裂項(xiàng)法的常見應(yīng)用類型

蘇立標(biāo)

裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和中一種常用的方法，它能把一個(gè)龐大繁雜的求和式子變成簡單易求的問題.下面我們就來談?wù)劻秧?xiàng)相消法的幾個(gè)常見應(yīng)用類型.

自然型

自然型是跟自然數(shù)有關(guān)的一類分式求和的問題，是裂項(xiàng)相消法涉及的最基本的類型，我們要加以熟練掌握.

常見的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：

=-；

=-，k≠0；

=-；

=-.

例1 正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，n∈N*.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 令bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn. 證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn<.

解析： （1） 由-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0得： [Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0.因?yàn)閧an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，所以Sn=n2+n，a1=S1=2.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 又a1=2也符合an=2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.

（2） 由an=2n，bn=可得bn=.又-=，所以bn==-.

Tn=1-+-+-+…+-+-+-=1+--<1+=.

無理型

該類型的特征是分母為兩個(gè)根式的和，且這兩個(gè)根式的平方差為常數(shù)，通過分母有理化可以達(dá)到裂項(xiàng)的目的.

常見的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：

=（-）；

=（-），k≠0.

例2 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=，n∈N*，設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解析： bn===-，所以Sn=（-）+（-）+…+（-）+（-）=-=-1.

指數(shù)型

因?yàn)椋╝-1）an=an+1-an，所以裂項(xiàng)法在指數(shù)數(shù)列的求和運(yùn)算中也可以得到應(yīng)用.

常見的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：=-.

例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn=2an-n，n∈N*.

（1） 證明： 數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 記bn=，求數(shù)列{bn{的前n項(xiàng)和Tn.

解析： （1） 令n=1，得a1=2a1-1，a1=1.

由Sn=2an-n可知Sn+1=2an+1-（n+1），Sn+1-Sn=an+1=2an+1-（n+1）-2an+n，得an+1=2an+1.所以an+1+1=2an+1+1=2（an+1），=2.由此可得數(shù)列{an+1}是公比q=2、首項(xiàng)為a1+1=2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an+1=2·2n-1=2n. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n-1.

（2） 由（1）得bn====-，所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=-+-+…+-+-=-=1-.

三角函數(shù)型

三角函數(shù)兩角和與差的公式，在經(jīng)過構(gòu)造后也能達(dá)到裂項(xiàng)的效果.

常見的裂項(xiàng)形式有： tan（α-β）（1+tanαtanβ）=tanα-tanβ.

例4 [2011年高考數(shù)學(xué)安徽卷（理科）第18題] 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n∈N*.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 設(shè)bn=tanan·tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解析： （1） 設(shè)這n+2個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為c1，c2，…，cn+1，cn+2，其中c1=1，cn+2=100. 因?yàn)門n=c1·c2·…·cn+1·cn+2 （①），又Tn=cn+2·cn+1·…·c2·c1 （②），①×②得=（c1cn+2）·（c2cn+1）·…·（cn+1c2）·（cn+2c1）.

由c1，c2，…，cn+1，cn+2是等比數(shù)列可得c1·cn+2=c2·cn+1=c3·cn=…=ci·cn+3-i=100（1≤i≤n+2），所以=100n+2=（10n+2）2，Tn=10n+2，所以an=lgTn=lg10n+2=n+2，n∈N*.

（2） 由（1）可得bn=tanan·tanan+1=tan（n+2）·tan（n+3）.

因?yàn)閠an（n+3）-tan（n+2）=tan1·[1+tan（n+2）·tan（n+3）]，所以tan（n+2）·tan（n+3）=-1.

所以Sn=tan（1+2）·tan（1+3）+tan（2+2）·tan（2+3）+…+tan（n+1）·tan（n+2）+tan（n+2）·tan（n+3）=-n=-n.

裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和中一種常用的方法，它能把一個(gè)龐大繁雜的求和式子變成簡單易求的問題.下面我們就來談?wù)劻秧?xiàng)相消法的幾個(gè)常見應(yīng)用類型.

自然型

自然型是跟自然數(shù)有關(guān)的一類分式求和的問題，是裂項(xiàng)相消法涉及的最基本的類型，我們要加以熟練掌握.

常見的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：

=-；

=-，k≠0；

=-；

=-.

例1 正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，n∈N*.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 令bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn. 證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn<.

解析： （1） 由-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0得： [Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0.因?yàn)閧an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，所以Sn=n2+n，a1=S1=2.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 又a1=2也符合an=2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.

（2） 由an=2n，bn=可得bn=.又-=，所以bn==-.

Tn=1-+-+-+…+-+-+-=1+--<1+=.

無理型

該類型的特征是分母為兩個(gè)根式的和，且這兩個(gè)根式的平方差為常數(shù)，通過分母有理化可以達(dá)到裂項(xiàng)的目的.

常見的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：

=（-）；

=（-），k≠0.

例2 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=，n∈N*，設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解析： bn===-，所以Sn=（-）+（-）+…+（-）+（-）=-=-1.

指數(shù)型

因?yàn)椋╝-1）an=an+1-an，所以裂項(xiàng)法在指數(shù)數(shù)列的求和運(yùn)算中也可以得到應(yīng)用.

常見的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：=-.

例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn=2an-n，n∈N*.

（1） 證明： 數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 記bn=，求數(shù)列{bn{的前n項(xiàng)和Tn.

解析： （1） 令n=1，得a1=2a1-1，a1=1.

