近幾年高考坐標系與參數方程試題分類及解法

張丹丹，林若蘭

（遵義師范學院數學與計算科學學院，貴州遵義563002）

近幾年高考坐標系與參數方程試題分類及解法

張丹丹，林若蘭

（遵義師范學院數學與計算科學學院，貴州遵義563002）

坐標系與參數方程是近年高考的選做題之一。以研究高考試題來認識教學內容、把握重點和教學要求是提高教學水平的重要途徑。通過對2010-2013年全國各?。ㄊ?、區(qū)）高考理科所有試題的統(tǒng)計分析，得出坐標系與參數方程試題的主要題型分類，并對各類試題的解法進行了總結，為高中數學教學提供參考。

高考；坐標系；參數方程；試題；方法

高中坐標系與參數方程的內容分布在《普通高中數學課程標準（實驗）》[1]（以下簡稱《課標》）教科書數學選修4-4[2]，在高考中所占的分值通常在5-10分。因此，坐標系與參數方程是高中數學教學重要內容之一。以研究高考試題來認識坐標系與參數方程的教學內容、把握重點和教學要求是提高教學水平的重要途徑。

近年來有不少研究高考坐標系與參數方程的文獻。如文[3]通過對2010年考試大綱和實例分析，得到高考考察的知識點，并提出了本專題的重點和難點；文[4]對《坐標系與參數方程》編寫時考慮的幾個主要問題，對教學提出了建議；文[5]對2011年新課標高考試題進行分類評析，得到高考考題的主要形式及難度；文[6]以考情分析為主，探究出規(guī)律和考點以及需要掌握的知識。這些文獻只是從一年的試題、或考試大綱、或教材編寫來分析教學要求，通過連續(xù)四年全國所有高考試題的統(tǒng)計分析來認識教材的文獻未見報道。

本文以2010-2013年高考理科坐標系與參數方程試題為基本材料，在分析試題的知識點和解題能力要求的基礎上，提出對高中坐標系與參數方程教學要求的認識，供中學數學教學參考。

1 試題分析

通過對近四年48套高考試題的分析，坐標系與參數方程的試題總是代數與幾何相結合；主要以填空題（5-8分）、解答題（7-10分）的形式出現(xiàn)；有時也會以選擇題的形式出現(xiàn)（分值一般在5-6分）。試題類型與解題要求分析如下。

2.1 參數方程與直角坐標方程的轉化

由曲線的參數方程判斷曲線的類型是高考的考點之一，往往要求根據曲線的參數方程判斷曲線的類型或兩曲線的位置關系，如：2010年全國課標卷第23題、湖南卷第4題；2011年福建卷第21題；2012年福建卷第21題；2013年全國課標卷第23題。也有獨立的參數方程轉化為直角坐標方程的試題，如：2010年天津卷第15題和2011年江蘇卷第21題。

參數方程與直角坐標方程相互轉化時，應當掌握以下幾類方程之間的關系，并注意變量的變化范圍。

經過點P（x0，y0），傾斜角為的直線的參數方程為

參數方程轉化為直角坐標方程時，消去參數方程中的參數即可，但要注意直角坐標方程中變量x、y的取值范圍應與參數方程中參數的取值對應，消去參數的具體方法要根據參數方程的特點來考慮。消去參數的方法有：代入消去法，由其中一式解出t，代人另一式；加減消去法，由兩式加減（平方加或減）或乘除消去參數t；換元法，通過代數或三角換元消去參數t。

直角坐標方程化為參數方程，要恰當地選擇參數t和函數x=?(t)，并且使x=?(t)的值域與直角坐標方程中變量x的范圍一致，然后將x=?(t)代人直角坐標方程中解出y=g(t)，即得參數方程

2.2 極坐標方程與直角坐標方程的相互轉化

極坐標方程轉化為直角坐標方程在高考試題中很常見，如：2010年全國課標Ⅰ卷第23題、陜西卷第15題、重慶卷第8題、廣東卷第15題、江蘇卷第21題、安徽卷第7題、福建卷第21題；2011年陜西卷第15題、湖南卷第9題、遼寧卷第23題、廣東卷第14題、安徽卷第5題、北京卷第3題、上海卷第5題、江西卷第15題；2012年湖南卷第9題、廣東卷第14題、福建卷第21題、安徽卷第13題、北京卷第9題、2013年重慶卷第15題、江蘇卷第21題、遼寧卷第23題、天津卷第11題。

極坐標方程與直角坐標方程的互化，首先應當掌握互化的前提條件：極點與直角坐標系的原點重合；極軸與軸正方向重合；兩種坐標系取相同的單位長度。

其次是掌握互化公式：設點M的直角坐標為（x，y），它的極坐標為則

2.3 動點軌跡的參數方程

動點軌跡的參數方程和極坐標方程問題在近年的高考中是很常見的，如：2010年全國課標卷Ⅰ第23題、遼寧卷第23題；2012年遼寧卷第23題；2013年全國課標Ⅰ卷第23題、陜西卷第17題，2012年全國課標卷Ⅰ第23題、江西卷第15題、遼寧卷第23題、上海卷第10題、江蘇卷第21題；2013年江西卷第15題、廣東卷第14題、安徽卷第7題。

