映射觀下的組合問題

陳明

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

映射觀下的組合問題

陳明

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

排列組合是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中學(xué)生普遍感到困難的部分，作者用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言給出其中組合的解釋和說明.

組合；映射；等價(jià)關(guān)系；陪集；商集；分類

排列組合在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，是學(xué)生普遍感到困難的部分．究其原因，有以下三個(gè)方面：首先，內(nèi)容本身是教學(xué)難點(diǎn)；其次，在其定義及表述上難以理解；再次，解題思路及方法難以掌握．作者用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的集合、計(jì)數(shù)、分類、陪集、商集與映射的觀點(diǎn)及方法，對(duì)組合問題作了一些分析、歸納，試圖對(duì)組合概念作較高層次的解釋、說明，希望能對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)該部分內(nèi)容的教學(xué)有所幫助或提高．

文中所討論的集合均為有限集．為方便，記#A表示集合A的元素個(gè)數(shù)，Nn={1,2,…n}表示從1開始的n個(gè)自然數(shù)的集合，I(Nm,A)表示映集Nm到集A所有單射組成的集合．關(guān)于集合的映射計(jì)數(shù)法，可作如下定義

定義 若#A=n，當(dāng)且僅當(dāng)存在著一個(gè)雙射f:A→Nn．

普通高中數(shù)學(xué)教材中對(duì)組合概念的敘述：

從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．

如上敘述之關(guān)鍵，在于取出的m個(gè)元素不存在順序上的問題，并成一組即可．對(duì)此，我們?cè)O(shè)f∈(Nm, A)（其中#A=n），且f(Nm)=B，現(xiàn)如保持B而只改變其元間的順序，顯然，存在這樣的g∈(Nm,A)，且也有g(shù)(Nm)=B.這樣，我們給出如下的組合

定義I(Nm,A)中(#A=n)所有的以B為象的單射給出一個(gè)“從n事物中一次取m事物的組合”．

另外，若定義I(Nm,A)上的一個(gè)關(guān)系R，對(duì)于f,g∈I(Nm,A)，(m≤#A=n)，當(dāng)且僅當(dāng)f(Nm)=g(Nm)時(shí)，稱f與g有關(guān)系，表為f R g.顯然，關(guān)系R滿足自反性、對(duì)稱性與傳遞性，故關(guān)系R是集合I∈(Nm,A)中元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系．由近世代數(shù)知識(shí)（張禾瑞《近世代數(shù)基礎(chǔ)》28頁定理2）知此等價(jià)關(guān)系R決定了集合I(Nm,A)的一個(gè)分類，每一個(gè)類叫做I(Nm,A)的一個(gè)陪集，所有陪集作成的集叫做I(Nm,A)的商集，記為I(Nm,A)/R．而每個(gè)陪集的意義為“從A中取m個(gè)元的組合”．因而，商集I(Nm,A)/R中的每一元也就等價(jià)于“n個(gè)事物中取個(gè)m元的一個(gè)組合”．從而計(jì)算組合數(shù)就只需計(jì)算陪集的個(gè)數(shù)：#(I(Nm,A)/R)．

證明參見文獻(xiàn)[1]中定理1.

推論 在定理1中，當(dāng)n=m時(shí)，#(I(Nm,Nm)=

為了計(jì)算組合數(shù)，我們首先證明商集I(Nm,A)/R中所有陪集的元素個(gè)數(shù)均相等．

設(shè)f是I(Nm,A)/R中的任一元，因f是I(Nm,A)中的一個(gè)單射，這里設(shè)f(Nm)=B，顯然，#B=m，且所有以B為象的單射個(gè)數(shù)，就等于B中m元的亂排數(shù)．故由定理1的推論知所有以B為象的單射個(gè)數(shù)為m！.這樣，我們就推得f所在的陪集fR的元的個(gè)數(shù)為#f R=m!.又因f是任意的，所以商集I(Nm,A)/R中所有陪集元的個(gè)數(shù)均相等且為m!.

另外，由分類的定義可知I(Nm,A)由所有兩兩不交的陪集之并集所構(gòu)成，由前面知陪集的個(gè)數(shù)用表示．從而有

由定理1，有

這樣，我們得到了

定理2從n事物中取m事物的組合數(shù)為：

同樣，這與中學(xué)課本上的組合數(shù)公式也是完全一致的．

以上采用導(dǎo)入方式給出定理．反之，如給出定理讓其證明，那我們又可有如下的證法．

分析由定理2

因此，只需證明商集I(Nm,A)/R中，每一個(gè)陪集的元素個(gè)數(shù)都是m！即可．

證明當(dāng)m=0時(shí)，因故關(guān)于模R僅有的陪集是自身．于是

定理2成立．

若m＞0，由分析知，只需證每個(gè)陪集中單射的個(gè)數(shù)為m!即可．

為了證得#fR=m！，因#PermNm=m（!注：PermNm為Nm的全排列），故只需證#fR≈PermNm即可．為此，設(shè)法構(gòu)造一個(gè)從fR到PermNm的雙射.

∵PermNm是Nm→Nm

為了達(dá)到這一目的，我們固定一個(gè)元h∈fR，若g是可逆的，則有

由圖1的線圖可以看出：

圖1

（1）∵g∈I(Nm,A)，∴g∶Nm→X是一對(duì)一的；

（2）又∵Im(g)=X∴g是在上的．

由（1）、（2）可推出：g∶Nm→X是一雙射．

故g可逆，即g-1是存在的．從而上面定義的也就確實(shí)有效了．

圖2

故由定理1之推論，有

如前所述，這就證明了定理2．

至此，我們利用集合、映射、陪集、計(jì)數(shù)的觀點(diǎn)對(duì)組合進(jìn)行了解釋和說明．

關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)這一問題所采用的處理方式，主要是出于以下兩方面的原因，一是學(xué)生的年齡特點(diǎn)；二是學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)．本文用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語言加以闡述，其目的是想說明現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在這一部分內(nèi)容上的內(nèi)在聯(lián)系．

[1]陳明.映射觀下的排列問題[J].遵義師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,14 (6)：81-82.

[2]張奠宙,鄒一心.現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社,1990.

[3]陳明.排列組合之乘法原理探索[J].黔南民族師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2007,(6)：37-38.

[4]H B格里菲思,P U希爾頓.經(jīng)典數(shù)學(xué)綜合教材[M].陳應(yīng)樞,陳信傳譯.貴陽：貴州人民出版社,1986.

(責(zé)任編輯：朱 彬)

On the Combinatorial Problem from the perspective of Mapping View

CHEN Ming
(College of Mathematics and computing science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

Permutation and combination are what high school students feel very hard in the maths contents of high school,and the author of this paper expounds the combination by modern mathematical expressions.

combination;mapping;equivalent relation;coset;quotient set;classification

O157

A

1009-3583（2014）-0104-03

2014-05-13

陳 明，男，貴州遵義人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院副教授。