基于變異田口算法的陣列天線方向圖綜合

楊 敏，田雨波，陳 風(fēng)

(江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003)

通信、雷達(dá)、遙感等領(lǐng)域通常會(huì)需求具有特殊性能的天線，很多時(shí)候單一的天線并不能滿足要求.這時(shí)，可以采用多個(gè)天線按一定方式排列成天線陣列來解決問題［1］.根據(jù)給定的天線輻射方向圖或者給定的對(duì)天線性能參量的要求來設(shè)計(jì)天線陣元的個(gè)數(shù)、陣元之間的間距、陣元上激勵(lì)電流的幅值和相位分布，稱為天線綜合［2］.天線陣列綜合問題中使用的比較經(jīng)典的方法有切比雪夫多項(xiàng)式法、傅里葉變換法等［3］.這些傳統(tǒng)的方法往往具有自己的既定規(guī)則，大多針對(duì)某一特定的問題，對(duì)于更復(fù)雜的具有約束條件的綜合實(shí)例很難實(shí)現(xiàn).對(duì)于形狀復(fù)雜的大型天線陣列，雖然可以采用基于梯度尋優(yōu)技術(shù)的傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法，但由于天線最優(yōu)化問題中往往存在多參數(shù)、非線性、不可微、不連續(xù)的目標(biāo)函數(shù)或者約束條件，傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法無法有效求得工程上滿意的解［4］.因此，具有穩(wěn)健性、隨機(jī)性的智能優(yōu)化算法，例如遺傳算法(genetic algorithm，GA)、粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)在復(fù)雜的非線性天線優(yōu)化問題中得到了應(yīng)用，如天線陣列稀疏［5］、降低最大旁瓣電平［6］、通過控制激勵(lì)電流幅值或相位在干擾源方向生成零點(diǎn)［7］等.盡管上述文獻(xiàn)中的粒子群優(yōu)化算法是有效的，但其計(jì)算量大、效率不高，且容易陷入局部最優(yōu)，丟失全局最優(yōu)解［8］.為此，文中介紹了一種能有效降低計(jì)算量、快速收斂的全局優(yōu)化算法田口算法(Taguchi method，TM)，該算法由日本的田口玄一博士在20世紀(jì)70年代提出，起初是一種在質(zhì)量工程中應(yīng)用的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法［9］.盡管田口算法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如化工［10］、機(jī)械工程［11］、電力電子［12］等行業(yè)，但在電磁領(lǐng)域的應(yīng)用還不是很多，僅僅只有少數(shù)的實(shí)例.例如文獻(xiàn)［13］將田口算法與FDTD相結(jié)合，為超寬帶TEM喇叭天線及其陣列的優(yōu)化提供了一種有效的方法.文中研究田口算法在天線方向圖綜合上的應(yīng)用，驗(yàn)證了它在電磁優(yōu)化方面巨大的潛能.

田口算法最突出的一個(gè)特點(diǎn)是基于正交表對(duì)參數(shù)空間的均勻抽樣，因此能夠有效降低實(shí)驗(yàn)次數(shù)，達(dá)到快速收斂的目標(biāo)［14］.但其缺少跳出局部極值的機(jī)制，容易陷入局部最優(yōu).為了使田口算法能夠?qū)崿F(xiàn)更復(fù)雜的設(shè)計(jì)目標(biāo)，例如在降低旁瓣電平的同時(shí)，還要在特定方向形成零點(diǎn)，文中在田口算法基礎(chǔ)上進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，設(shè)計(jì)了一種基于變異算子的田口算法(mutation-based Taguchi method，MTM).同時(shí)，加入了自適應(yīng)內(nèi)循環(huán)機(jī)制，多樣化搜索空間的同時(shí)盡量減少算法迭代次數(shù)，保證算法執(zhí)行效率.

1 算法描述

1.1 基本田口算法

田口算法之所以能夠降低計(jì)算量、快速收斂，依賴于兩個(gè)關(guān)鍵技術(shù)，一是正交表，二是信噪比.以10個(gè)參數(shù)且每個(gè)參數(shù)有3個(gè)水平值為例，采用完整排列實(shí)驗(yàn)需要進(jìn)行310=59049次實(shí)驗(yàn)，用正交矩陣來設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，則只需要進(jìn)行27次實(shí)驗(yàn).對(duì)27次實(shí)驗(yàn)的輸出結(jié)果進(jìn)行簡單的統(tǒng)計(jì)處理后，就可以得到一個(gè)最優(yōu)的參數(shù)值組合.盡管實(shí)驗(yàn)的數(shù)量大幅減少，但從正交矩陣獲得的最優(yōu)結(jié)果和從完整排列方法獲得的最優(yōu)結(jié)果是接近的.而信噪比概念的采用則可以增大適應(yīng)度函數(shù)值之間的差異，有效的評(píng)估參數(shù)水平值組合的優(yōu)劣.