這類問題可用以下方法解題。方法一，按求動點軌跡的一般步驟求建系設點，列出幾何等式，坐標代換，化簡整理；方法二，若動點M(x,y)依賴已知曲線上的動點N而運動，則可將轉化后的動點N的坐標代入已知曲線的方程或滿足的幾何條件，從而求得動點M的軌跡方程；方法三，若動點運動的規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可根據曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；方法四，若動點P(x,y)的坐標x與y之間的關系不容易找到，而動點變化受到另一變量的制約，則可求出x、y關于另一變量的參數方程，再化為普通方程；方法五，求兩條動曲線交點的軌跡方程，其過程是選出一個適當的參數，求出二動曲線的方程或動點坐標適合的含參數的等式，再消參數，即得所求動點軌跡的方程。

求動點軌跡的極坐標方程的一般方法為：選擇適當的極坐標系，將已知條件用動點的關系式表示出來，得到軌跡的極坐標方程。但是，求關系是較為困難的，一般考慮兩種方法。方法一，直接法：當動點直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時，先設出曲線上任一點的極坐標為再根據題設條件運用基本公式，如三角函數定義，勾股定理，正（余）弦定理等列出的關系式，化簡后即得軌跡方程；方法二，利用關鍵三角形：因為點的極坐標是用長度與角度表示的，所以建立極坐標方程常?？梢栽谝粋€三角形中實現(xiàn)。建立起這個三角形邊與角的關系，也就建立起了極坐標中的關系，化簡后即得軌跡方程。

2.4 根據軌跡的參數方程求坐標

根據軌跡的參數方程求點的坐標越來越受關注，尤其是在近四年高考中所占的比重越來越大，如：2010年全國課標Ⅰ卷第23題、陜西卷第15題、廣東卷第15題、遼寧卷第23題；2011年北京卷第5題、廣東卷第14題；2012年遼寧卷第23題、廣東卷第14題；2013年遼寧卷第23題、江蘇卷第21題。

根據軌跡的參數方程求點的坐標問題，可分為兩種方法。方法一，將參數方程化為直角坐標方程，在直角坐標系下描繪圖形，最終得到點的坐標；方法二，將軌跡的參數方程在極坐標系上表示出來，就能得到點的坐標。

2.5 根據曲線的參數方程求兩曲線的交點個數

由曲線參數方程求兩曲線的交點個數的問題在三個地區(qū)的試題中出現(xiàn)：2010年安徽卷第7題；2011年湖南卷第9題；2012年北京卷第9題。

事實上，求曲線C1：?1(x，y)=0與曲線C2：?2(x，y)=0的交點，就是求方程組的實數解。

2.6 求未知參數

求未知參數的問題仍是高考常見的問題，如：2010年江蘇卷第21題；2011年遼寧卷第23題、天津卷第11題；2012年湖南卷第9題、天津卷第12題；2013年遼寧卷第23題、湖南卷第9題。

求未知參數的基本方法是先將原有的參數方程或者極坐標方程轉化為直角坐標方程，判斷其類型，根據類型找出它們特有的性質，最后應用幾何或代數關系列出相應的等式求解。

2.7 由極坐標方程或參數方程求兩點的距離

由極坐標方程或參數方程求兩點的距離近四年在多數地區(qū)的試題中出現(xiàn)，如：2010年福建卷第21題；2011年全國課標卷第23題、陜西卷第15題、安徽卷第5題、福建卷第21題；2012年全國課標卷第23題、陜西卷第15題、安徽卷第13題；2013年重慶卷第15題、北京卷第9題、天津卷第11題、上海卷第7題。

在極坐標方程中求兩點間距離的方法，通常采用余弦定理，相當于知道三角形兩邊長度和其所夾的夾角，求第三邊。當然，也可將極坐標方程或參數方程轉化為直角坐標方程，確定點的直角坐標后即可求兩點間的距離。

3 結束語

本文僅僅在分析近四年高考理科坐標系與參數方程試題的基礎上得出試題分類及其相應的解答方法，為高中坐標系與參數方程專題的教學提供參考。要提高該專題的教學質量，還需要對文科試題進行分析，認真研讀《課標》要求，領會教科書的編寫意圖，結合學生實際，才能制定出科學的教學方案。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社,2003.2-35.

[2]人民教育出版社,課程教材研究所,中學數學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書選修4-4[M].北京：人民教育出版社,2007.1-45.

[3]龔麗君.從新課程高考看《坐標系與參數方程》的教學與復習[J].新課程學習（學術教育）,2010,(8)：101-102.

[4]章建躍,郭慧清.人教A版高中數學選修4-4《坐標系與參數方程》簡析[J].福建教育,2009,(3)：58-59.

[5]鄭新春.2011年新課標高考試題分類評析[J].高中數理化, 2012,(5)：8-9.

[6]高慧明.新課程高考“幾何證明選講，坐標系與參數方程、不等式選講”命題規(guī)律與教學策略[J].中學數學研究,2012,(5)：18-25.

（責任編輯：朱彬）

On the Classification of Test Questions of Coordinate System and Parameter Equation and Their Solutions in the Rencent Entrance Exams for Higher Schools

ZHANG Dan-dan,LIN Ruo-lan
(School of Mathematics and Computational Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

Coordinate system and parameter equation are one of the options in the entrance exam,and it is an important way to improve teaching ability to know teaching content,key points of teaching and teaching requirement by means of looking at test questions in entrance exams.Through the statistic analysis of all the test questions from entrance exam papers for science students from 2010 to 2013, we classify all the major test questions and their solutions,providing certain suggestions or advice for the teaching of mathematics of senior high schools.

entrance exam;coordinate system;parameter equation;test questions;solution

G632.0

：A

1009-3583（2014）-0122-03

2014-06-12

貴州省基礎教育科研基金項目（2012B275）；遵義師范學院基礎教育研究課題（13ZYJ031）

張丹丹，女，貴州桐梓縣人，遵義師范學院數學與計算科學學院2011級學生。