淺海聲場對不確定環(huán)境參數(shù)的靈敏度分析方法

程廣利，胡金華，張明敏

(海軍工程大學 水聲工程系，湖北 武漢430033)

0 引言

每個輸入?yún)?shù)對輸出量的相對重要性分析稱之為靈敏度分析［1］，靈敏度分析可定量或定性地評價輸入?yún)?shù)不確定性對系統(tǒng)輸出的影響，繼而可忽略那些靈敏度較低的參數(shù)對系統(tǒng)輸出的影響，據(jù)此簡化系統(tǒng)模型。

靈敏度分析通常分為局部靈敏度分析和全局靈敏度分析［2］。局部靈敏度分析只能檢驗單參數(shù)的變化對模型結(jié)果的影響程度，其他參數(shù)取中心值，主要方法有因子變化法和偏差變化法［3-4］，優(yōu)點在于簡單、易求，缺點是只考慮一個參數(shù)的變化量，計算效率不高，且忽略了輸入?yún)?shù)間的相互作用對系統(tǒng)輸出的影響等。全局靈敏度分析可檢驗多個參數(shù)的變化對系統(tǒng)輸出產(chǎn)生的總的影響，并分析每一個參數(shù)及參數(shù)之間的相互作用對模型結(jié)果的影響。全局靈敏度分析可分為定性全局靈敏度分析和定量全局靈敏度分析。定性全局靈敏度分析只能定性地分析模型各參數(shù)的不確定性對模型結(jié)果影響的相對大小，定量全局靈敏度分析則定量地給出每個參數(shù)不確定性對系統(tǒng)輸出的貢獻率。

我國近海大都為淺海，淺海受多種因素的影響，環(huán)境參數(shù)不確定性強，對聲傳播影響較大，不同的環(huán)境參數(shù)對聲波在淺海中傳播的影響程度也各不同，可以忽略對聲傳播影響較小的環(huán)境參數(shù)。因此，如何定性或定量地表征環(huán)境參數(shù)對聲傳播的影響很有意義，但實用的量化方法研究相對較少。目前，用于水聲場分析靈敏度的方法主要有Monte Carlo(MC)法［1，5-7］和 空 間 聲 場 位 移 法［8-11］?；?于MC 法，Sweet［1］計算由多個不確定參數(shù)導致的聲場，對其進行數(shù)值統(tǒng)計，用上邊界方差和下邊界方差進行靈敏度分析，其中上邊界方差更常用;但該方法沒能考慮變量間的交互影響，屬于局部靈敏度分析。Kessel［5］在特定的海洋環(huán)境變化下，基于聲壓幅度的相對變化定義了靈敏度概念，在聲場空間內(nèi)做平均獲得穩(wěn)定的典型值，并從物理上解釋了靈敏度的含義，屬于局部靈敏度分析法中的因子變化法;該方法優(yōu)點是簡單、直觀，缺點是針對所有參數(shù)采用相同的變化因子并不符合實際情形。文獻［6 -7］研究了環(huán)境參數(shù)不確定性對聲場幅度的影響，定義了聲傳播靈敏度函數(shù)，定義并驗證了線性和非線性靈敏度的度量方法?？傮w來說，MC 法計算量大、效率低，不能直接獲得聲場與不確定輸入變量之間的函數(shù)關系式，不適于多個參數(shù)不確定時的靈敏度分析。空間聲場位移法將環(huán)境參數(shù)擾動導致的聲場擾動看成是聲場結(jié)構(gòu)的空間位移和除空間位移外的其他變化，Brooke 等［8］、Dosso 等［9］、朱建峰等［10］以場位移靈敏度替代固定靈敏度，即用聲場幅度差均方根歸一化值的最小值來衡量聲場幅值對環(huán)境參數(shù)的靈敏度，從本質(zhì)上來說仍屬于局部靈敏度分析方法，且空間聲場位移法本身適用的前提條件較多，如:必須滿足聲場位移與海洋環(huán)境參量擾動成近似線性關系這一假設，在聲場空間中某些位置并不滿足這種關系，不能計算非相干聲場等［11］。以上分析表明，在水聲場靈敏度分析中，計算方法存在效率低、適應范圍不廣等不足，且鮮有文獻論述全局靈敏度的分析方法。

