諧振子勢(shì)阱下二維氫原子的運(yùn)動(dòng)

許寧

（遵義師范學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，貴州遵義563002）

諧振子勢(shì)阱下二維氫原子的運(yùn)動(dòng)

許寧

（遵義師范學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，貴州遵義563002）

運(yùn)用龍格-庫(kù)塔法解決了被囚禁在諧振子勢(shì)阱下的二維氫原子的運(yùn)動(dòng)情況,得到了氫原子的軌跡圖。由運(yùn)動(dòng)軌跡圖得出：不同能量值的氫原子的運(yùn)動(dòng)有不同特性，并且同一能量值下不同初始條件的氫原子的運(yùn)動(dòng)也呈現(xiàn)不同特性。

四階龍格-庫(kù)塔法；諧振子勢(shì)阱；二維氫原子

數(shù)學(xué)物理學(xué)是以研究物理問(wèn)題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法。它探討物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，即尋求物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，并對(duì)模型已確立的物理問(wèn)題研究其數(shù)學(xué)解法，然后根據(jù)解答來(lái)詮釋和預(yù)見(jiàn)物理現(xiàn)象，或者根據(jù)物理事實(shí)來(lái)修正原有模型。物理問(wèn)題的研究一直和數(shù)學(xué)密切相關(guān)。在工程科學(xué)中，處處需要精確地求解物理問(wèn)題，所以數(shù)學(xué)物理對(duì)于技術(shù)進(jìn)步也有非常重要的意義。

1 模型的建立[1-3]

1.1 問(wèn)題描述

一個(gè)氫原子核固定在偏離坐標(biāo)軸中心O的某位置，核外有一個(gè)電子受到其作用力，該電子在諧振子勢(shì)為中運(yùn)動(dòng)，研究該電子的運(yùn)動(dòng)情況。假定該氫原子的能量E是恒定的，即為定態(tài)。經(jīng)典力學(xué)中，在穩(wěn)定約束下，哈密頓量H就等于力學(xué)體系下的總能量E。其中分別為電子的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

2.2 模型描述

由諧振子模型可以得到：

對(duì)式（8）進(jìn)行四階龍格庫(kù)塔方法處理；已知：

由于式(9)為二元方程，而式（8）為五元方程組，所以需對(duì)式（9）進(jìn)行拓展變形。

則根據(jù)上面可以得到Z1,Z2,Z3,Z4：分別對(duì)應(yīng)四個(gè)K值，共16個(gè)K值；我們不妨設(shè)：

同理可以設(shè)其他K值。即：

這里i取1，2，3，4；分別代表Z1,Z2,Z3,Z4的下標(biāo)。

于是有：

其中i=1,2,3,4;j為迭代次數(shù)，j=0,1,2,......；

確定步長(zhǎng)為h，也就是分別對(duì)應(yīng)Zi(j)和Zi(j+1)，可以通過(guò)求得Zi(j)的值來(lái)求出Zi(j+1)，其中上面的i=1,2,3,4；i=0,1,2,3,4……。由龍格庫(kù)塔方程表達(dá)式可知：

3 諧振子勢(shì)阱下二維氫原子的運(yùn)動(dòng)[4-5]

分別取三組不同的初始值

（1）設(shè)置初始值，輸入程序中，得到數(shù)據(jù)，畫出軌跡圖如圖1。

圖1 E=1,60s軌跡圖

從圖1可以看出，電子在初始條件x0=1,y0=0,下運(yùn)動(dòng)60s，電子被限制在一定范圍(-0.75＜x＜1.25；-1.5＜y＜1.5)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，并且軌跡幾乎充滿了整個(gè)被限制區(qū)域。左右兩側(cè)邊緣形似雙曲線。

（2）設(shè)置初始值

圖2 E=1,700s軌跡圖

從圖2可以看出，電子在初始條件x0=0,y0=0,x0=下運(yùn)動(dòng)700s，電子幾乎在幾個(gè)方向上做來(lái)回直線擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

圖3 E=-0.25,700s的軌跡圖

從圖3可以看出，電子在初始條件x0=1,y0=0,下運(yùn)動(dòng)700s，電子被限制在一定范圍(0.2＜x＜1.1；-0.6＜y＜0.6)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且軌跡充滿了整個(gè)被限制區(qū)域。右側(cè)邊緣形似雙曲線。

4 結(jié)論

從軌跡圖可以看出，氫原子的運(yùn)動(dòng)被囚禁在諧振子勢(shì)阱中，不同能量值，運(yùn)動(dòng)軌跡不同。不同能量值氫原子的運(yùn)動(dòng)有不同特性，并且同一能量值下不同初始條件氫原子的運(yùn)動(dòng)也呈現(xiàn)不同特性。

[1]Boiteux M.The three-dimensional hydrogen atom as a restrictedfour-dimensionalharmonicOscillator[J].Physica,1973,65：381.

[2]Cornish F H J.The hydrogen atom and the fourdimensional harmonic oscillator[J].J Phys,1984,A17：323.

[3]HARONOVY,ANANDAN J.Phase change during a cyclic quantum[J].Phys Rev Lett,1987,58：1593.

[4]ONES J A,VEDRL V,EKERT A,et al.eometic quantum computation using nuclear magnetic resonance[J].Nature,2000, 403：869.

[5]BULGAC A.On the effective action for a nonadiabatic quatum process[J].Phys Rev,1988,A37：4084.

（責(zé)任編輯：朱彬）

Two-Dimensional Hydrogen Atoms Under Harmonic Oscillator Potential Trap

XU Ning
(School of Physics and Mechanical&Electrical Engineering,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

The Runge Kutta method has been used to solve the motion of two dimensional hydrogen atom under the harmonic oscillator potential trap,and the hydrogen atom trajectory and Poincare diagram has been gotten.We have drawn a conclusion：the motion of the hydrogen atoms with the different energy values have different characteristics,and the motion of the hydrogen atoms also show different characteristics with the same energy values and different initial conditions.

Fourth-order Runge-Kutta method;Harmonic oscillator potential trap;Two-dimensional hydrogen atoms

O411

A

1009-3583（2014）-0086-03

2014-07-15

許 寧，男，貴州遵義人，遵義師范學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院副教授。