淺談幾何概型的測(cè)度

韋克琳

其中，公式中的長度、面積及體積等就是所謂的幾何概型的測(cè)度.

教材關(guān)于幾何概型的定義的本質(zhì)內(nèi)涵：設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域（如線段（或圓?。?，平面圖形，立體圖形等）.每個(gè)基本事件可視為從區(qū)域內(nèi)D隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)被取到的可能性都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn).那么事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度（長度，面積，體積等）成正比例，而與d的形狀和位置無關(guān).因此上述公式也可表示為P（A）=

關(guān)于公式中的測(cè)度應(yīng)該這樣去理解：（1）測(cè)度是一個(gè)由等可能的點(diǎn)組成的區(qū)域D，這個(gè)區(qū)域可以是線段（或圓?。?，平面圖形或立體圖形等.（2）隨機(jī)事件A的發(fā)生所取到的區(qū)域d的測(cè)度與區(qū)域D的測(cè)度一致，且由D的測(cè)度確定.（3）區(qū)域D是可以度量的，度量的帶有單位的結(jié)果就是該區(qū)域的測(cè)度（其單位由D的具體情況而定）.（4）測(cè)度是多樣的，是由具體問題的限制而定，即可以是線段（或圓?。┑拈L度，平面圖形的面積或立體圖形的體積等.

關(guān)于這兩個(gè)問題的解答，前者學(xué)生是容易理解的，但后者學(xué)生就難以接受了.原因是同是AB上的點(diǎn)M，為什么前者能用長度作為測(cè)度，而后者卻不能呢？作為老師就必須在這個(gè)問題上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真的分析和探究，厘清它們的本質(zhì)區(qū)別，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的有效突破.

我們發(fā)現(xiàn)，例1中的點(diǎn)M是直接在AB上取，所以AB邊的長度作為總測(cè)度是正確的.但例2卻不是，點(diǎn)M的取得是在角內(nèi)作射線（其實(shí)是在角內(nèi)作角）與AB相交而得，因此，應(yīng)當(dāng)用角度作為測(cè)度才能保證在角內(nèi)作射線實(shí)現(xiàn)“等可能”.

所謂等可能是指每一個(gè)對(duì)象被取到的可能性一樣大.這里，射線與線段AB的交點(diǎn)M與在AB上取點(diǎn)M不是一回事.在AB上取點(diǎn)是任意的，故每個(gè)點(diǎn)被取到是可能性的.但射線與線段AB的交點(diǎn)不是任意的，而是由射線CM（角度）的變化引來交點(diǎn)的變化，因此這交點(diǎn)在AB上未必是等可能出現(xiàn)的.下面舉例說明.

=︱CA︱∠ACN（弧度）=∠CAN（注：這里有一個(gè)角度轉(zhuǎn)換為長度的等價(jià)轉(zhuǎn)換）.若過C作∠ACB的平分線CN，再作∠ACN的平分線CQ（如圖3），設(shè)CQ∩AB=P，容易證明△ACP≌△NCP，所以AP=NP，而△MNP是直角三角形，故NP>PM，即AP>PM，這就是說，當(dāng)射線CQ由CA勻速運(yùn)動(dòng)到CQ，再勻速運(yùn)動(dòng)到CN時(shí)，這角度（或?。┑淖兓蔷鶆蛳嗟鹊?，但與邊AB的交點(diǎn)P的變化卻不是勻速的（AP>PM），所以它不是等可能的.

根據(jù)以上的分析我們不難看到，對(duì)于一個(gè)幾何概型的一個(gè)幾何量能否作為測(cè)度，關(guān)建在于看它是否滿足公式中要求的“等可能”的條件.

至此，我們對(duì)以上關(guān)于測(cè)度的分析與思考進(jìn)行總結(jié)，可以得到關(guān)于測(cè)度的一些性質(zhì)：

（1）測(cè)度是多樣的（它可以是線段（或圓?。┑拈L度，平面圖形的面積，立體圖形的體積和角度等）；

（2）測(cè)度是可求的（相應(yīng)圖形的長度、面積、體積以及角度都是可求的）；

（3）測(cè)度是可轉(zhuǎn)換的（其轉(zhuǎn)換必須是等可能的等價(jià)轉(zhuǎn)換）.endprint

其中，公式中的長度、面積及體積等就是所謂的幾何概型的測(cè)度.

