蜂窩夾層板撞擊極限方程預(yù)測能力的提升*

賈光輝，歐陽智江，蔣 輝

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

在空間碎片超高速碰撞問題的研究中，撞擊極限方程一直是最主要的研究內(nèi)容之一，也是航天器空間碎片撞擊風(fēng)險(xiǎn)評估失效判斷的依據(jù)[1]。獲取具有較高精度的撞擊極限方程，是航天器防護(hù)結(jié)構(gòu)安全性分析的重要保證，也是研究航天器遭受空間碎片超高速撞擊后的損傷概率、進(jìn)行航天器防護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化的重要基礎(chǔ)[2]。蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)、比強(qiáng)度高、比剛度高、抗震、隔熱、隔音等性能優(yōu)點(diǎn)，在衛(wèi)星板式結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用可占80%～90%，對衛(wèi)星具有重要的作用[3]。

當(dāng)前描述撞擊極限方程的指標(biāo)主要有兩類：一類以預(yù)測概率為基礎(chǔ)，如總體預(yù)測正確率和安全預(yù)測正確率；另一類則以預(yù)測錯(cuò)誤的實(shí)驗(yàn)直徑與方程預(yù)測直徑之間的偏差為基礎(chǔ)，如絕對預(yù)測誤差、相對預(yù)測誤差。撞擊極限方程的誤差對風(fēng)險(xiǎn)評估結(jié)果有很大影響[4-5]。為此，本文中，將對撞擊極限方程的預(yù)測指標(biāo)分別闡述，分析蜂窩夾層板撞擊極限方程的各預(yù)測指標(biāo)在方程系數(shù)空間的變化特征，以期為方程預(yù)測指標(biāo)的提升提供參考。

1 蜂窩夾層板撞擊極限方程及預(yù)測指標(biāo)

1.1 蜂窩夾層板撞擊極限方程簡介

蜂窩夾層板的撞擊極限方程初始主要通過修正Whipple結(jié)構(gòu)的撞擊極限方程獲得[6]，如Christiansen撞擊極限方程，在1992年以后就被頻繁用于蜂窩夾層板碎片撞擊的風(fēng)險(xiǎn)評估[7]。該方程由3個(gè)速度段函數(shù)組成，分別為彈道段、超高速段和由彈道段和超高速段線性插值得到的中速段(3 km/s

(1)

(2)

式中：dc為撞擊極限方程的預(yù)測直徑，vn為彈丸沿靶板法向的速度分量，v為速度，θ為撞擊角度，tb為前板厚度，tw為后板厚度，ρb為前板密度，ρp為彈丸密度，σ為面板屈服應(yīng)力，S為前后面板間距。

蜂窩夾層板的前后面板有鋁合金材料和碳纖維復(fù)合材料(CFRP)兩種類型，對CFRP面板，式(1)～(2)中tb和tw均采用等面密度的鋁板厚度計(jì)算，即：tb=tb,CFRPρCFRP/ρAl，tw=tw,CFRPρCFRP/ρAl。

1.2 撞擊極限方程預(yù)測指標(biāo)簡介

1.2.1預(yù)測概率型指標(biāo)

針對某類結(jié)構(gòu)開展空間碎片的地面物理撞擊實(shí)驗(yàn)時(shí)，可將總物理撞擊實(shí)驗(yàn)個(gè)數(shù)記為M，物理實(shí)驗(yàn)中包含且僅包含被撞擊結(jié)構(gòu)的未失效和失效兩類情況。將未失效實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)記為Mnf，失效實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)記為Mf，則有M=Mnf+Mf。

(3)

(4)

顯然，Pt和Ps同時(shí)與未失效和失效數(shù)據(jù)相關(guān)，具有全局性特點(diǎn)，可統(tǒng)稱為綜合預(yù)測指標(biāo)。

1.2.2預(yù)測誤差型指標(biāo)

針對預(yù)測錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差描述，可進(jìn)一步判別方程的預(yù)測能力和預(yù)測精度。

絕對誤差型指標(biāo)為：

(5)