本文在文獻［12］研究的基礎上，運用非嵌入式隨機多項式展開(NPCE)法快速獲得淺海聲場與不確定環(huán)境參數(shù)之間的函數(shù)關系式，將其對某個變量求(偏)導，獲得聲場對該參數(shù)的局部靈敏度;提出了一種定性分析全局靈敏度的簡便方法;引入Sobol指數(shù)法［13］計算聲場對環(huán)境參數(shù)的定量全局靈敏度;分析了以上靈敏度分析方法的特性。

1 靈敏度分析方法

1.1 獲得聲場函數(shù)關系式

將淺海中不確定環(huán)境參數(shù)表示成標準隨機變量的函數(shù)后，聲場Y 可以截斷為N 階數(shù)值近似，即［12］

式中:C 為確定的環(huán)境參數(shù)向量;X =(x1，x2，…，xn)為服從標準正態(tài)分布隨機數(shù);N 為不確定環(huán)境參數(shù)量;ai為待求的未知多項式系數(shù);Hi(X)為Hermite多項式函數(shù)。

當變量服從其他形式的概率分布時，需選取相應的、合適的多項式形式，如:均勻分布選擇Legendre 多項式、指數(shù)分布選擇Laguerre 多項式、伽馬分布選擇廣義Laguerre 多項式［14］。

多維m 階Hermite 多項式表示為

文獻［12］研究表明，非嵌入式隨機多項式展開法具有計算精度和效率高、應用范圍廣等特點，其另一個獨特的優(yōu)勢是在獲得多項式系數(shù)ai后，代入到(1)式中，即可到聲場與不確定環(huán)境參數(shù)之間的近似函數(shù)關系式。此時對不確定量求(偏)導，就可以得到聲場對某個不確定參數(shù)的靈敏度函數(shù)關系式，即而獲得局部靈敏度值。若要分析全局靈敏度，則需提出新方法或是引入其他方法。

1.2 Sobol 指數(shù)法

假設模型為Y =f(X)，f(X)平方可積，將模型輸出f(X)分解為

為衡量不同輸入?yún)?shù)對輸出的貢獻大小，定義敏感性指數(shù)

式中:Sxi為xi的主效應指數(shù)或一階敏感性指數(shù)，表征輸入xi獨自對輸出的方差貢獻;x-i為不包含xi的其他參數(shù)，且

式中:p(x1，…，xi-1，xi+1，xN)為除xi外所有參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù);p(xi)為xi的概率密度函數(shù)。

將輸入?yún)?shù)x1，x2，…，xn分為xi和x-i二組，Vx-i(Exi(Y|x-i))描述了除xi外所有參數(shù)對輸出方差的影響，則VTOT-Vx-i(Exi(Y|x-i))表征所有與xi有關的效應，xi的全效應指數(shù)定義為

參數(shù)之間的交互效應指數(shù)可表示為

式中:Vxixj(E-xixj(Y|xixj))表示xi和xj作為一個整體的主效應對方差的影響。

2 仿真實驗與分析

2.1 Pekeris 波導中傳播損失對不確定海深和海水聲速的局部靈敏度分析

Pekeris 波導如圖1 所示。環(huán)境參數(shù)設置如下:海深D 服從均值為100 m、標準差為9 m 的正態(tài)分布，海水聲速c1為均勻聲速梯度，服從均值為1 500 m/s、標準差為9 m/s 的正態(tài)分布，海水密度ρ1=1 000 kg/m3;海底為無限均勻半空間，其中聲速c2=1 800 m/s，密度ρ2= 1 800 kg/m3;聲源深度zs=30 m，接收器深度為50 m，接收距離r 分別為2 km、4 km、6 km、8 km、10 km，聲波頻率為1 000 Hz;聲場計算模型為KRAKEN［15］，假設海面是聲壓自由邊界，海底是半無限空間。不同接收距離時MC 法與NPCE 法計算得到的傳播損失概率分布(概率密度函數(shù))如圖2 所示，從左至右的曲線對應由近及遠的接收距離。由圖2 可知在不同的作用距離上，2 種方法一致性很高。

圖1 Pekeris 波導Fig.1 Pekeris waveguide

圖2 不同接收距離時傳播損失的概率分布Fig.2 PDF of transmission loss (TL)at different receiving ranges

其中，當r=10 km 時傳播損失TL 與海深D、海水聲速c1之間的函數(shù)關系式為

將(7)式中的TL 對海深D、海水聲速c1分別求導，另一個參數(shù)則取其均值，代入不確定參數(shù)的具體數(shù)值，即可獲得r =10 km 時傳播損失對D 和c1的局部靈敏度，計算結(jié)果分別見圖3、圖4.