教材關(guān)于幾何概型的定義的本質(zhì)內(nèi)涵：設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域（如線段（或圓?。?，平面圖形，立體圖形等）.每個(gè)基本事件可視為從區(qū)域內(nèi)D隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)被取到的可能性都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn).那么事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度（長度，面積，體積等）成正比例，而與d的形狀和位置無關(guān).因此上述公式也可表示為P（A）=

關(guān)于公式中的測(cè)度應(yīng)該這樣去理解：（1）測(cè)度是一個(gè)由等可能的點(diǎn)組成的區(qū)域D，這個(gè)區(qū)域可以是線段（或圓弧），平面圖形或立體圖形等.（2）隨機(jī)事件A的發(fā)生所取到的區(qū)域d的測(cè)度與區(qū)域D的測(cè)度一致，且由D的測(cè)度確定.（3）區(qū)域D是可以度量的，度量的帶有單位的結(jié)果就是該區(qū)域的測(cè)度（其單位由D的具體情況而定）.（4）測(cè)度是多樣的，是由具體問題的限制而定，即可以是線段（或圓?。┑拈L度，平面圖形的面積或立體圖形的體積等.

關(guān)于這兩個(gè)問題的解答，前者學(xué)生是容易理解的，但后者學(xué)生就難以接受了.原因是同是AB上的點(diǎn)M，為什么前者能用長度作為測(cè)度，而后者卻不能呢？作為老師就必須在這個(gè)問題上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真的分析和探究，厘清它們的本質(zhì)區(qū)別，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的有效突破.

我們發(fā)現(xiàn)，例1中的點(diǎn)M是直接在AB上取，所以AB邊的長度作為總測(cè)度是正確的.但例2卻不是，點(diǎn)M的取得是在角內(nèi)作射線（其實(shí)是在角內(nèi)作角）與AB相交而得，因此，應(yīng)當(dāng)用角度作為測(cè)度才能保證在角內(nèi)作射線實(shí)現(xiàn)“等可能”.

所謂等可能是指每一個(gè)對(duì)象被取到的可能性一樣大.這里，射線與線段AB的交點(diǎn)M與在AB上取點(diǎn)M不是一回事.在AB上取點(diǎn)是任意的，故每個(gè)點(diǎn)被取到是可能性的.但射線與線段AB的交點(diǎn)不是任意的，而是由射線CM（角度）的變化引來交點(diǎn)的變化，因此這交點(diǎn)在AB上未必是等可能出現(xiàn)的.下面舉例說明.

=︱CA︱∠ACN（弧度）=∠CAN（注：這里有一個(gè)角度轉(zhuǎn)換為長度的等價(jià)轉(zhuǎn)換）.若過C作∠ACB的平分線CN，再作∠ACN的平分線CQ（如圖3），設(shè)CQ∩AB=P，容易證明△ACP≌△NCP，所以AP=NP，而△MNP是直角三角形，故NP>PM，即AP>PM，這就是說，當(dāng)射線CQ由CA勻速運(yùn)動(dòng)到CQ，再勻速運(yùn)動(dòng)到CN時(shí)，這角度（或?。┑淖兓蔷鶆蛳嗟鹊?，但與邊AB的交點(diǎn)P的變化卻不是勻速的（AP>PM），所以它不是等可能的.

根據(jù)以上的分析我們不難看到，對(duì)于一個(gè)幾何概型的一個(gè)幾何量能否作為測(cè)度，關(guān)建在于看它是否滿足公式中要求的“等可能”的條件.

至此，我們對(duì)以上關(guān)于測(cè)度的分析與思考進(jìn)行總結(jié)，可以得到關(guān)于測(cè)度的一些性質(zhì)：

（1）測(cè)度是多樣的（它可以是線段（或圓弧）的長度，平面圖形的面積，立體圖形的體積和角度等）；

（2）測(cè)度是可求的（相應(yīng)圖形的長度、面積、體積以及角度都是可求的）；

（3）測(cè)度是可轉(zhuǎn)換的（其轉(zhuǎn)換必須是等可能的等價(jià)轉(zhuǎn)換）.endprint

其中，公式中的長度、面積及體積等就是所謂的幾何概型的測(cè)度.

