基于多體系統(tǒng)理論的精密檢測平臺空間誤差建模與補償

張東旭，楊平，楊峰，王詹帥，謝銀輝，郭隱彪

(廈門大學(xué) 機電工程系，福建 廈門361005)

0 引言

大口徑高精度光學(xué)元件，特別是非球面元件，已經(jīng)廣泛用于航空航天、天文及慣性約束聚變(ICF)的巨型激光裝置，與此同時，對光學(xué)元件的面形精度和表面粗糙度等都提出了很高的要求［1-3］。在制造過程中，為了達到各項技術(shù)參數(shù)的要求，必須經(jīng)過反復(fù)檢測、反饋面形精度，從而指導(dǎo)修正和補償加工過程。

目前在大口徑高精度光學(xué)元件檢測領(lǐng)域，尤其在粗磨、精磨成形階段，三坐標檢測平臺應(yīng)用廣泛并發(fā)揮著重要作用。為了使檢測結(jié)果能夠準確地指導(dǎo)補償加工，對檢測平臺自身的空間誤差提出了更高要求，很多學(xué)者對誤差建模進行了深入研究。粟時平［4］運用多體系統(tǒng)運動學(xué)理論建立了數(shù)控機床的綜合空間誤差數(shù)學(xué)模型，具有一定的通用性;李巖等［5］在對三軸轉(zhuǎn)臺的各方面誤差因素分析的基礎(chǔ)上，對其幾何誤差進行建模，探討了誤差的運動規(guī)律;劉延斌等［6］在多體系統(tǒng)理論基礎(chǔ)上，提出了桿、副坐標變換矩陣和桿、副誤差變換矩陣的概念及描述方法，為誤差建模提供了方便;洪振宇等［7］提出一種基于球桿儀檢測信息的運動學(xué)標定方法，側(cè)重研究了其中三自由度并聯(lián)機構(gòu)的誤差建模和參數(shù)辨識問題，取得較好效果;賀甲等［8］應(yīng)用休斯敦方法對四自由度機械手建立了誤差模型，并分析了機械手的各項誤差源。對比各種誤差建模方法，多體系統(tǒng)理論得到了成功應(yīng)用，在該方面有著獨特的理論優(yōu)勢。但是，目前研究主要集中在數(shù)控機床和機械手的誤差建模領(lǐng)域，對精密檢測平臺的研究較少，雖然對檢測平臺空間誤差建模有一定的借鑒和指導(dǎo)意義，但是檢測平臺畢竟有著與數(shù)控機床和機械手不同的特點和要求。另外，文獻中對如何測量得到各項幾何誤差值和空間誤差值的研究較少，不易于直接進行工程借鑒。

本文基于多體系統(tǒng)理論，結(jié)合大口徑光學(xué)元件精密檢測平臺的特點，對其空間誤差進行建模，并提出了各項幾何誤差的測量方案以及空間誤差的測量方法，誤差補償實驗證明所提模型的有效性。

1 空間誤差模型建立

大口徑光學(xué)元件精密檢測平臺主要由檢測系統(tǒng)、傳動系統(tǒng)、工作臺和控制系統(tǒng)等組成。如圖1 所示，傳動系統(tǒng)由X 軸、Y 軸、Z 軸組成，由直線電機驅(qū)動，其中X 軸、Y 軸最大行程均為400 mm，Z 軸最大行程150 mm. 檢測過程中，通過控制系統(tǒng)控制各軸聯(lián)動以完成規(guī)劃的檢測軌跡，本文主要對三軸聯(lián)動運行時空間定位精度進行研究。

1.1 多體系統(tǒng)理論誤差建?；驹?/h3>

1.1.1 拓撲結(jié)構(gòu)及其低序體陣列描述

圖1 大口徑光學(xué)元件精密檢測平臺Fig.1 Precision measuring platform for large-size optical elements

基于多體系統(tǒng)理論的誤差建模方法，將精密檢測平臺看作是多體系統(tǒng)［9］，用拓撲結(jié)構(gòu)對該多體系統(tǒng)進行高度概括和提煉。目前常用的描述多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)的方法有2 種:1)基于圖論的描述方法;2)用低序體陣列進行描述的方法［4］。本文采用后者。

如圖2 所示多體系統(tǒng)。

圖2 多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)Fig.2 Topological structures based on multi-system theory

圖2中慣性參考系OXYZ 為B0體，選取一個體為B1體，然后沿遠離B1體方向按照自然數(shù)增長序列，從一個分支到另一個分支依次進行編號。用來描述多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)的低序體陣列可通過(1)式［10］表示:

式中:L 為低序體算子;k，j 為體的代號，并稱Bk體為Bj體的n 階高序體。其滿足

根據(jù)上述定義，可以計算出圖2 多體系統(tǒng)的各階低序體陣列，進而可以將多體系統(tǒng)的任何一個體通過低序體序列追溯到慣性參考系中。

1.1.2 運動變換矩陣

多體系統(tǒng)中各體之間存在相對靜止和相對運動2 種狀態(tài)，考慮精密檢測平臺實際工作特點，文中重點討論平動和轉(zhuǎn)動2 種基本運動形式。

任意平動可以分解為沿X 軸、Y 軸、Z 軸的基本平移運動，Bk體固連坐標系Okxkykzk可以由Bj體固連坐標系Ojxjyjzj沿矢量P =xkj+ykj+zkj平動得到，則Okxkykzk至Ojxjyjzj的變換矩陣為

Bk體相對于其相鄰低序Bl體的理想轉(zhuǎn)動等價于Bk體固連坐標系Okxkykzk相對于Bl體固連坐標系Olxlylzl的轉(zhuǎn)動。任何復(fù)雜的轉(zhuǎn)動都可以分解成繞X 軸、Y 軸、Z 軸的轉(zhuǎn)動。此處以坐標系Okxkykzk繞坐標系Olxlylzl的x 軸轉(zhuǎn)動為例，其坐標變換矩陣為

式中:α 為坐標系Okxkykzk相對于坐標系Olxlylzl的歐拉角。

當相鄰體之間既有平動又有轉(zhuǎn)動時，用合成運動特征矩陣表示如下:

式中:α、β、γ 分別為繞X 軸、Y 軸、Z 軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角;Tij為體間理想運動特征矩陣;Tij(R)稱為體間旋轉(zhuǎn)運動矩陣;Tij(M)為體間平動運動矩陣。

(5)式為理想情況下得到的，但對于實際工作中的檢測平臺，當檢測系統(tǒng)隨X 軸、Z 軸運動時，待測光學(xué)元件隨著Y 軸運動時，由于受到溫度、濕度、氣壓、電器系統(tǒng)發(fā)熱、振動等因素的影響，會使檢測系統(tǒng)在3 個軸方向發(fā)生移動和微小的轉(zhuǎn)動誤差，從而導(dǎo)致實際的檢測軌跡與理想的發(fā)生偏差。

由于任意2 個物體之間存在6 個自由度，所以每個運動軸上都存在有6 個誤差，以X 軸為例進行說明，如圖3 所示。其中Δxij、Δyij、Δzij為X 軸沿X 軸、Y 軸、Z 軸的平動誤差，Δαij、Δβij、Δγij為X 軸繞X 軸、Y 軸、Z 軸的轉(zhuǎn)動誤差。

圖3 以X 軸為例的平動和轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的6 項基本誤差Fig.3 Six intrinsic error resulting from translation and rotation along X axis

根據(jù)以上分析，可以得到運動誤差特征矩陣為

式中:ΔTij(R)為體間旋轉(zhuǎn)誤差運動矩陣;ΔTij(M)為體間平動誤差運動矩陣。

相鄰體間的實際運動過程雖然是理想運動和誤差運動同時進行的，但在分析時，可以看成是先進行理想運動，再進行誤差運動，因此，多體系統(tǒng)間的體間實際特征矩陣為

1.2 檢測平臺系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)及坐標系的建立

精密檢測平臺由3 個運動軸組成，如圖4 所示為其結(jié)構(gòu)示意圖，拓撲結(jié)構(gòu)及廣義坐標系的建立如圖5 所示。圖4 與圖5 中用于標記體的自然數(shù)序號為相互對應(yīng)，其自由度碼如表1 所示，其中:0 為不能自由運動;1 為能自由運動。

圖4 精密檢測平臺運動機構(gòu)原理圖Fig.4 Schematic diagram of movement mechanism in precision measuring platform

圖5 拓撲結(jié)構(gòu)及廣義坐標Fig.5 Topological structures and generalized coordinates

表1 自由度碼Tab.1 Code of degrees of freedom

1.3 檢測平臺實際運動誤差建模

1.3.1 典型體0 與典型體1 之間運動特征矩陣

如圖4 所示，典型體0 為檢測平臺本體，典型體1為沿Y 軸方向運動工作臺。根據(jù)(5)式，可以得到相鄰典型體0 和典型體1 之間的體間理想運動特征矩陣為

但是，在檢測平臺工作過程中，Y 軸不可避免地產(chǎn)生6 個自由度的誤差，根據(jù)(7)式可以得到實際運動特征矩陣為

為了更好地表征檢測平臺實際工作中的各項自由度誤差，用δY(Y)為Y 軸定位誤差，δX(Y)、δZ(Y)分別為Y 軸沿X 軸、Z 軸方向的直線度誤差，εX(Y)、εY(Y)和εZ(Y)分別為Y 軸沿X 軸、Y 軸、Z 軸方向的轉(zhuǎn)角誤差。