式中：S2代表絕對誤差平方和，ki代表方程預(yù)測第i個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的精確性(當(dāng)方程正確預(yù)測實(shí)驗(yàn)結(jié)果時(shí)ki取0，反之則取1)，di代表物理實(shí)驗(yàn)給出的彈丸直徑，dci為方程預(yù)測所獲得的臨界彈丸直徑。絕對誤差平方和S2是關(guān)于總體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值，其平方根即代表了絕對誤差的大小。在預(yù)測率相同的前提下，若絕對誤差越小，則撞擊極限方程的預(yù)測精度就會(huì)越高。

相對誤差型指標(biāo)為：

(6)

相對誤差平方和f2是關(guān)于總體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)平均值，其平方根即代表了相對誤差的大小。在預(yù)測率相同的前提下，若相對誤差越小，撞擊極限方程的預(yù)測精度也就越高。

2 預(yù)測指標(biāo)在方程系數(shù)空間的分布

為便于分析，共調(diào)研獲得131個(gè)采用CFRP面板的蜂窩夾層板撞擊實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中有文獻(xiàn)[8]的55個(gè)數(shù)據(jù)、文獻(xiàn)[9]的3個(gè)數(shù)據(jù)、文獻(xiàn)[10]的35個(gè)數(shù)據(jù)、文獻(xiàn)[11]的38個(gè)數(shù)據(jù)。

由文獻(xiàn)[12]可知，添加系數(shù)是提出新方程的一個(gè)簡單思路。因此，分別在方程彈道段(式(1))和超高速段(式(2))等號右邊乘以一個(gè)整體系數(shù)，并將該系數(shù)(包含低系數(shù)λ1和高系數(shù)λ2)作為參數(shù)，相對于原方程(式(1)和式(2)，其系數(shù)均為1)設(shè)定新方程的系數(shù)變化范圍為±100%(即為0～2，精度取0.001)，則基于調(diào)研得到的131個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對系數(shù)采用窮舉法自編程序，可計(jì)算預(yù)測指標(biāo)在參數(shù)空間的量化結(jié)果。

圖1為預(yù)測概率型指標(biāo)在系數(shù)空間的等值線。指標(biāo)Pt在系數(shù)空間的等值線分布以“同心”分層現(xiàn)象為主，系數(shù)太大或太小對應(yīng)的Pt都比較小，當(dāng)正確率大于80%時(shí)，系數(shù)區(qū)間相對比較離散；而指標(biāo)Ps在系數(shù)空間的等值線分布呈現(xiàn)“線性”分層特性，無明顯的中心，其左下角區(qū)域的安全預(yù)測正確率可達(dá)100%，即系數(shù)越大Ps越小。

圖2為預(yù)測誤差型指標(biāo)在系數(shù)空間的等值線。指標(biāo)S2和f2在系數(shù)空間的等值線的“同心”分層現(xiàn)象都很明顯，且等值線比指標(biāo)Pt和Ps更光滑，小誤差區(qū)域都集中在中下部，即系數(shù)太大或太小對應(yīng)的誤差都比較大。

圖1 預(yù)測概率型指標(biāo)等值線Fig.1 Contours of the predicted probability indicators

圖2 預(yù)測誤差型指標(biāo)等值線Fig.2 Contours of the prediction error indicators

3 方程預(yù)測能力的提升

3.1 提升途徑的分析

上述兩類預(yù)測指標(biāo)，分別描述了撞擊極限方程對物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的正誤個(gè)數(shù)的預(yù)測結(jié)果以及錯(cuò)誤預(yù)測時(shí)方程預(yù)測的臨界直徑與對應(yīng)實(shí)驗(yàn)直徑的偏差情況。若將預(yù)測概率型指標(biāo)作為首要指標(biāo)、預(yù)測誤差型指標(biāo)作為次要指標(biāo)，可以在得到較高預(yù)測正確率的前提下，獲得預(yù)測誤差相對較小的撞擊極限方程。而若將預(yù)測誤差型指標(biāo)作為主要指標(biāo)、預(yù)測概率型指標(biāo)作為次要指標(biāo)，則獲得的結(jié)果預(yù)測誤差較小，但預(yù)測正確率可能較低。

