基于分段函數(shù)微積分的教學探討

摘要：微積分中的難點內(nèi)容之一就是分段函數(shù)的微積分。對于初學者來說，理解這一內(nèi)容存在一定困難。因而，教師在進行教學時更應該緊扣問題的本質(zhì)和關(guān)鍵，有的放矢地引導學生掌握正確的解題方法。本文以一元分段函數(shù)的微積分為例，給出了教學方面的相關(guān)探討。

關(guān)鍵詞：微積分；分段函數(shù)；極限；連續(xù)性；可導性

中圖分類號：G642.4？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0098-02

一、引言

在微積分的學習中，但凡涉及分段函數(shù)的相關(guān)問題時，初學者都覺得比較棘手，有時甚至無從下手。原因在于分段函數(shù)有別于初等函數(shù)，不能把對初等函數(shù)的研究方法直接套用到分段函數(shù)上。一般分段函數(shù)的研究不僅涉及面廣，方法靈活多變且綜合性較強，所以難度難免會大些，不僅要用到初等函數(shù)的研究方法，還要用到一些特殊的方法。如果學生在一些關(guān)鍵性的問題上沒有吃透，必將導致錯誤的求解。為了盡量減少出錯，教師在教授有關(guān)分段函數(shù)相關(guān)的問題時，有必要抓住問題的本質(zhì)和關(guān)鍵，給學生講解正確的方法，及時糾正學生學習中的各種錯誤思維。

分段函數(shù)是由若干個解析式子組成的函數(shù)。[1，2]一般常見的分段函數(shù)在每段上的解析式都以初等函數(shù)的形式出現(xiàn)。若x0點位于某分區(qū)間內(nèi)時，分段函數(shù)在點x0的極限問題、連續(xù)性問題和可導性問題等一般都可轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的相應問題來求解。本文主要探討x0在分區(qū)間端點處的情形。

二、分段函數(shù)在某點x0處的極限

若點x0在分區(qū)間的端點時，則應考察分段函數(shù)在x0的左、右極限，然后由函數(shù)在一點極限存在的充要條件便可得出結(jié)論。如下：例1、設f（x）=■，x<0x2-2x，0≤x≤23x-6，x>0 研究f（x）當x→0，x→1時的極限。

分析：x=0是分區(qū)間的一個端點，研究f（x）在x0的極限，應先研究其左、右極限。■f（x）=■■極限不存在，■f（x）=■x2-2x=0，易知■f（x）的極限不存在。而x=1是分區(qū)間[0，2]內(nèi)的點，直接利用初等函數(shù)求極限的方法得■f（x）=■x2-2x=-1。

三、分段函數(shù)在某點x0處的連續(xù)性

若點x0在分區(qū)間的端點時，應先判斷分段函數(shù)在分區(qū)間端點x0處是否有定義，若有，則進一步按定義考察函數(shù)在x0的左、右連續(xù)性，然后根據(jù)函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件給出結(jié)論。如下：

例2、討論f（x）=■，x<0■，x>0在x=0處的連續(xù)性。

分析：x0是函數(shù)f（x）分區(qū)間的端點。易知f（x）在x=0由定義，因而考慮其在x=0的左、右連續(xù)性，然后做出結(jié)論。

由■f（x）=■■=1=f（0）知左連續(xù)，

由■f（x）=■■=1=f（0）知右連續(xù)，所以f（0）在x=0點連續(xù)?；蛘咭部蓮倪B續(xù)的定義出發(fā)討論。

四、分段函數(shù)在某點x0處的可導性

對于分段函數(shù)在分區(qū)間端點x0處的可導性，應先判斷函數(shù)在該點是否連續(xù)，如連續(xù)則按導數(shù)的定義分別求出在點x0的左、右導數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)在某點可導的充要條件給出結(jié)論。如下：例3、討論函數(shù)f（x）=1，x≤02x+1，0

分析：x=0是函數(shù)f（x）分區(qū)間的端點。因而先考慮其在各點是否連續(xù)，若連續(xù)按導數(shù)定義分別求出各點的左、右導數(shù)，然后做出結(jié)論。