假設(shè)使用正交表OA(N，k，s，t)來設(shè)計(jì)各參數(shù)水平值的組合(文中以水平s取3為例).第n個(gè)參數(shù)在第i次迭代時(shí)的m水平值用表示.初始參數(shù)2水平值設(shè)置為參數(shù)搜索空間(Xmin，Xmax)的中間值，其余各代取父代最優(yōu)解.和分別由式(1，2)確定:

式中:rr∈(0，1)為指數(shù)衰減因子.初始水平差值LD1由式(3)確定:

根據(jù)各組實(shí)驗(yàn)的參數(shù)水平值組合計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值Fitness，并由式(4)計(jì)算信噪比h:

由式(5)得到每個(gè)參數(shù)、每個(gè)水平的平均信噪比:

1.2 基于變異機(jī)制的田口算法

式中:ZG為變異步長;Z;max為對(duì)應(yīng)參數(shù)當(dāng)前最大平均信噪比;min為對(duì)應(yīng)參數(shù)當(dāng)前最小平均信噪比，max越大，ZG越大，可以有效阻止算法過快收斂，陷入局部最優(yōu);N(0，1)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量表示當(dāng)前最佳參數(shù)水平值組合;0＜m＜1為二級(jí)變異步長，調(diào)節(jié)變異強(qiáng)度;Li+1為參數(shù)搜索空間.

變異田口算法的流程如圖1.

變異田口算法步驟如下:

1)根據(jù)優(yōu)化參數(shù)個(gè)數(shù)，選擇合適的正交表OA，設(shè)計(jì)合適的適應(yīng)度函數(shù)Fitness、衰減因子rr、最大內(nèi)循環(huán)次數(shù)Nin和最大迭代次數(shù)M;

3)根據(jù)參數(shù)表OA_para進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值和平均信噪比，并構(gòu)造反饋表;

5)判斷內(nèi)循環(huán)次數(shù)是否達(dá)到Nin，達(dá)到則執(zhí)行下一步，否則，進(jìn)行變異操作，轉(zhuǎn)到步驟2);

6)判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)M，未達(dá)到則縮小水平差值，進(jìn)行變異操作并轉(zhuǎn)到步驟2)，否則執(zhí)行下一步;

7)結(jié)束程序，保存結(jié)果.

圖1 變異田口算法流程Fig.1 Flow chart of MTM

變異田口算法中的變異操作以父代最優(yōu)解為中心，服從正態(tài)分布，保證了算法的計(jì)算精度.同時(shí)加入內(nèi)循環(huán)機(jī)制，使得當(dāng)前水平差值下每進(jìn)行一次循環(huán)就按照變異公式產(chǎn)生一組參數(shù)表，多樣化了參數(shù)搜索空間.只要結(jié)果優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解，就跳出內(nèi)循環(huán).如果內(nèi)循環(huán)達(dá)到設(shè)定的最大次數(shù)還未找到優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解的值，也跳出內(nèi)循環(huán)并縮小水平差值，進(jìn)行下一步迭代操作，有效控制了算法的迭代次數(shù)，保證了算法的效率.

2 陣列天線方向圖綜合

2.1 初始化

算法的初始化包括選擇適當(dāng)?shù)恼槐砗驮O(shè)計(jì)合適的適應(yīng)度函數(shù).正交表的選擇由需要優(yōu)化的參數(shù)個(gè)數(shù)決定，適應(yīng)度函數(shù)由設(shè)計(jì)目標(biāo)決定.

1)正交表

文中使用的優(yōu)化案例參數(shù)個(gè)數(shù)有10和20兩種.用田口算法及變異田口算法優(yōu)化時(shí)，若參數(shù)個(gè)數(shù)為 10，則選擇正交表OA(27，10，3，2);若參數(shù)個(gè)數(shù)為 20，則選擇正交表OA(81，20，3，2).一般來說，可以提高正交矩陣的強(qiáng)度t來考慮參數(shù)之間的相互作用.然而，強(qiáng)度t越大，正交矩陣的行數(shù)就越多，文中的優(yōu)化案例使用強(qiáng)度為2、水平數(shù)為3的正交表就足夠了.

2)適應(yīng)度函數(shù)

設(shè)一個(gè)陣元數(shù)目為2N=20的直線陣(圖2)，陣元沿著z軸均勻排列，且關(guān)于x軸對(duì)稱分布，相鄰兩陣元間的距離為d.第n個(gè)陣元的激勵(lì)電流為In=anejφn.