預(yù)測概率型指標(biāo)有2個(gè)，即Pt和Ps；預(yù)測誤差型指標(biāo)也有2個(gè)，即S2和f2。因此，可反映方程整體預(yù)測情況的指標(biāo)有Pt、Ps、S2和f2。由預(yù)測指標(biāo)在方程系數(shù)空間的變化特征分析可知，Pt或Ps的最高值可能不止一個(gè)，而S2和f2的最小值唯一。綜合起來，預(yù)測概率型和預(yù)測誤差型指標(biāo)的排列組合、可能的預(yù)測指標(biāo)體系序列見表1。

根據(jù)表1中的三級預(yù)測指標(biāo)體系，撞擊極限方程建模尋優(yōu)時(shí)應(yīng)首先尋求一級指標(biāo)最優(yōu)的解集，然后在該集合中尋找二級指標(biāo)最優(yōu)的子集，最后在子集中尋求三級指標(biāo)最優(yōu)的解，作為撞擊極限方程最終的建模結(jié)果。

表1 預(yù)測指標(biāo)體系列表Table 1 List of predictor systems

3.2 提升方法的應(yīng)用

采用窮舉法獲得的蜂窩夾層板撞擊極限方程預(yù)測指標(biāo)在其方程系數(shù)空間的變化特征，分別采用表1中的6個(gè)預(yù)測指標(biāo)體系進(jìn)行逐級尋優(yōu)，可以對三級預(yù)測指標(biāo)體系在方程待定參數(shù)求解方面的應(yīng)用進(jìn)行分析。

采用預(yù)測指標(biāo)體系1和2進(jìn)行分析，各指標(biāo)在系數(shù)空間的等值線取較優(yōu)值的局部放大圖，如圖3所示。由一級指標(biāo)，最大Pt應(yīng)在預(yù)測率為84%以內(nèi)區(qū)域內(nèi)；由二級指標(biāo)，靠近左下角的Ps較高。則以一級指標(biāo)為主、二級指標(biāo)為次的最優(yōu)解應(yīng)在Pt為84%的下面區(qū)域內(nèi)。由三級指標(biāo)，越靠近S2=0.02(體系1)或者f2=1(體系2)區(qū)域中心點(diǎn)，預(yù)測誤差會(huì)越小。經(jīng)編程、得到最優(yōu)結(jié)果為圖3中的五角星點(diǎn)。

圖3 預(yù)測指標(biāo)體系1和2Fig.3 Predictor system 1 and 2

圖4 預(yù)測指標(biāo)體系3和4Fig.4 Predictor system 3 and 4

圖5 預(yù)測指標(biāo)體系5和6Fig.5 Predictor system 5 and 6

圖4為預(yù)測指標(biāo)體系3和4各指標(biāo)在系數(shù)空間的等值線取較優(yōu)值的局部放大圖。由一級指標(biāo)，最大Ps應(yīng)在預(yù)測率為99.9%以上的左下角區(qū)域；由二級指標(biāo)，靠近中下部分的Pt較高。則以一級指標(biāo)為主、第二級指標(biāo)為次的最優(yōu)解應(yīng)在Ps為99.9%以上的靠近中間的區(qū)域。由三級指標(biāo)，靠近S2=0.02(體系3)或者f2=1(體系4)時(shí)，預(yù)測誤差比較小，圖4中的五角星點(diǎn)為最終的最優(yōu)結(jié)果。

圖5為預(yù)測指標(biāo)體系5和6各指標(biāo)在系數(shù)空間的等值線取較優(yōu)值的局部放大圖。由于預(yù)測指標(biāo)體系5和6各只有一個(gè)指標(biāo)，因此最優(yōu)結(jié)果應(yīng)在S2=0.02(體系5)或者f2=1(體系6)的中心位置，即圖5中的五角星點(diǎn)。

3.3 提升結(jié)果的對比

通過計(jì)算，最終方程優(yōu)化前與采用不同預(yù)測指標(biāo)體系優(yōu)化后的對比結(jié)果見表2。

由表2可見，采用不同預(yù)測指標(biāo)體系對蜂窩夾層板撞擊極限方程進(jìn)行優(yōu)化后，Pt和Ps全部提高，說明優(yōu)化過程是從全局的角度提高方程的預(yù)測正確率；S2和f2都減小了，說明優(yōu)化過程趨于提升全局預(yù)測精度。