易知f（x）在由x=0是連續(xù)的，又由f'+（0）=■■=■■=2≠f'（0）=■■=0

知在x=0不可導。同理我們也可以驗證f（x）在x=1，2的可導性。

五、分段函數(shù)在某點x0處的積分

在講解這類問題時應教會學生如何把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的一般積分問題。解決分段函數(shù)定積分計算問題關(guān)鍵在于：如何根據(jù)被積函數(shù)的積分區(qū)間進行恰當?shù)膭澐?，劃為若干個小積分區(qū)間，然后利用積分區(qū)間的可加性，把原積分劃為若干個一般的定積分計算。如下：

例4、設f（x）=■，x≥0■，x<0 求■f（x-1）dx

分析：先令t=x-1進行變量代換，然后按分段函數(shù)的積分來求解。

■f（x-1）dx=■f（t）dt=■f（t）dt+■f（t）dt=■■dt+■■dt=ln（1+e）+ln■

另外某些非初等函數(shù)的相關(guān)問題研究也可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式來處理。[1，3]如一些帶絕對值符號的函數(shù)，被積函數(shù)中含有[·]，含有“max”符號的函數(shù)等。由于篇幅所限，以上僅對一元分段函數(shù)進行了一些探討，至于多元分段函數(shù)也可采用類似的方法。

參考文獻：

[1]于龍文，等.高等數(shù)學理論與解題方法[M].北京：化學工業(yè)出版社，2010.

[2]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（上、下冊）第六版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：劉利平（1984—），女，湖南株洲人，甘肅政法學院講師。

摘要：微積分中的難點內(nèi)容之一就是分段函數(shù)的微積分。對于初學者來說，理解這一內(nèi)容存在一定困難。因而，教師在進行教學時更應該緊扣問題的本質(zhì)和關(guān)鍵，有的放矢地引導學生掌握正確的解題方法。本文以一元分段函數(shù)的微積分為例，給出了教學方面的相關(guān)探討。

關(guān)鍵詞：微積分；分段函數(shù)；極限；連續(xù)性；可導性

中圖分類號：G642.4？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0098-02

一、引言

在微積分的學習中，但凡涉及分段函數(shù)的相關(guān)問題時，初學者都覺得比較棘手，有時甚至無從下手。原因在于分段函數(shù)有別于初等函數(shù)，不能把對初等函數(shù)的研究方法直接套用到分段函數(shù)上。一般分段函數(shù)的研究不僅涉及面廣，方法靈活多變且綜合性較強，所以難度難免會大些，不僅要用到初等函數(shù)的研究方法，還要用到一些特殊的方法。如果學生在一些關(guān)鍵性的問題上沒有吃透，必將導致錯誤的求解。為了盡量減少出錯，教師在教授有關(guān)分段函數(shù)相關(guān)的問題時，有必要抓住問題的本質(zhì)和關(guān)鍵，給學生講解正確的方法，及時糾正學生學習中的各種錯誤思維。

分段函數(shù)是由若干個解析式子組成的函數(shù)。[1，2]一般常見的分段函數(shù)在每段上的解析式都以初等函數(shù)的形式出現(xiàn)。若x0點位于某分區(qū)間內(nèi)時，分段函數(shù)在點x0的極限問題、連續(xù)性問題和可導性問題等一般都可轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的相應問題來求解。本文主要探討x0在分區(qū)間端點處的情形。

二、分段函數(shù)在某點x0處的極限

若點x0在分區(qū)間的端點時，則應考察分段函數(shù)在x0的左、右極限，然后由函數(shù)在一點極限存在的充要條件便可得出結(jié)論。如下：例1、設f（x）=■，x<0x2-2x，0≤x≤23x-6，x>0 研究f（x）當x→0，x→1時的極限。

分析：x=0是分區(qū)間的一個端點，研究f（x）在x0的極限，應先研究其左、右極限?！鰂（x）=■■極限不存在，■f（x）=■x2-2x=0，易知■f（x）的極限不存在。而x=1是分區(qū)間[0，2]內(nèi)的點，直接利用初等函數(shù)求極限的方法得■f（x）=■x2-2x=-1。

三、分段函數(shù)在某點x0處的連續(xù)性

若點x0在分區(qū)間的端點時，應先判斷分段函數(shù)在分區(qū)間端點x0處是否有定義，若有，則進一步按定義考察函數(shù)在x0的左、右連續(xù)性，然后根據(jù)函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件給出結(jié)論。如下：

