基于極大似然估計的加速因子計算方法

郭恒暉,李傳日,龐月嬋,王開山

(北京航空航天大學可靠性與系統(tǒng)工程學院,北京100191)

基于極大似然估計的加速因子計算方法

郭恒暉,李傳日,龐月嬋,王開山

(北京航空航天大學可靠性與系統(tǒng)工程學院,北京100191)

目的在產品壽命服從參數(shù)未知指數(shù)分布的情況下,分析定時轉換步加試驗得到的數(shù)據,估算相關的加速因子。方法列出各應力下的壽命分布密度函數(shù)形式,通過加速因子建立各分布密度函數(shù)之間的聯(lián)系,以條件概率的方式處理步加試驗每一階段開始時的累積損傷問題,以極大似然估計的方法進行參數(shù)估計。結果得出了一種新的估算加速因子的方法,計算獲得了產品在所分析應力下加速因子與應力水平之間的關系。結論利用該方法能很好地處理某應力下無失效發(fā)生的情況。

步加試驗;條件概率;極大似然估計;加速因子

長壽命、高可靠產品的增多促進了加速試驗的發(fā)展。加速試驗大大地提高了試驗效率,與各類其他試驗的融合也使得加速試驗的應用越來越廣泛。在今后的發(fā)展中,加速試驗仍然是試驗發(fā)展的重要主題之一。加速壽命試驗(ALT)作為一種定性試驗在加速試驗中占有重要的地位,其主要包括3種類型:恒定應力加速壽命試驗(恒加試驗)、步進應力加速壽命試驗(步加試驗)和序進應力加速壽命試驗(序加試驗)[1—2]。ALT是利用與物理失效規(guī)律相關的統(tǒng)計模型對加速條件下獲得的失效數(shù)據進行轉換,得到試件在正常應力水平下壽命特征的試驗方法。加速因子是一個關鍵參數(shù),有效的ALT對加速因子的要求及與失效機理不變條件的關系[3]。由于步進(步退)應力加速壽命試驗所需樣本量小、試件失效快,在很大程度上節(jié)約了試驗成本與時間,因而被認為是加速試驗的方向[4]。定時截尾試驗設置簡單,但對于無失效數(shù)據的情況又使得計算相當復雜,近年來國內外一些學者對于無故障數(shù)據也頗有研究[5—7]。文獻[8]在指數(shù)分布場合給出了定數(shù)截尾樣本的統(tǒng)計分析方法,文獻[9]則對定數(shù)截尾情況下的步加試驗數(shù)據給出了一種優(yōu)于文獻[8]的統(tǒng)計分析方法。文獻[10]假設產品在不同應力下所服從的指數(shù)分布不相關,從而對每一個應力下的分布進行假設,將指數(shù)分布中的參數(shù)θ用2個其他的參數(shù)代替,以此來建立不同應力下分布密度函數(shù)之間的關系。Nelson根據步加試驗各應力間的等效關系提出了一種極大似然的方法來處理有累積損傷的步加試驗[11—12]。文獻[13]提出了一種在方法、模型未知的情況下直接假設加速因子以求極大似然估計,此方法雖然不受加速模型的限制,但是只能求得2個應力之間的加速因子。

文中利用條件概率來處理步加試驗中的累積損傷問題,并結合已有加速模型中加速因子之間的關系,提出了一種關于加速因子新的極大似然估計方法。對于大多數(shù)電子產品來說,其壽命都服從指數(shù)分布[14],利用條件概率在指數(shù)分布下使得計算大為簡便。定數(shù)截尾試驗可以看成是定時截尾試驗的特殊形式,文中分析并給出了樣本在某一應力無失效情況下的極大似然算法,最后根據文獻[15]中關于二極管在電壓應力下的步加試驗數(shù)據,給出計算示例。

1 假設和引理

1)產品在正常應力和各加速應力下失效機理不變,且壽命都服從指數(shù)分布。

2)加速應力相對于正常應力的加速因子只與應力大小有關,在不同應力下的相對加速因子根據加速模型而關系已知。

3)產品的剩余壽命僅依賴于當時已累積失效部分和當時的應力條件,而與累積方式無關。

利用上面的符號,有:

1)對于步加試驗,只有在S1下失效m1j(j=1,…,n1)的失效時間t1j(j=1,…,n1)為壽命數(shù)據,其他應力下的失效都是在已有累積損傷之上進行的[1]。

2 理論分析與加速因子的計算

如果沒有損傷,則概率密度函數(shù)與恒定應力加速試驗密度函數(shù)的形式類似,再根據引理2)可以推導出對于指數(shù)分布在各應力下的概率密度函數(shù)分別為:

在步加試驗中,從第2步開始所有進行試驗的產品都有累積損傷,即τ1時間之后所有發(fā)生的失效都是在前一個應力下的試驗結束后存活的條件下發(fā)生的,設Δ→0+,則以下條件概率可以表示在已知損傷時間的條件下再發(fā)生失效的概率:

在等效經歷tti之后,再經歷τi還未失效的概率為:

1)每個試驗應力下都有失效。利用加速因子將前各應力下的壽命分布相聯(lián)系,綜合考慮失效數(shù)和未失效數(shù),在全樣本下的似然函數(shù)可以寫為:

對式(5)取對數(shù),并對θ和x求一階偏導:

由式(6),再根據不同的加速模型關系φ(Si,Sm,x),便可以計算出參數(shù)估計值

2)某一應力下無失效。設在第q(1≤q≤k)階應力的試驗中沒有發(fā)生失效,在此情況下則只需令:

代入相關參數(shù),其他計算方法類似。

3 示例說明

已知某類型二極管壽命服從指數(shù)分布,現(xiàn)對樣本量為120的該二極管在電壓應力下做定時轉換步加試驗,試驗剖面及相關數(shù)據見表1[15]。

表1 定時轉換步加試驗有關數(shù)據Table 1 Type-I censored data of SSALT

對于電壓應力成熟的加速模型為逆冪律模型:ξ=A·Sx,其中:ξ為某壽命特征;S為電壓;A為正常數(shù);x為負常數(shù)。

故:

對數(shù)似然函數(shù)可以寫為:

4 結果對比

根據文獻[16]中所介紹的CAE技術,采用美國ReliaSoft公司的ALTA軟件對第3節(jié)中的數(shù)據進行比較分析。

輸入失效數(shù)據以及加速試驗應力剖面,選取指數(shù)分布下的累積損傷模型(CD指數(shù))。應力轉換方式選取逆冪律對數(shù)變換。所得計算結果如圖1所示。

圖1 ALT軟件計算結果Fig.1 Acceleration factor calculated by ALTA software

由圖1可知,該二極管在加速應力47 V下相對于38 V下的加速因子為12.169 138。

5 結語

逐步考慮了在每一種應力下的失效與未失效的情況,將步加試驗中的每一步試驗看成一個獨立體,以條件概率的方法處理每一步進行試驗的產品的累積損傷問題。利用此關系建立極大似然方程,根據各應力下加速因子的關系,提出一種關于加速因子的新的極大似然估計方法,給出了某應力無失效情況的計算處理方法。另外此方法根據全樣本數(shù)據適用于變應力加速壽命試驗的情況,還可以推廣到威布爾分布與對數(shù)正態(tài)分布,同時令τi=ti,ni即可以適用于定數(shù)截尾。

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Calculation of Acceleration Factor Based on Maximum Likelihood Estimation

GUO Heng-hui,LI Chuan-ri,PANG Yue-chan,WANG Kai-shan
(Reliability and System Engineering Institute,Beihang University,Beijing 100191,China)

Objective To estimate the associated acceleration factor by analyzing the Trial data of step-stress accelerated life tests(SSALT)with Type-I censored data,assuming the lifetime of products followed exponential distribution.Methods Lifetime distribution density functions under different stresses were listed.Linkages were established between the distribution density functions by acceleration factors(AF).And then conditional probability distribution was used to deal with the problem of cumulative damage at the beginning of each stage by stepwise analysis of the testing.The AFs were estimated by maximum likelihood estimation.Results The paper offered a new method to deal with the cumulative damage. The relationship between AFs and stress levels under the tested stress was calculated.Conclusion It is a feasible method to cater the situation that no failure occurs under certain stress.

step-stress accelerated life testing;conditional probability;maximum likelihood estimation;acceleration factor

LI Chuan-ri(1964—),Male,Professor&Researcher,Research focus:product environmental engineering and reliability test technology.

10.7643/issn.1672-9242.2014.05.010

TB114.3

:A

1672-9242(2014)05-0049-05

2014-05-14;

2014-05-25

Received:2014-05-14;Revised:2014-05-25

郭恒暉(1989—),男,安徽六安人,碩士研究生,主要研究方向為產品環(huán)境與可靠性試驗。

Biography:GUO Heng-hui(1989—),Male,from Liuan,Anhui,Master graduate student,Research focus:environmental and reliability test.

李傳日(1964—),男,教授,研究員,主要研究方向為產品環(huán)境工程、可靠性試驗技術。