表2 方程優(yōu)化前后對比Table 2 Comparison of the equations before and after optimization

在本文所采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[8-11]范圍內(nèi)，預(yù)測指標(biāo)體系1和2優(yōu)化得到的結(jié)果一致，說明預(yù)測概率型指標(biāo)作為首要指標(biāo)、預(yù)測誤差型指標(biāo)作為次要指標(biāo)時(shí)，預(yù)測概率型指標(biāo)對優(yōu)化結(jié)果起主導(dǎo)作用，預(yù)測誤差型指標(biāo)對結(jié)果沒有影響(預(yù)測指標(biāo)體系3和4具有類似結(jié)論)。預(yù)測指標(biāo)體系5和6優(yōu)化得到的結(jié)果有所不同，預(yù)測誤差的類型對優(yōu)化結(jié)果有一定影響(系數(shù)、預(yù)測概率型指標(biāo)以及預(yù)測誤差型指標(biāo)相差都在10%以內(nèi))。

從全局的角度出發(fā)，對比預(yù)測指標(biāo)體系1～6的優(yōu)化結(jié)果發(fā)現(xiàn)，體系1和2比體系3和4的Pt高12%而Ps低5%，S2和f2也都比較小，說明兩類指標(biāo)體系各有側(cè)重點(diǎn)，體系1和2的優(yōu)化結(jié)果適用于防護(hù)結(jié)構(gòu)的工程預(yù)測，而體系3和4則可應(yīng)用于防護(hù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)過程。體系5和6的優(yōu)化結(jié)果相差不大，比體系1和2的Pt和Ps略低，說明在對方程精度要求不大的情況下，可以采用預(yù)測指標(biāo)體系5或6對方程進(jìn)行快速優(yōu)化。

從表2中系數(shù)的優(yōu)化結(jié)果發(fā)現(xiàn)，體系3和4相對比較獨(dú)立，這是因?yàn)轶w系3和4中首先追求的是Ps的最高值，也就是對單邊的失效數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果更重視；而體系1和2與5(或6)相對比較接近，這是由于主要關(guān)注的都是方程對全局?jǐn)?shù)據(jù)的預(yù)測情況。理論上，Pt越高，S2和f2會(huì)越小，然而物理實(shí)驗(yàn)具有一定的隨機(jī)性，總是存在個(gè)別的不可靠數(shù)據(jù)點(diǎn)，因此體系1和2與5(或6)往往不會(huì)在同一個(gè)點(diǎn)。由蜂窩夾層板撞擊極限方程的特性可知，彈丸的撞擊速度不同，其臨界直徑的變化也很大，導(dǎo)致S2和f2的最低點(diǎn)位置一般不會(huì)重合，也就說明體系5和6的優(yōu)化結(jié)果一般不一樣。

通過以上的對比說明，基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在彈道段和超高速段分別添加系數(shù)，并根據(jù)需求的差異采用不同的預(yù)測指標(biāo)體系全局綜合優(yōu)選，可以有針對性地提高撞擊極限方程相應(yīng)的預(yù)測能力。

4 結(jié) 論

通過分析蜂窩夾層板撞擊極限方程的預(yù)測指標(biāo)在其方程系數(shù)空間的表現(xiàn)特征，并采用不同預(yù)測指標(biāo)體系提升方程的預(yù)測能力，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

(1)撞擊極限方程的預(yù)測能力可采用預(yù)測概率型指標(biāo)和預(yù)測誤差型指標(biāo)進(jìn)行對比分析。

(2)基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將蜂窩夾層板撞擊極限方程參數(shù)化，并采用圖示方法描述預(yù)測指標(biāo)在方程系數(shù)空間的等值線，有助于更加直觀地分析預(yù)測指標(biāo)的特性。

(3)預(yù)測概率型指標(biāo)能夠精確進(jìn)行方程的優(yōu)化，而預(yù)測誤差型指標(biāo)可用于快速優(yōu)化方程。

(4)在注重航天器在軌防護(hù)特性的情況下，總體預(yù)測正確率應(yīng)作為一級預(yù)測指標(biāo)；而在注重設(shè)計(jì)安全性的前提下，安全預(yù)測正確率可提升為一級指標(biāo)。

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