圖2 直線陣示意圖Fig.2 Schematic diagram of linear array

由方向圖乘積定理可知，忽略陣元間的互耦影響，相同且取向一致的陣元組成的陣列方向圖可以由陣元方向性函數(shù)乘以陣的方向性函數(shù)得到.則天線陣在遠(yuǎn)區(qū)的輻射總場可以表示為:

式中:an為激勵(lì)電流的幅值;φn為激勵(lì)電流的相位;θ為空間輻射角為波數(shù).當(dāng)f(θ，φ)=1時(shí)，得到陣列的總場方向性函數(shù):

為了方便解決問題，常常將方向性函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，得到歸一化方向性函數(shù):

采用式(10)作為適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化:

式中:F(θ)為式(9)的計(jì)算值;Fd(θ)為目標(biāo)值.

2.2 優(yōu)化激勵(lì)電流幅值

1)低旁瓣方向圖綜合

設(shè)計(jì)要求主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，零功率波瓣寬度為 20°，最大旁瓣電平(maximum side lobe level，MSLL)為 -30dB.相鄰陣元間的距離d取0.5λ，激勵(lì)電流的相位均為0.由于陣列關(guān)于x軸對(duì)稱分布，因此只需優(yōu)化10個(gè)陣元的激勵(lì)電流幅值，電流幅值an的取值范圍為［0，1］.采用式(10)作為適應(yīng)度函數(shù)，分別用PSO、田口算法、變異田口算法進(jìn)行優(yōu)化.PSO算法中種群數(shù)目設(shè)置為25，最大迭代次數(shù)設(shè)置為200;田口算法、變異田口算法選擇正交表OA(27，10，3，2)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，衰減因子設(shè)置為0.75;田口算法中收斂限制設(shè)置為0.002;變異田口算法中最大迭代次數(shù)設(shè)置為50.用PSO、田口算法及變異田口算法進(jìn)行低旁瓣方向圖綜合得到的MSLL及適應(yīng)度函數(shù)總計(jì)算次數(shù)(total count，TC)如表1，得到的天線波束方向圖如圖3，其中歸一化方向回增益為F(θ)，輻射角度為θ.各陣元的激勵(lì)電流幅值如表2.

由表1及圖3中可以看出，與PSO相比，田口算法優(yōu)化后MSLL降低了1.8dB左右，變異田口算法優(yōu)化后MSLL降低了2.5dB左右.并且利用田口算法和變異田口算法優(yōu)化時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)總計(jì)算次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于PSO.雖然與田口算法相比，使用變異田口算法優(yōu)化計(jì)算量增加了，但它取得了更好的優(yōu)化結(jié)果，達(dá)到了設(shè)計(jì)的要求.與PSO相比，變異田口算法實(shí)驗(yàn)的減少量在70%左右，顯然，對(duì)于解決這個(gè)問題并且達(dá)到目標(biāo)，變異田口算法比PSO更快更好.

表1 PSO、田口算法、變異田口算法優(yōu)化得到的MSLL及TCTable 1 Optimized MSLL and TC by using PSO，TM and MTM

圖3 PSO、田口算法、變異田口算法綜合低旁瓣方向圖Fig.3 Low side lobe beam pattern synthesis using PSO，TM and MTM

表2 用PSO、田口算法、變異田口算法優(yōu)化得到的激勵(lì)電流幅值Table 2 Optimized magnitudes of excitation current by using PSO，TM and MTM

表3 田口算法、變異田口算法優(yōu)化得到的MSLL，NULL及TCTable 3 Optimized MSLL，NULL and TC by using TM and MTM

圖4 田口算法、變異田口算法綜合具有單零點(diǎn)的方向圖Fig.4 Antenna array pattern synthesis with deep null using TM and MTM

2)具有零陷的方向圖綜合

首先討論單個(gè)零陷情況.設(shè)計(jì)要求主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，零功率波瓣寬度為20°，MSLL為 -30 dB，53°方向形成零陷.相鄰陣元間的距離d設(shè)置為0.5λ，激勵(lì)電流的相位均為0，仍只需優(yōu)化10個(gè)陣元的激勵(lì)電流幅值，電流幅值an的取值范圍為［0，1］.采用式(10)作為適應(yīng)度函數(shù)，分別用田口算法、變異田口算法進(jìn)行優(yōu)化.田口算法、變異田口算法選擇正交表OA(27，10，3，2)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，衰減因子設(shè)置為 0.81;田口算法中收斂限制設(shè)置為0.001;變異田口算法中最大迭代次數(shù)設(shè)置為100.用田口算法及變異田口算法綜合具有單個(gè)零陷的方向圖得到的MSLL、零陷深度(NULL)及TC如表3，兩種算法綜合得到的波束方向圖如圖4，得到的激勵(lì)電流幅值如表4.

