數(shù)列極限定義的教學思考

蔡 鋼，羅 萍

（重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331）

數(shù)列極限定義的教學思考

蔡 鋼，羅 萍

（重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331）

數(shù)列極限是數(shù)學分析課程中一個重要的概念，它也是學好數(shù)學分析的必備知識。本文對數(shù)列極限定義的教學方法做了一些分析和思考。

數(shù)學分析；極限；定義；數(shù)列

極限是數(shù)學分析的基礎，是數(shù)學分析課程中重要的概念之一，它也是研究微分學和積分學的必備工具。在數(shù)列極限的教學中，有很多學生總感到理解數(shù)列極限概念很困難，認為ε-N定義中的符號關系復雜，不易理解。本文對數(shù)列極限概念的教學過程進行了如下設計。

一、介紹極限發(fā)展歷史

極限思想的萌芽可以追溯到中國戰(zhàn)國時期和古希臘時期，但極限概念首次出現(xiàn)于沃利斯的《無窮算數(shù)》中，牛頓在其《自然哲學的數(shù)學原理》一書中明確使用了極限這個詞并作了闡述。18世紀下半葉，達郎貝爾等人認識到把微積分建立在極限概念的基礎之上，微積分才是完善的，柯西最先給出了極限的描述性定義，之后，魏爾斯特拉斯給出了極限的嚴格定義。

教師通過對極限發(fā)展歷史的簡單介紹，能加強學生對極限概念的感性認識。

二、列舉極限相關的例子，為引入極限定義作鋪墊

例1[1]：古代哲學家莊周的《莊子·天下篇》引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。其含義是：一根長為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進行下去。

分析：把每天截下部分的長度列出如下（單位為尺）：第一天截下，第二天截下，……，第n天截下，……，這樣就得到一個數(shù)列。觀察易知，數(shù)列的通項隨著n的無限增大而無限地接近于0。

例2[2]：介紹劉徽創(chuàng)立的“割圓術”。

我國古代杰出的數(shù)學家劉徽于魏景元四年（公元263年）創(chuàng)立的“割圓術”，他通過借助于圓的一串內接正多邊形的周長數(shù)列的穩(wěn)定變化趨勢定義了圓的周長。其作法是：首先作圓的內接正六邊形，其次平分每個邊所對的弧，作圓的內接正十二邊形，以下用同樣的方法，繼續(xù)作圓的內接正二十四邊形，圓的內接正四十八邊形，等等。這樣我們就得到了一串·圓的內接正多邊形的周長數(shù)列：P6，P12，其中通項表示第n次作出的圓的內接正2n-1·6邊形的周長。觀察，我們知道圓的內接正多邊形的邊數(shù)成倍無限增加時，這一竄圓的圓的內接正多邊形的周長數(shù)列趨向于某個常數(shù)C。于是我們可以將C定義為該圓的周長。

通過對以上三個例題的分析，讓學生對數(shù)列極限有個初步認識。

三、數(shù)列極限定義

定義：設{an}為數(shù)列，a為常數(shù)。若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n＞N時有|an-a|＜ε，則稱數(shù)列{an}收斂于趨向于1，（-1）n則在-1，+1之間擺動，a，a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作若數(shù)列數(shù)列{an}沒有極限，則稱{an}不收斂，或稱{an}為發(fā)散數(shù)列。

為了更好地理解極限的定義，我們給出以下注意事項。

注：1.ε的雙重性。首先ε具有絕對的任意性，這樣就保證了數(shù)列{an}無限趨向與a。另外一方面，ε具有相對的固定性，一旦取定ε，我們就可以估算an與a的接近程度。ε的雙重性使得數(shù)列極限的ε-N定義，既能從近似轉化為精確，又能從精確轉化為近似，它是掌握極限定義的關鍵。

2.N的存在性。在極限定義中，重在N的存在性，且N的存在性是與ε相關的。定義中并沒有要求N的唯一性，也就是說一旦ε任意給定后，我們只要能夠找到滿足條件的N即可。

3.極限的幾何意義。在平面坐標系中，數(shù)列{an}對應于數(shù)軸上的一竄點，對于任意的ε，存在正整數(shù)N，使得當n＞N時，所有點an均在開區(qū)間（a-ε，a+ε）內。故至多N個點an在這區(qū)間外。

4.收斂與發(fā)散的數(shù)學符號敘述。

數(shù)列 {an}收斂??a∈R，?ε＞0，?N∈N+，?n＞N，有|an-a|＜ε。

數(shù)列{an}發(fā)散??a∈R，?ε0＞0，?N∈N+，?n0＞N，有|an0-a|≥ε。

四、例題講解

通過上面兩個例題的詳細講解，總結出求數(shù)列極限的一般步驟，并強調證明數(shù)列極限過程重在尋找合適的，我們可以采取“限定”和“放大”的方法來尋找N。然后再講解幾個求數(shù)列極限的證明題，照總結的證明步驟，一步一步證明，以此加深學生對知識的理解。最后在學生對證明數(shù)列極限方法有了一定的熟練后，再舉兩個證明數(shù)列發(fā)散的題目。通過嚴格的分析證明，結出證明數(shù)列發(fā)散的一般步驟，對比證明數(shù)列收斂的步驟，找出他們各自的證明難點，從而加深對數(shù)列極限的理解。

五、總結知識，布置作業(yè)

教師要帶領學生回顧數(shù)列極限的定義及其理解的難點，理清證明數(shù)列收斂和發(fā)散的一般步驟，讓學生做到心中有數(shù)。最后，教師布置幾個證明數(shù)列極限收斂和發(fā)散的作業(yè)，以此來考察學生對知識的掌握程度及其遇到的問題。

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]劉玉璉，傅沛仁，等.數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

O171

A

1674-9324（2014）28-0093-02

蔡鋼（1984-），男，重慶巴南區(qū)人，講師，博士生，主要從事泛函分析研究。