圖3 傳播損失對海深的局部靈敏度Fig.3 Local sensitivity of TL to D

圖4 傳播損失對海水聲速的局部靈敏度Fig.4 Local sensitivity of TL to c1

從圖3、圖4 只能給出傳播損失對單個變量在某一變化范圍內(nèi)的靈敏度，2 個圖縱坐標的單位也不一致，不能據(jù)此判斷其中哪個變量對傳播損失影響更大，所以此時局部靈敏度分析的實際意義不大。

2.2 Pekeris 波導中傳播損失對不確定海深和海水聲速的定性全局靈敏度分析

圖5 對比了r =10 km 時，2.1 節(jié)相同仿真條件下海水聲速c1取均值1 500 m/s，僅海深D 變化時，以及當2 個參數(shù)均不確定時傳播損失概率分布的變化情況。

由圖5 可知，是否考慮海水聲速不確定性，對聲傳播的概率分布影響非常小，這表明此時傳播損失對海深的靈敏度比海水聲速的靈敏度要大得多。因此，是否考慮某參數(shù)不確定性對聲場概率密度的變化情況，可用于定性描述聲場對該參數(shù)的全局靈敏度。

2.3 Pekeris 波導中傳播損失對不確定海深和海水聲速的定量全局靈敏度分析

不同距離上傳播損失對2 個變量的Sobol 指數(shù)如圖6 所示。

圖5 僅D 不確定以及D 和c1 均不確定時的傳播損失概率密度函數(shù)對比Fig.5 Comparison of PDFs of TL when only D is uncertain and both D and c1 are uncertain

圖6 傳播損失對海深和海水聲速的Sobol 指數(shù)Fig.6 Sobol index of TL to D and c1

由圖6 可知，總體來看在相應的傳播距離上，傳播損失對2 個不確定環(huán)境參數(shù)的靈敏度以及二者的交互效應指數(shù)均呈波動變化，此時海深D 的主效應指數(shù)明顯高于海水聲速c1的主效應指數(shù)，說明傳播損失對海深D 的靈敏度比海水聲速c1的靈敏度更高，究其原因是水層為等聲速型聲速剖面，故海水聲速對聲傳播影響較小，而海深D 的變化對聲傳播影響較大;二者之間的交互效應指數(shù)較小，即二者交互性弱，相互影響不大;圖6 也證明圖5 中定性全局靈敏度分析結(jié)果的正確性。

因此，針對Pekeris 波導，在研究聲場不確定時，可考慮將全效應指數(shù)較小的海水聲速取固定值(如:取均值)，繼而減少不確定環(huán)境參數(shù)的個數(shù)，以簡化不確定聲場模型，集中精力提高那些對聲場影響程度較大的參數(shù)的計算精度。

3 結(jié)論

運用NPCE 法能夠快速獲得聲場與不確定環(huán)境參數(shù)之間函數(shù)關系式的特性，展開淺海聲場對環(huán)境參數(shù)的靈敏度分析研究，結(jié)果表明:

1)將函數(shù)關系式對單個不確定參數(shù)求(偏)導，即可獲得對該參數(shù)的局部靈敏度，數(shù)學含義易理解。

2)當其他參數(shù)同時不確定時，是否考慮某參數(shù)變化前后聲場概率密度的變化情況，則定性反映了此時水聲場對該不確定參數(shù)的全局靈敏度;如果聲場概率密度變化不大，則可以忽略該參數(shù)對聲場的影響，無需再進行定量全局靈敏度分析;如果變化較大，則需進一步定量地分析全局靈敏度。

3)Sobol 指數(shù)法適于定量計算水聲場對多個不確定環(huán)境參數(shù)的全局靈敏度，可給出單個參數(shù)的主效應指數(shù)、不同變量間的交互效應指數(shù)，前提是需要知道系統(tǒng)輸出量與輸入量之間的函數(shù)關系式，而這恰是NPCE 法的優(yōu)點所在，故2 種方法結(jié)合起來，不但可行，而且計算效率高。

4)在淺海不確定水聲場研究中，全局靈敏度分析比局部靈敏度分析更具實際應用意義，可簡化淺海環(huán)境參數(shù)模型。值得說明的是，研究中雖選取含2 個不確定環(huán)境參數(shù)的Pekeris 波導為例進行靈敏度分析，實際上由文獻［12］以及本文方法的適用條件可知，這些方法同樣可推廣至含更多不確定參數(shù)的海洋環(huán)境復雜的淺海環(huán)境中。

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