透視核心概念 溯源數(shù)學(xué)本真
——《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念理解與呈現(xiàn)》研讀與感悟

◇劉愛東

《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書由華東師范大學(xué)張奠宙教授和杭州師范大學(xué)鞏子坤教授等著（以張教授在本刊所發(fā)“評(píng)論與建議”文章為主——編者注）。之所以取這個(gè)名字，是因?yàn)椤半m然小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度不大，但它背后所依靠的道理并不小”。書中內(nèi)容緊緊圍繞數(shù)學(xué)核心概念的理解，就目前課程標(biāo)準(zhǔn)和小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“有所欠缺的”“一些流傳很廣的認(rèn)識(shí)和表述”，或從知識(shí)的濫觴處追根溯源，或從數(shù)學(xué)的本真處正本清源，或從教學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中辯證厘析，鞭辟入里、以理服人，其最終目的在于通過對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)核心概念的深度剖析，經(jīng)由教師的教學(xué)“讓孩子們獲得更好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。既有專家居高望遠(yuǎn)的引領(lǐng)，又有根植教學(xué)一線的實(shí)證相佐，是一本不可多得的好書。

一 追根溯源，立足數(shù)學(xué)歷史大空間

數(shù)學(xué)發(fā)展史告訴我們：一個(gè)個(gè)體的發(fā)育史會(huì)重蹈其種族的發(fā)展史。 其表現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程與數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程相似。為了厘清概念本質(zhì)、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，張奠宙教授十分注重從數(shù)學(xué)文化的高度，用數(shù)學(xué)發(fā)展的眼光引導(dǎo)教師開發(fā)教材，推陳出新。

在讀到對(duì)于“方程”概念的表述時(shí)，張教授從“方程”一詞的來源進(jìn)行數(shù)學(xué)史的考證，發(fā)現(xiàn)該詞在西方是沒有的，西方只有“等式”。該詞來源于《九章算術(shù)》中的解線性方程，“方”是指把線性方程組的系數(shù)排列成一個(gè)方陣，“程”的意思是按照一定的程式進(jìn)行運(yùn)算，最后把未知數(shù)找出來，兩個(gè)字合起來意為系數(shù)按照一定的程式進(jìn)行運(yùn)算的過程，而非教材上所定義的“含有未知數(shù)的等式叫方程”。 因此，他建議教材要淡化方程的定義。他認(rèn)為，學(xué)習(xí)方程的關(guān)鍵在于“理解方程思想的本質(zhì)以及它的價(jià)值和意義”，而方程的本質(zhì)是“為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的相等關(guān)系”，其核心價(jià)值是“為了尋求未知數(shù)”。這樣的分析有理有據(jù)，對(duì)于一直被“x＝1 是不是方程”折騰的一線教師而言，無疑具有十分重要的指導(dǎo)意義，因?yàn)閤＝1 中未知數(shù)是幾已經(jīng)很清楚了，無須再去“尋求”，而且沒必要進(jìn)行這種毫無意義的自我折騰。

有了這樣全新的認(rèn)識(shí)，教學(xué)中，我改變傳統(tǒng)教學(xué)中著重于以“含有未知數(shù)”“等式”為重點(diǎn)的定義，而是圍繞“為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起等式關(guān)系”這一方程思想重構(gòu)教學(xué)過程，數(shù)學(xué)價(jià)值更加凸顯。具體分三步：

第一步，通過認(rèn)識(shí)已知數(shù)和未知數(shù)讓學(xué)生明白，今天的學(xué)習(xí)是研究未知數(shù)和已知數(shù)之間的一種特殊關(guān)系。

第二步，在已知數(shù)和未知數(shù)間建立關(guān)系。給出一組已知數(shù)和未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，如x－30＜108、x－20＞108、x－25＝108 等，讓學(xué)生明白，其中能幫助我們獲得未知數(shù)值的，即有“等量關(guān)系”存在的，叫作方程。

第三步，豐富內(nèi)涵理解方程。借助天平，在天平的左邊放兩個(gè)梨，右邊放3 個(gè)蘋果，天平平衡。問：你能根據(jù)“2 個(gè)梨的重量＝3 個(gè)蘋果的重量”這個(gè)等式，分別知道每個(gè)梨和每個(gè)蘋果的重量嗎？

引導(dǎo)學(xué)生明白，僅有等量關(guān)系不一定能夠獲得未知數(shù)的值，僅有已知數(shù)也未必能獲得未知數(shù)的值，只有在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立等量關(guān)系，并能借助已知數(shù)和等量關(guān)系獲得未知數(shù)的值，這樣的等量關(guān)系才是方程。

二 關(guān)注本質(zhì)，基于教學(xué)邏輯大視野

交換律的本質(zhì)是什么？為什么兩個(gè)加數(shù)（乘數(shù)）可以交換？怎樣的教學(xué)過程才能反映出交換律的本質(zhì)？在閱讀本書之前，雖然也有相關(guān)思考，但一直以來離不開“兩個(gè)加數(shù)（乘數(shù)）交換位置，和（積）不變”的概念定義。