1.3.2 典型體1 與典型體2 之間運動特征矩陣

如圖4 所示，典型體2 為沿X 軸方向運動滑塊。根據(jù)(5)式，可以得到相鄰體1 和體2 之間的體間理想運動特征矩陣為

同理，在檢測平臺工作過程中，X 軸不可避免地產(chǎn)生6 個自由度的誤差，且其行程為400 mm，與Y軸之間的垂直度誤差εYX也會對運動精度產(chǎn)生較大影響，根據(jù)(7)式可以得到實際運動特征矩陣為

1.3.3 典型體2 與典型體3 之間運動特征矩陣

如圖4 所示，典型體3 為沿Z 軸方向運動測量系統(tǒng)。根據(jù)(5)式，可以得到相鄰體2 和體3 之間的體間理想運動特征矩陣為

同理，在檢測平臺工作過程中，Z 軸不可避免地產(chǎn)生6 個自由度的誤差，且其行程為150 mm，與X 軸、Y 軸之間的垂直度誤差εXZ、εYZ也會對運動精度產(chǎn)生較大影響，根據(jù)(7)式可以得到實際運動特征矩陣為

1.4 檢測平臺空間誤差建模

檢測平臺的實際工作特點為:測量系統(tǒng)安裝在Z 軸上，可以進行X 軸、Z 軸方向的運動，待測光學(xué)元件安放在工作臺上，可以進行Y 軸方向的運動，通過測量系統(tǒng)和工作臺的配合運動，進而按照規(guī)劃的測量軌跡完成對待測光學(xué)元件的測量。

根據(jù)其工作特點，設(shè)測量系統(tǒng)在體3 坐標系3中初始位置矢量為

經(jīng)過體2、體3 運動后，其在0 體中的實際運動方程為

同時，設(shè)待測光學(xué)元件各待測軌跡點在體1 坐標系1 中的初始位置矢量為

經(jīng)過體1 運動后，其在體0 中的實際運動方程為

因此，大口徑光學(xué)元件精密檢測平臺空間誤差模型為

2 實驗

2.1 各自由度誤差的測量及辨識

準確測量上述空間誤差模型中的各自由度誤差是應(yīng)用該模型進行檢測平臺空間誤差補償?shù)那疤崤c基礎(chǔ)。本文綜合應(yīng)用雷尼紹激光干涉儀、球桿儀和基恩士激光位移傳感器等儀器設(shè)備對涉及到的各項自由度誤差進行了有效測量。

2.1.1 各軸定位誤差的測量

采用雷尼紹XC-80 激光干涉儀及其光學(xué)組件，對各軸定位誤差進行3 次測量取平均值為最終誤差值，如圖6 所示。由于篇幅所限，僅以Y 軸測量為例，其他軸測量同理。測量結(jié)果如圖7 所示，X 軸在滿行程內(nèi)定位誤差為-38.2 ～1.6 μm，Y 軸在滿行程內(nèi)定位誤差為0.8 ～69.9 μm，Z 軸在滿行程內(nèi)定位誤差為-64.5 ～-1.1 μm.

圖6 定位誤差測量Fig.6 Measurement of positioning error

圖7 各軸定位誤差測量結(jié)果Fig.7 Measurement results of positioning errors

2.1.2 各軸直線度誤差的測量

根據(jù)精密檢測平臺的工作特點，由于測量系統(tǒng)安裝在Z 軸上，待測光學(xué)元件的輪廓由Z 軸的起伏來分辨，所以在直線度誤差的測量中，重點研究X 軸、Y 軸沿Z 軸方向的直線度誤差。

本文直線度誤差的測量以泰勒霍普森提供的平面度0.1 μm 標準平面為基準，采用基恩士LKG10激光位移傳感器，如圖8 所示。同理以X 軸測量為例，測量出基準平面在行程內(nèi)各點的坐標值，仍然進行3 次測量取平均值為最終值。測量完成后，以最小二乘法擬合各點，以擬合曲線上點的坐標為基準，減去對應(yīng)點測量所得坐標，以其差值作為該軸直線度誤差。測量結(jié)果如圖9 所示，X 軸在滿行程內(nèi)直線度誤差為-1.23 ～2.85 μm，Y 軸在滿行程內(nèi)直線度誤差為0.51 ～0.93 μm.