由圖4及表3中的數(shù)據(jù)可以看出，與田口算法相比，雖然用變異田口算法進(jìn)行優(yōu)化使得適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算次數(shù)增加了，但是優(yōu)化后的MSLL降低了2.0 dB左右，零點(diǎn)深度加深了3.2 dB.以少量的迭代次數(shù)為代價(jià)，取得更好的優(yōu)化結(jié)果是可取的.

表4 用田口算法、變異田口算法優(yōu)化得到的激勵(lì)電流幅值Table 4 Optimized magnitudes of excitation current by using TM and MTM

再討論多個(gè)零陷情況.設(shè)計(jì)要求53°及65°方向形成零陷.田口算法、變異田口算法衰減因子設(shè)置為0.86;田口算法中收斂限制設(shè)置為0.001;變異田口算法中最大迭代次數(shù)設(shè)置為150，其余設(shè)置與上文單個(gè)零陷方向圖綜合一致.用田口算法及變異田口算法綜合多零陷方向圖得到的MSLL及TC如表5中，得到的波束方向圖如圖5，得到的激勵(lì)電流幅值如表6.

表5 田口算法、變異田口算法優(yōu)化得到的MSLL、NULL及TCTable 5 Optimized MSLL，NULL and TC by using TM and MTM

由圖5及表5中的數(shù)據(jù)可以看出，與田口算法相比，變異田口算法優(yōu)化后MSLL降低了2.0dB左右，53°和127°方向零點(diǎn)深度降低了30.0 dB左右，65°和115°方向零點(diǎn)深度降低了27.1 dB左右.變異田口算法的適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算次數(shù)雖然增加了，但在可接受范圍之內(nèi).

圖5 田口算法、變異田口算法綜合具有多個(gè)零點(diǎn)的方向圖Fig.5 Antenna array pattern synthesis with nulls using TM and MTM

表6 用田口算法、變異田口算法綜合多零點(diǎn)方向圖得到的激勵(lì)電流幅值Table 6 Optimized magnitudes of excitation current of beam pattern synthesis with deep nulls using TM and MTM

2.3 優(yōu)化激勵(lì)電流幅值和相位

設(shè)計(jì)要求主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，零功率波瓣寬度為20°，MSLL為 -30 dB.相鄰陣元間的距離d取0.5λ.優(yōu)化10個(gè)陣元的激勵(lì)電流幅值及相位，電流幅值an的取值范圍為［0，1］，相位φn的取值范圍為［0，2π］.仍選擇公式(10)作為適應(yīng)度函數(shù)，分別用田口算法、變異田口算法進(jìn)行優(yōu)化.田口算法、變異田口算法選擇正交表OA(81，20，3，2)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，衰減因子設(shè)置為0.84;田口算法中收斂限制設(shè)置為0.002;變異田口算法中最大迭代次數(shù)設(shè)置為60.兩種算法優(yōu)化得到的MSLL及適應(yīng)度函數(shù)總計(jì)算次數(shù)如表7，兩種算法優(yōu)化得到的波束方向圖如圖6，用田口算法及變異田口算法綜合低旁瓣方向圖得到的電流幅值和相位如表8.

由表7及圖6可以看出，在適應(yīng)度函數(shù)總計(jì)算次數(shù)未大幅增加的情況下，變異田口算法優(yōu)化得到的MSLL比田口算法優(yōu)化得到的降低了0.3 dB左右，達(dá)到了設(shè)計(jì)要求.

表7 田口算法、變異田口算法優(yōu)化得到的MSLL，NULL及TC Table 7Optimized MSLL，NULL and TC using TM and MTM

圖6 田口算法、變異田口算法綜合低旁瓣方向圖Fig.6 Low side lobe beam pattern synthesis using TM and MTM

表8 用田口算法、變異田口算法綜合低旁瓣方向圖得到的激勵(lì)電流幅值和相位Table 8 Optimized magnitudes and phases of excitation current of low side lobe beam pattern synthesis using TM and MTM

3 結(jié)論

文中研究了變異田口算法在直線陣方向圖綜合中的應(yīng)用，成功的獲得了具有低旁瓣及特定方向產(chǎn)生零點(diǎn)的方向圖，驗(yàn)證了變異田口算法的有效性.與智能優(yōu)化算法PSO相比，變異田口算法不僅大大提高了效率，且優(yōu)化結(jié)果更好.變異田口算法具有易實(shí)施、高效率，低計(jì)算量的特點(diǎn)，在其他電磁優(yōu)化應(yīng)用中具有廣泛的應(yīng)用前景.

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