例2、討論f（x）=■，x<0■，x>0在x=0處的連續(xù)性。

分析：x0是函數(shù)f（x）分區(qū)間的端點。易知f（x）在x=0由定義，因而考慮其在x=0的左、右連續(xù)性，然后做出結(jié)論。

由■f（x）=■■=1=f（0）知左連續(xù)，

由■f（x）=■■=1=f（0）知右連續(xù)，所以f（0）在x=0點連續(xù)?；蛘咭部蓮倪B續(xù)的定義出發(fā)討論。

四、分段函數(shù)在某點x0處的可導性

對于分段函數(shù)在分區(qū)間端點x0處的可導性，應先判斷函數(shù)在該點是否連續(xù)，如連續(xù)則按導數(shù)的定義分別求出在點x0的左、右導數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)在某點可導的充要條件給出結(jié)論。如下：例3、討論函數(shù)f（x）=1，x≤02x+1，0

分析：x=0是函數(shù)f（x）分區(qū)間的端點。因而先考慮其在各點是否連續(xù)，若連續(xù)按導數(shù)定義分別求出各點的左、右導數(shù)，然后做出結(jié)論。

易知f（x）在由x=0是連續(xù)的，又由f'+（0）=■■=■■=2≠f'（0）=■■=0

知在x=0不可導。同理我們也可以驗證f（x）在x=1，2的可導性。

五、分段函數(shù)在某點x0處的積分

在講解這類問題時應教會學生如何把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的一般積分問題。解決分段函數(shù)定積分計算問題關(guān)鍵在于：如何根據(jù)被積函數(shù)的積分區(qū)間進行恰當?shù)膭澐?，劃為若干個小積分區(qū)間，然后利用積分區(qū)間的可加性，把原積分劃為若干個一般的定積分計算。如下：

例4、設f（x）=■，x≥0■，x<0 求■f（x-1）dx

分析：先令t=x-1進行變量代換，然后按分段函數(shù)的積分來求解。

■f（x-1）dx=■f（t）dt=■f（t）dt+■f（t）dt=■■dt+■■dt=ln（1+e）+ln■

另外某些非初等函數(shù)的相關(guān)問題研究也可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式來處理。[1，3]如一些帶絕對值符號的函數(shù)，被積函數(shù)中含有[·]，含有“max”符號的函數(shù)等。由于篇幅所限，以上僅對一元分段函數(shù)進行了一些探討，至于多元分段函數(shù)也可采用類似的方法。

參考文獻：

[1]于龍文，等.高等數(shù)學理論與解題方法[M].北京：化學工業(yè)出版社，2010.

[2]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（上、下冊）第六版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：劉利平（1984—），女，湖南株洲人，甘肅政法學院講師。

摘要：微積分中的難點內(nèi)容之一就是分段函數(shù)的微積分。對于初學者來說，理解這一內(nèi)容存在一定困難。因而，教師在進行教學時更應該緊扣問題的本質(zhì)和關(guān)鍵，有的放矢地引導學生掌握正確的解題方法。本文以一元分段函數(shù)的微積分為例，給出了教學方面的相關(guān)探討。

關(guān)鍵詞：微積分；分段函數(shù)；極限；連續(xù)性；可導性

中圖分類號：G642.4？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0098-02

一、引言

在微積分的學習中，但凡涉及分段函數(shù)的相關(guān)問題時，初學者都覺得比較棘手，有時甚至無從下手。原因在于分段函數(shù)有別于初等函數(shù)，不能把對初等函數(shù)的研究方法直接套用到分段函數(shù)上。一般分段函數(shù)的研究不僅涉及面廣，方法靈活多變且綜合性較強，所以難度難免會大些，不僅要用到初等函數(shù)的研究方法，還要用到一些特殊的方法。如果學生在一些關(guān)鍵性的問題上沒有吃透，必將導致錯誤的求解。為了盡量減少出錯，教師在教授有關(guān)分段函數(shù)相關(guān)的問題時，有必要抓住問題的本質(zhì)和關(guān)鍵，給學生講解正確的方法，及時糾正學生學習中的各種錯誤思維。