張教授在書中告訴我們，理解加法交換律應(yīng)該基于加法的意義，“加法的本質(zhì)是接著數(shù)，它來自于添加或合并的操作活動(dòng)”。 這樣的論述讓我明白了“交換兩個(gè)加數(shù)”意味著兩個(gè)求和的過程是兩個(gè)不同的數(shù)數(shù)過程，如5+8 與8+5，前者是以5 為基礎(chǔ)接著往下數(shù)8 個(gè)，后者是以8 為基礎(chǔ)接著往下數(shù)5 個(gè)，雖然結(jié)果相同，但數(shù)的過程是有區(qū)別的，而這正是加法交換律的本質(zhì)所在。同樣的，乘法交換律源于乘法的意義，即“求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”，以此得知，3×5 和5×3也是兩個(gè)不同的數(shù)數(shù)的過程，前者是3+3+3+3+3，數(shù)5 個(gè)3，而后者是5+5+5，數(shù)3 個(gè)5，雖然結(jié)果相同，但計(jì)算的過程是有區(qū)別的。

借鑒上述觀點(diǎn)，我在教學(xué)中作了一些改變與嘗試。比如，乘法交換律的教學(xué)，我把教材上踢毽子圖（如圖1）稍作改變，改成每排5 人，共3 排。引導(dǎo)學(xué)生據(jù)圖交流得出，橫著數(shù)，每行5 人，3 行共有5×3＝15（人）；豎著數(shù)，每行3 人，5 行共有3×5＝15（人）。因?yàn)榻Y(jié)果都是15 人，所以有5×3＝3×5。這樣的設(shè)計(jì)，從乘法的意義出發(fā)學(xué)習(xí)乘法交換律，打破了學(xué)生普遍通過機(jī)械記憶的方法學(xué)習(xí)乘法交換律的困境。

圖1

像這樣從數(shù)學(xué)邏輯大視野的角度厘清知識(shí)脈絡(luò)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系的例子，在書中還有很多。它昭示我們，小學(xué)數(shù)學(xué)并不小，只有從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，才能基于追尋數(shù)學(xué)根部知識(shí)，在引導(dǎo)學(xué)生不斷體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法、感悟數(shù)學(xué)思想中，有效建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程即知識(shí)自然生長(zhǎng)過程的教學(xué)目標(biāo)。

三 簡(jiǎn)約深刻，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維大提升

翻開本書目錄，“建議將‘分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)’直稱為‘分?jǐn)?shù)的相等性質(zhì)’”“小數(shù)容易分?jǐn)?shù)難，何必死死捆綁在一起”“面積測(cè)量的活動(dòng)有點(diǎn)‘故弄玄虛’”等題目，讓我一下子感覺，在直白簡(jiǎn)約的文字背后，既撓到了小學(xué)教學(xué)中有為思維而思維的“癢”處，又觸及了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的提升具有畫龍點(diǎn)睛的作用。

張教授認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)并不簡(jiǎn)單，甚至具有很高的學(xué)術(shù)含量。如果僅就一些教育理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)是走不遠(yuǎn)的，許多內(nèi)容必須從數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示上進(jìn)行梳理，才能設(shè)計(jì)出更符合學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)案例。像面積，很多教科書上的定義是“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”，而張教授則從日常生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，分析得出，面積和長(zhǎng)度一樣，是人與生俱來的直覺，其實(shí)質(zhì)是用某一個(gè)小正方形的面積作為“1”，去度量平面或曲面上一塊區(qū)域大小的“數(shù)”，可以通過“把一個(gè)圖形用單位方格子填滿，再數(shù)出一共有多少個(gè)方格子，就知道它的面積是幾”，用這樣“數(shù)一數(shù)”的辦法求面積的大小。

根據(jù)這樣的思路，我沿著“建立面的概念：撫摸課桌、書本、黑板等物體的面”→“面有大有?。航o大小顯著不同的兩個(gè)空白圖形涂色比賽”→“多種方法比較面的大?。河^察法、重疊法、畫格子法”→“統(tǒng)一數(shù)據(jù)描述標(biāo)準(zhǔn)：用某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（如一個(gè)小正方形格子）去度量面，把面的大小用數(shù)據(jù)描述出來”→“形成面積概念：把標(biāo)準(zhǔn)看作‘1’，這種新的計(jì)量即為‘面積’”的邏輯脈絡(luò)，凸顯面積的計(jì)量意義。毫無疑問，這樣的教學(xué)過程是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)的一次突破和超越，比簡(jiǎn)單地圍繞教科書上的面積定義，緊扣“表面”“封閉”等字眼，更能深刻揭示面積的數(shù)學(xué)意義，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，且為后面平面圖形面積的計(jì)算奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。畫1 個(gè)方格子看作“1”的數(shù)學(xué)思想，在學(xué)習(xí)體積的時(shí)候同樣能用，這樣的數(shù)學(xué)思想，將來學(xué)微積分時(shí)也能用上。