基于不動點算法的LLT去噪模型

王天祎，文鈞屹，張絲雨，何秉航，羅宏文

（1.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所，長春 130012；2.中山大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣州 510275）

圖像在生成、傳輸、轉(zhuǎn)換等過程中會無法避免地引入隨機噪聲，為了消除給定圖像內(nèi)的噪聲，同時又要盡可能地保持圖像原有的信息和細(xì)節(jié)，良好的去噪模型尤為重要.文獻［1］提出的全變分去噪模型（TV模型）是一個經(jīng)典的去噪模型，不僅可以很好地去除噪聲，而且也保持了圖像的邊緣，因而TV模型近年來一直是最成功的去噪模型之一［2］.但TV模型的結(jié)果趨于一個分片常量，會導(dǎo)致視覺上的階梯效應(yīng).為了克服這個問題，文獻［3－7］等相繼提出了高階微分去噪模型，消除了二階模型慣有的階梯效應(yīng).文獻［6］提出的LLT模型是最典型的模型之一，該模型通過極小化圖像u（x，y）二階導(dǎo)數(shù)uxx和uyy的L1范數(shù)構(gòu)造，主要用于去除醫(yī)學(xué)核磁共振圖像的噪聲，效果較好.

本文利用文獻［5］提出的不動點方法（fixed－point proximity algorithm）快速求解LLT模型.先通過凸分析理論建立關(guān)于LLT模型能量泛函的不動點方程，該方程為非膨脹的，再依據(jù)非膨脹算子的性質(zhì)，通過迭代法求解該不動點方程的解，進而獲得LLT模型的解.

1 模型描述

設(shè)Ω∈Rd表示圖像域，則LLT模型可表示為求解如下無約束的最優(yōu)化問題：

2 算法實現(xiàn)

3 實驗結(jié)果與分析

將本文算法應(yīng)用于Lena圖像去噪.添加加性高斯白噪聲，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ＝15，正則化參數(shù)μ＝0.07，正數(shù)λ＝1／8，κ＝0.5.將計算結(jié)果與文獻［6］差分方法進行對比，結(jié)果如圖1所示.圖1（A）為原始圖像；圖1（B）為含噪圖像，PSNR＝24.555 0；圖1（C）為文獻［6］原始算法結(jié)果，PSNR＝28.374 6，所用CPU時間為8.503 1s，迭代步數(shù)498；圖1（D）為本文算法結(jié)果，PSNR＝28.409 8，所用CPU時間為1.950 5s，迭代步數(shù)156；圖1（E）為兩種算法PSNR曲線對比，虛線為文獻［6］算法，實線為本文算法.從迭代時間上可見，本文算法明顯快于原差分算法；從迭代步數(shù)上可見，本文算法更快達到平穩(wěn)結(jié)果；從去噪效果上可見（比較圖1（C）和圖1（D）），本文算法所得結(jié)果也更平滑，去噪效果更好.

圖1 本文算法與文獻［6］方法對Lena圖像去噪結(jié)果對比Fig.1 Comparison results for Lena image denoising between our algorithm and reference［6］

感謝中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院許躍生教授的悉心指導(dǎo).

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