由Sn=2an-n可知Sn+1=2an+1-（n+1），Sn+1-Sn=an+1=2an+1-（n+1）-2an+n，得an+1=2an+1.所以an+1+1=2an+1+1=2（an+1），=2.由此可得數(shù)列{an+1}是公比q=2、首項(xiàng)為a1+1=2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an+1=2·2n-1=2n. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n-1.

（2） 由（1）得bn====-，所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=-+-+…+-+-=-=1-.

三角函數(shù)型

三角函數(shù)兩角和與差的公式，在經(jīng)過構(gòu)造后也能達(dá)到裂項(xiàng)的效果.

常見的裂項(xiàng)形式有： tan（α-β）（1+tanαtanβ）=tanα-tanβ.

例4 [2011年高考數(shù)學(xué)安徽卷（理科）第18題] 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n∈N*.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 設(shè)bn=tanan·tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解析： （1） 設(shè)這n+2個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為c1，c2，…，cn+1，cn+2，其中c1=1，cn+2=100. 因?yàn)門n=c1·c2·…·cn+1·cn+2 （①），又Tn=cn+2·cn+1·…·c2·c1 （②），①×②得=（c1cn+2）·（c2cn+1）·…·（cn+1c2）·（cn+2c1）.

由c1，c2，…，cn+1，cn+2是等比數(shù)列可得c1·cn+2=c2·cn+1=c3·cn=…=ci·cn+3-i=100（1≤i≤n+2），所以=100n+2=（10n+2）2，Tn=10n+2，所以an=lgTn=lg10n+2=n+2，n∈N*.

（2） 由（1）可得bn=tanan·tanan+1=tan（n+2）·tan（n+3）.

因?yàn)閠an（n+3）-tan（n+2）=tan1·[1+tan（n+2）·tan（n+3）]，所以tan（n+2）·tan（n+3）=-1.

所以Sn=tan（1+2）·tan（1+3）+tan（2+2）·tan（2+3）+…+tan（n+1）·tan（n+2）+tan（n+2）·tan（n+3）=-n=-n.

裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和中一種常用的方法，它能把一個(gè)龐大繁雜的求和式子變成簡單易求的問題.下面我們就來談?wù)劻秧?xiàng)相消法的幾個(gè)常見應(yīng)用類型.

自然型

自然型是跟自然數(shù)有關(guān)的一類分式求和的問題，是裂項(xiàng)相消法涉及的最基本的類型，我們要加以熟練掌握.

常見的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：

=-；

=-，k≠0；

=-；

=-.

例1 正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，n∈N*.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 令bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn. 證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn<.

解析： （1） 由-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0得： [Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0.因?yàn)閧an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，所以Sn=n2+n，a1=S1=2.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 又a1=2也符合an=2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.

（2） 由an=2n，bn=可得bn=.又-=，所以bn==-.

Tn=1-+-+-+…+-+-+-=1+--<1+=.

無理型

該類型的特征是分母為兩個(gè)根式的和，且這兩個(gè)根式的平方差為常數(shù)，通過分母有理化可以達(dá)到裂項(xiàng)的目的.

常見的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：

=（-）；

=（-），k≠0.

例2 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=，n∈N*，設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解析： bn===-，所以Sn=（-）+（-）+…+（-）+（-）=-=-1.

指數(shù)型

因?yàn)椋╝-1）an=an+1-an，所以裂項(xiàng)法在指數(shù)數(shù)列的求和運(yùn)算中也可以得到應(yīng)用.

常見的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：=-.

例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn=2an-n，n∈N*.

（1） 證明： 數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 記bn=，求數(shù)列{bn{的前n項(xiàng)和Tn.

解析： （1） 令n=1，得a1=2a1-1，a1=1.

由Sn=2an-n可知Sn+1=2an+1-（n+1），Sn+1-Sn=an+1=2an+1-（n+1）-2an+n，得an+1=2an+1.所以an+1+1=2an+1+1=2（an+1），=2.由此可得數(shù)列{an+1}是公比q=2、首項(xiàng)為a1+1=2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an+1=2·2n-1=2n. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n-1.

（2） 由（1）得bn====-，所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=-+-+…+-+-=-=1-.

三角函數(shù)型

三角函數(shù)兩角和與差的公式，在經(jīng)過構(gòu)造后也能達(dá)到裂項(xiàng)的效果.

常見的裂項(xiàng)形式有： tan（α-β）（1+tanαtanβ）=tanα-tanβ.

例4 [2011年高考數(shù)學(xué)安徽卷（理科）第18題] 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n∈N*.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 設(shè)bn=tanan·tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解析： （1） 設(shè)這n+2個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為c1，c2，…，cn+1，cn+2，其中c1=1，cn+2=100. 因?yàn)門n=c1·c2·…·cn+1·cn+2 （①），又Tn=cn+2·cn+1·…·c2·c1 （②），①×②得=（c1cn+2）·（c2cn+1）·…·（cn+1c2）·（cn+2c1）.

由c1，c2，…，cn+1，cn+2是等比數(shù)列可得c1·cn+2=c2·cn+1=c3·cn=…=ci·cn+3-i=100（1≤i≤n+2），所以=100n+2=（10n+2）2，Tn=10n+2，所以an=lgTn=lg10n+2=n+2，n∈N*.

（2） 由（1）可得bn=tanan·tanan+1=tan（n+2）·tan（n+3）.

因?yàn)閠an（n+3）-tan（n+2）=tan1·[1+tan（n+2）·tan（n+3）]，所以tan（n+2）·tan（n+3）=-1.

所以Sn=tan（1+2）·tan（1+3）+tan（2+2）·tan（2+3）+…+tan（n+1）·tan（n+2）+tan（n+2）·tan（n+3）=-n=-n.