分段函數(shù)是由若干個解析式子組成的函數(shù)。[1，2]一般常見的分段函數(shù)在每段上的解析式都以初等函數(shù)的形式出現(xiàn)。若x0點位于某分區(qū)間內(nèi)時，分段函數(shù)在點x0的極限問題、連續(xù)性問題和可導性問題等一般都可轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的相應問題來求解。本文主要探討x0在分區(qū)間端點處的情形。

二、分段函數(shù)在某點x0處的極限

若點x0在分區(qū)間的端點時，則應考察分段函數(shù)在x0的左、右極限，然后由函數(shù)在一點極限存在的充要條件便可得出結(jié)論。如下：例1、設f（x）=■，x<0x2-2x，0≤x≤23x-6，x>0 研究f（x）當x→0，x→1時的極限。

分析：x=0是分區(qū)間的一個端點，研究f（x）在x0的極限，應先研究其左、右極限?！鰂（x）=■■極限不存在，■f（x）=■x2-2x=0，易知■f（x）的極限不存在。而x=1是分區(qū)間[0，2]內(nèi)的點，直接利用初等函數(shù)求極限的方法得■f（x）=■x2-2x=-1。

三、分段函數(shù)在某點x0處的連續(xù)性

若點x0在分區(qū)間的端點時，應先判斷分段函數(shù)在分區(qū)間端點x0處是否有定義，若有，則進一步按定義考察函數(shù)在x0的左、右連續(xù)性，然后根據(jù)函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件給出結(jié)論。如下：

例2、討論f（x）=■，x<0■，x>0在x=0處的連續(xù)性。

分析：x0是函數(shù)f（x）分區(qū)間的端點。易知f（x）在x=0由定義，因而考慮其在x=0的左、右連續(xù)性，然后做出結(jié)論。

由■f（x）=■■=1=f（0）知左連續(xù)，

由■f（x）=■■=1=f（0）知右連續(xù)，所以f（0）在x=0點連續(xù)?；蛘咭部蓮倪B續(xù)的定義出發(fā)討論。

四、分段函數(shù)在某點x0處的可導性

對于分段函數(shù)在分區(qū)間端點x0處的可導性，應先判斷函數(shù)在該點是否連續(xù)，如連續(xù)則按導數(shù)的定義分別求出在點x0的左、右導數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)在某點可導的充要條件給出結(jié)論。如下：例3、討論函數(shù)f（x）=1，x≤02x+1，0

分析：x=0是函數(shù)f（x）分區(qū)間的端點。因而先考慮其在各點是否連續(xù)，若連續(xù)按導數(shù)定義分別求出各點的左、右導數(shù)，然后做出結(jié)論。

易知f（x）在由x=0是連續(xù)的，又由f'+（0）=■■=■■=2≠f'（0）=■■=0

知在x=0不可導。同理我們也可以驗證f（x）在x=1，2的可導性。

五、分段函數(shù)在某點x0處的積分

在講解這類問題時應教會學生如何把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的一般積分問題。解決分段函數(shù)定積分計算問題關(guān)鍵在于：如何根據(jù)被積函數(shù)的積分區(qū)間進行恰當?shù)膭澐?，劃為若干個小積分區(qū)間，然后利用積分區(qū)間的可加性，把原積分劃為若干個一般的定積分計算。如下：

例4、設f（x）=■，x≥0■，x<0 求■f（x-1）dx

分析：先令t=x-1進行變量代換，然后按分段函數(shù)的積分來求解。

■f（x-1）dx=■f（t）dt=■f（t）dt+■f（t）dt=■■dt+■■dt=ln（1+e）+ln■

另外某些非初等函數(shù)的相關(guān)問題研究也可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式來處理。[1，3]如一些帶絕對值符號的函數(shù)，被積函數(shù)中含有[·]，含有“max”符號的函數(shù)等。由于篇幅所限，以上僅對一元分段函數(shù)進行了一些探討，至于多元分段函數(shù)也可采用類似的方法。

參考文獻：

[1]于龍文，等.高等數(shù)學理論與解題方法[M].北京：化學工業(yè)出版社，2010.

[2]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（上、下冊）第六版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：劉利平（1984—），女，湖南株洲人，甘肅政法學院講師。