教材關(guān)于幾何概型的定義的本質(zhì)內(nèi)涵：設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域（如線段（或圓?。?，平面圖形，立體圖形等）.每個(gè)基本事件可視為從區(qū)域內(nèi)D隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)被取到的可能性都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn).那么事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度（長度，面積，體積等）成正比例，而與d的形狀和位置無關(guān).因此上述公式也可表示為P（A）=

關(guān)于公式中的測(cè)度應(yīng)該這樣去理解：（1）測(cè)度是一個(gè)由等可能的點(diǎn)組成的區(qū)域D，這個(gè)區(qū)域可以是線段（或圓?。?，平面圖形或立體圖形等.（2）隨機(jī)事件A的發(fā)生所取到的區(qū)域d的測(cè)度與區(qū)域D的測(cè)度一致，且由D的測(cè)度確定.（3）區(qū)域D是可以度量的，度量的帶有單位的結(jié)果就是該區(qū)域的測(cè)度（其單位由D的具體情況而定）.（4）測(cè)度是多樣的，是由具體問題的限制而定，即可以是線段（或圓弧）的長度，平面圖形的面積或立體圖形的體積等.

關(guān)于這兩個(gè)問題的解答，前者學(xué)生是容易理解的，但后者學(xué)生就難以接受了.原因是同是AB上的點(diǎn)M，為什么前者能用長度作為測(cè)度，而后者卻不能呢？作為老師就必須在這個(gè)問題上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真的分析和探究，厘清它們的本質(zhì)區(qū)別，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的有效突破.

我們發(fā)現(xiàn)，例1中的點(diǎn)M是直接在AB上取，所以AB邊的長度作為總測(cè)度是正確的.但例2卻不是，點(diǎn)M的取得是在角內(nèi)作射線（其實(shí)是在角內(nèi)作角）與AB相交而得，因此，應(yīng)當(dāng)用角度作為測(cè)度才能保證在角內(nèi)作射線實(shí)現(xiàn)“等可能”.

所謂等可能是指每一個(gè)對(duì)象被取到的可能性一樣大.這里，射線與線段AB的交點(diǎn)M與在AB上取點(diǎn)M不是一回事.在AB上取點(diǎn)是任意的，故每個(gè)點(diǎn)被取到是可能性的.但射線與線段AB的交點(diǎn)不是任意的，而是由射線CM（角度）的變化引來交點(diǎn)的變化，因此這交點(diǎn)在AB上未必是等可能出現(xiàn)的.下面舉例說明.

=︱CA︱∠ACN（弧度）=∠CAN（注：這里有一個(gè)角度轉(zhuǎn)換為長度的等價(jià)轉(zhuǎn)換）.若過C作∠ACB的平分線CN，再作∠ACN的平分線CQ（如圖3），設(shè)CQ∩AB=P，容易證明△ACP≌△NCP，所以AP=NP，而△MNP是直角三角形，故NP>PM，即AP>PM，這就是說，當(dāng)射線CQ由CA勻速運(yùn)動(dòng)到CQ，再勻速運(yùn)動(dòng)到CN時(shí)，這角度（或?。┑淖兓蔷鶆蛳嗟鹊?，但與邊AB的交點(diǎn)P的變化卻不是勻速的（AP>PM），所以它不是等可能的.

根據(jù)以上的分析我們不難看到，對(duì)于一個(gè)幾何概型的一個(gè)幾何量能否作為測(cè)度，關(guān)建在于看它是否滿足公式中要求的“等可能”的條件.

至此，我們對(duì)以上關(guān)于測(cè)度的分析與思考進(jìn)行總結(jié)，可以得到關(guān)于測(cè)度的一些性質(zhì)：

（1）測(cè)度是多樣的（它可以是線段（或圓?。┑拈L度，平面圖形的面積，立體圖形的體積和角度等）；

（2）測(cè)度是可求的（相應(yīng)圖形的長度、面積、體積以及角度都是可求的）；

（3）測(cè)度是可轉(zhuǎn)換的（其轉(zhuǎn)換必須是等可能的等價(jià)轉(zhuǎn)換）.endprint