號振幅B的取值對平均首次通過時間T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1) 隨加性噪聲強度D的變化曲線的影響如圖2所示,其他參數為：c=4.95,λ=1,y0=6.07,Ω=0.001,Q=3。從圖2(a)中可以看出,平均首次通過時間T+(xs1→xs2)隨D值的增大逐漸增大。隨著B值的增大,曲線整體朝D值增大的方向移動。固定D, 可以發(fā)現,平均首次通過時間T+(xs1→xs2)隨B值的增大而減小。這說明D和B對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2所起的作用剛好相反,即B越大或D越小,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2所用的平均時間均越短。從圖2(b)中可以看出, 平均首次通過時間T-(xs2→xs1)隨D值的增大先增大后減小,即出現一個極大值。隨著B值的增大,曲線朝D值增大的方向移動,且極大值逐漸降低。這說明D和B對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個穩(wěn)態(tài)xs1所起的作用不同,即隨D值的增大, 系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時間先變長后變短,B值越大,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時間越短。

(a) T+(xs1→xs2)隨D的變化曲線

(b) T-(xs2→xs1)隨D的變化曲線

不同輸入信號振幅B的取值對平均首次通過時間T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1)隨輸入信號頻率Ω的變化曲線的影響如圖3所示,其他參數為：c=4.95,λ=1,y0=6.07,D=2,Q=3。從圖3(a)中可以看出,平均首次通過時間T+(xs1→xs2)隨Ω作周期性等振幅的振蕩,隨著B值的增大,振蕩的幅值也增大, 但振蕩的周期和振蕩的平衡位置均不變。從圖3(b)中可以看出,平均首次通過時間T-(xs2→xs1)隨Ω出現周期性多峰振蕩,隨著B值的增大,振蕩的峰值逐漸增大,但峰值的位置不變。

(a) T+(xs1→xs2)隨Ω的變化曲線

(b) T-(xs2→xs1)隨Ω的變化曲線

比較圖3(a)和圖3(b)可以看出,Ω對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1所起的作用不同,而B對系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1所起的作用相同,即系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2所用的平均時間隨Ω作周期性等振幅振蕩,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到另一個穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時間隨Ω作周期性多峰振蕩;B值越大,系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs1到另一個穩(wěn)態(tài)xs2和系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)xs2到穩(wěn)態(tài)xs1所用的平均時間均越長。

3 結 論

本文研究了信號調制關聯噪聲驅動下光學雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次通過時間問題， 在得到2個方向的平均首次通過時間的表達式的基礎上,討論了各個參量對平均首次通過時間的影響。研究發(fā)現:①T+(xs1→xs2)和T-(xs2→xs1)均隨B值的增大先迅速減小并趨于零,接著保持不變,且中間出現間斷點,然后迅速增大,最后逐漸減小,即出現一個極大值。②T+(xs1→xs2) 隨c值的增大,曲線整體下移,且峰的位置向B值增大的方向移動。T-(xs2→xs1)隨c值的增大,曲線先整體上移后整體下移,但峰的位置基本不變。③T+(xs1→xs2)隨D值的增大單調上升,T-(xs2→xs1)隨D值的增大出現一個極大值。④T+(xs1→xs2)隨Ω作周期性等振幅的振蕩,T-(xs2→xs1)隨Ω出現周期性多峰振蕩。

參考文獻

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