求解CEV模型下美式看跌期權(quán)的有限差分法

王智宇，李景詩(shī)，朱本喜，宋海明

（吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春 130012）

0 引 言

其中：Z＋＝max｛0，Z｝；S為原生資產(chǎn)價(jià)格；t為時(shí)間；V（S，t）表示美式看跌期權(quán)的價(jià)格；σ，r，q，T和K分別表示原生資產(chǎn)的波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、原生資產(chǎn)的紅利率、期權(quán)的到期日和敲定價(jià)格；常數(shù)α是彈性系數(shù)；S＊（t）為美式期權(quán)的最佳實(shí)施邊界，它把美式期權(quán)的求解區(qū)域分成兩部分：S≤S＊（t）為實(shí)施區(qū)域；S＞S＊（t）為持有區(qū)域.

求解美式看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題目前主要存在以下問(wèn)題：

1）求解區(qū)域左端最佳實(shí)施邊界S＊（t）未知，求解區(qū)域不規(guī)則；

2）求解區(qū)域右端為無(wú)窮區(qū)域，難以直接應(yīng)用數(shù)值算法；

3）給出的算法需要同時(shí)確定期權(quán)價(jià)格V和最佳實(shí)施邊界S＊（t）.

1 Front－Fixing變換

由于拋物問(wèn)題（4）定義在半無(wú)窮區(qū)域上，因此數(shù)值求解時(shí)需進(jìn)行截?cái)?而直接做人工截?cái)鄷?huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定或數(shù)值不精確［4］，因此本文采用PML技巧對(duì)無(wú)界區(qū)域進(jìn)行截?cái)?

2 PML技巧

3 數(shù)值解法

4 數(shù)值算例

考慮對(duì)一只敲定價(jià)格K＝10的一年期美式看跌期權(quán)進(jìn)行數(shù)值模擬，其中模型（1）中參數(shù)分別為r＝0.05，q＝0.02，σ＝0.35，α＝0.7，數(shù)值結(jié)果如圖1所示.其中：t表示時(shí)間；s表示股票價(jià)格；V表示期權(quán)價(jià)格.

圖1（A）給出了本文算法得到的最佳實(shí)施邊界與二叉樹(shù)法［8］的對(duì)比結(jié)果.本文算法中，取θ＝0，M＝200，N1＝1 000，N＝1 010，σ0＝10，m0＝3；二叉樹(shù)法中取M＝1 000.圖1（B）給出了本文算法得到的期權(quán)價(jià)格三維圖像.由圖1可見(jiàn)，本文算法能較精確地給出最佳實(shí)施邊界和期權(quán)價(jià)格.

圖1 最佳實(shí)施邊界（A）和期權(quán)價(jià)格的三維圖像（B）Fig.1 Optimal exercise boundary（A）and 3Dimage of option price（B）

［1］Becker S S.The Constant Elasticity of Variance Model and Its Implications for Option Pricing［J］.J Fiance，1980，35（3）：661－673.

［2］花秋玲，楊成榮.美式封頂期權(quán)的對(duì)稱性 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2009，47（4）：717－722.（HUA Qiuling，YANG Chengrong.Symmetry Properties on American Options［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2009，47（4）：717－722.）

［3］Holmes A D，YANG Hongtao.A Front－Fixing Finite Element Method for the Valuation of American Options［J］.SIAM J Sci Comput，2008，30（4）：2158－2180.

［4］Lantos N，Nataf F.Perfectly Matched Layers for the Heat and Advection－Diffusion Equations［J］.J Comput Phys，2010，229（24）：9042－9052.

［5］呂桂霞，馬富明.拋物方程的一類并行差分格式 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2002，40（4）：327－330.（LüGuixia，MA Fuming.A Parallel Difference Scheme for Parabolic Equation［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2002，40（4）：327－330.）

［6］HAN Houde，WU Xiaonan.A Fast Numerical Method for the Black－Scholes Equation of American Options［J］.SIAM J Numer Anal，2004，41（6）：2081－2095.

［7］姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法 ［M］.2版.北京：高等教育出版社，2008：170－191.（JIANG Lishang.Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing［M］.2nd ed.Beijing：Higher Education Press，2008：170－191.）

［8］Cox J C，Ross S，Rubinstein M.Option Pricing：A Simplied Approach［J］.J Finan Econ，1979，7（3）：229－263.