圖8 直線度誤差測量Fig.8 Measurement of straightness error

圖9 各軸直線度誤差測量結(jié)果Fig.9 Measurement results of straightness errors

2.1.3 軸間垂直度誤差的測量

根據(jù)精密檢測平臺檢測系統(tǒng)安裝在Z 軸上和待測光學(xué)元件放置在Y 軸上的結(jié)構(gòu)特點，由于測頭自身對光路或位移反饋的需要，已對其與光學(xué)元件表面的位置關(guān)系有著嚴格的要求，所以在垂直度誤差測量中，重點研究X 軸、Y 軸間和Z 軸、X 軸間的垂直度誤差。

本文采用雷尼紹QC10 球桿儀，在直徑300 mm范圍內(nèi)測得二軸間的垂直度誤差，如圖10 所示，同理以X 軸、Y 軸間測量為例。測量結(jié)果:X 軸、Y 軸間垂直度誤差為0.22 μm/mm;Z 軸、X 軸間垂直度誤差為0.18 μm/mm.

圖10 垂直度誤差測量Fig.10 Measurement of verticality error

2.1.4 各軸旋轉(zhuǎn)誤差的測量

根據(jù)精密檢測平臺的結(jié)構(gòu)特點，在旋轉(zhuǎn)誤差中，本文重點研究各軸沿其他二軸方向的旋轉(zhuǎn)誤差，即各軸的俯仰及偏擺誤差。

本文采用雷尼紹XC-80 激光干涉儀及其光學(xué)組件，對各軸俯仰及偏擺誤差進行3 次測量取平均值為最終誤差值，如圖11 所示。由于篇幅所限，僅以Y 軸測量為例，其他軸測量同理。測量結(jié)果如圖12 所示。X 軸在滿行程內(nèi)俯仰誤差為-0.086 ～0.16 μm/mm，偏擺誤差為-0.2 ～0.033 μm/mm，Y 軸在滿行程內(nèi)俯仰誤差為-0.012 ～0.013 μm/mm，偏擺誤差為-0.5 ～0.044 μm/mm，Z 軸在滿行程內(nèi)俯仰誤差為- 0.026 ～0.07 μm/mm，偏擺誤差為-0.035 ～0.06 μm/mm.

2.2 空間誤差計算方法

為了定量描述和研究精密檢測平臺的空間誤差，基于激光干涉儀和球桿儀，本文提出一種空間誤差計算方法，其原理如圖13 所示。利用球桿儀測量出X 軸、Y 軸二軸聯(lián)動誤差，即計算出A 點在該平面內(nèi)的定位誤差;然后，利用Z 軸、X 軸二軸垂直度誤差和Z 軸定位誤差等誤差值計算出當上述平面上升距離時，A 點在Z 軸、X 軸方向的誤差;最后，利用上述2 個誤差即可求出A 點的空間誤差A(yù)A1.

2.3 空間誤差補償結(jié)果

將各自由度誤差應(yīng)用上述模型進行計算，并利用本文所提空間誤差計算方法計算補償前后的空間誤差值。其中，X 軸、Y 軸聯(lián)動誤差測量及補償結(jié)果如圖14 所示(為體現(xiàn)誤差，將測量半徑縮小150 倍)。聯(lián)動誤差補償前為-27.23 ～22.11 μm，補償后為-3.9 ～5.6 μm. Z 軸運動誤差補償結(jié)果如圖15 所示，其誤差補償后為-1.6 ～1.5 μm. 由此得到空間誤差值由- 70.01 ～22.14 μm 降至- 4.22 ～5.80 μm.

圖11 旋轉(zhuǎn)誤差測量Fig.11 Measurement of rotation error

圖12 各軸旋轉(zhuǎn)誤差測量結(jié)果Fig.12 Measurement results of rotation errors

圖13 空間誤差計算方法示意圖Fig.13 Schematic diagram of calculation method of volumetric error

圖14 X 軸和Y 軸聯(lián)動誤差測量及補償結(jié)果Fig.14 Measured and compensation results of linkage error of X and Y axes

圖15 Z 軸運動誤差補償結(jié)果Fig.15 Compensation results of Z axis motion error

3 結(jié)論

1)對大口徑光學(xué)元件精密檢測平臺的空間誤差建模進行了深入研究，在分析影響其空間誤差的各類幾何誤差因素基礎(chǔ)上，運用多體系統(tǒng)理論，用低序體陣列描述多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)，建立一種空間誤差數(shù)學(xué)模型。

2)提出大口徑光學(xué)元件精密檢測平臺各類幾何誤差的測量方案和空間誤差的測量方法，并應(yīng)用激光干涉儀、球桿儀和激光位移傳感器等儀器設(shè)備，進行了具體的測量實驗。

3)誤差補償實驗證明本文建立的空間誤差模型正確有效，將空間誤差從補償前-70.01 ～22.14 μm 降低到補償后-4.22 ～5.8 μm，有效提高了精密檢測平臺的測量精度。

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