橫向彈道修正的一種快速計(jì)算方法

王中原，常思江

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

彈道修正技術(shù)通常指對發(fā)射出去的炮彈在一段飛行彈道上實(shí)時測出炮彈的飛行參數(shù)(如速度、坐標(biāo)等)，并同預(yù)定彈道參數(shù)進(jìn)行比較、邏輯解算，確定出控制信息、適時啟動彈上控制機(jī)構(gòu)作用，調(diào)節(jié)、修正實(shí)際彈道向預(yù)定彈道位置逼近，實(shí)現(xiàn)彈道修正，減小炮彈的射彈散布。如果炮彈飛行中彈上的控制機(jī)構(gòu)作用只能調(diào)節(jié)縱向彈道，則為一維彈道修正彈;如果除了縱向彈道外，還能調(diào)節(jié)橫向彈道，則為二維彈道修正彈。

對大口徑旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定炮彈而言，開展一維彈道修正技術(shù)的研究相對簡單。這主要是因?yàn)橐痪S彈道修正只需調(diào)節(jié)炮彈飛行中的阻力，在結(jié)構(gòu)上容易實(shí)現(xiàn)且對原炮彈結(jié)構(gòu)的改動小、成本低。目前，一維彈道修正彈技術(shù)的研究相對成熟［1］。

對于二維彈道修正彈，為獲得橫向彈道調(diào)節(jié)作用力，如考慮采用舵機(jī)或沿彈體周向布置的脈沖發(fā)動機(jī)等機(jī)構(gòu)，需對炮彈進(jìn)行減旋，其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、成本較高，致使二維彈道修正彈的使用受限。根據(jù)外彈道偏流理論，大口徑旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定炮彈飛達(dá)落點(diǎn)時存在系統(tǒng)側(cè)偏量—偏流(通常大口徑旋轉(zhuǎn)彈在最大射程上的偏流量達(dá)幾百米量級，遠(yuǎn)大于其橫向散布值)。如果在一維修正機(jī)構(gòu)(阻力環(huán))基礎(chǔ)上增加一減旋翼片(如圖1 所示)，用于增大炮彈飛行時的極阻尼力矩，進(jìn)而改變其偏流的大小以實(shí)現(xiàn)橫向彈道修正，則整個二維彈道修正裝置結(jié)構(gòu)要簡單得多，且容易實(shí)現(xiàn)、成本較低，這為大口徑二維彈道修正彈的發(fā)展提出了一個很好的技術(shù)途徑。目前，國外在二維彈道修正技術(shù)方面取得了較大的進(jìn)展［2-3］，已進(jìn)入工程樣機(jī)研制階段;而國內(nèi)也開展了相應(yīng)的研究工作［4-7］，但目前正處于深化研究階段。

圖1 二維彈道修正彈結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of two-dimensional trajectory correction projectile

對這種方案的二維彈道修正彈，這些問題極為重要:一般而言，大口徑旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的橫向彈道修正能力有多大，如何快速計(jì)算橫向彈道修正量，影響橫向彈道修正能力的主要因素以及橫向彈道修正過程中的飛行穩(wěn)定性判據(jù)等，并利用炮射試驗(yàn)結(jié)果對其進(jìn)行驗(yàn)證。本文對上述問題開展研究，以期為深入開展二維彈道修正彈的研制打下基礎(chǔ)。

1 二維彈道修正飛行彈道模型

對于本文介紹的二維彈道修正彈方案，其二維修正彈道模型如下:

控制方程為

式中:Fx2、Fy2、Fz2為作用在彈丸上的合力F 在彈道坐標(biāo)系C-x2y2z2中的投影;Mξ、Mη、Mζ為作用在彈丸質(zhì)心處的合力矩M 在彈軸坐標(biāo)系C-ξηζ 中的投影;FD、MD分別為阻力環(huán)、減旋翼片張開后增加的阻力和極阻尼力矩;ΔCx為阻力系數(shù)增量;Δmxz為極阻尼力矩系數(shù)增量;v 為速度;θ 為彈道傾角;ψ2為彈道偏角;ωξ、ωη、ωζ為彈丸角速度在彈軸坐標(biāo)系C-ξηζ 中的分量;φa為彈軸高低擺動角;φ2為彈軸側(cè)向擺動角;γ 為滾轉(zhuǎn)角;x、y、z 為彈丸在地面坐標(biāo)內(nèi)的位置分量;A、C 分別為極轉(zhuǎn)動慣量和赤道轉(zhuǎn)動慣量;m 為彈丸質(zhì)量;ρ 為大氣密度;S 為彈丸特征面積。各坐標(biāo)系的定義參見文獻(xiàn)［8］。

根據(jù)該類二維彈道修正彈的原理，對一具體旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈，所設(shè)計(jì)的阻力環(huán)、減旋翼片位置和尺寸形狀等不同，直接影響張開后增加的阻力和極阻尼力矩，從而影響二維彈道修正效果?？梢詫Σ煌Y(jié)構(gòu)的阻力環(huán)、減旋翼片先進(jìn)行氣動力計(jì)算，再通過上述彈道模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，進(jìn)而分析二維彈道修正相關(guān)特性并同本文后面推導(dǎo)的近似計(jì)算公式做對比計(jì)算分析。但本文重點(diǎn)分析橫向彈道修正時有關(guān)的修正能力、影響因素、飛行穩(wěn)定性等問題，因而下面重點(diǎn)就橫向彈道修正時的近似計(jì)算式及相關(guān)問題開展研究。

2 近似偏流和修正量計(jì)算公式

由外彈道理論知，偏流是由動力平衡角Δp引起的，且主要由垂直于射擊面的橫向分量δ2p所決定。將彈道模型中的加速度項(xiàng)在地面坐標(biāo)系C-xyz 中投影且經(jīng)過推導(dǎo)，得到對應(yīng)的橫向加速度［8］

由(3)式可得到

式中:T 表示一段彈道上的積分時長;g 為重力加速度。由于偏流曲線上任一點(diǎn)的切線與射向x 軸夾角很小，故有

將(5)式代入(6)式積分整理，可得

式中:v0為一段彈道上的速度初值在θ0至θc上積分平均，得

式中:η 為火炮纏度;d 為彈徑。

若全程無控飛行，則對應(yīng)落點(diǎn)處側(cè)向偏流值為

設(shè)具有橫向彈道修正能力的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈，其上減旋翼片在飛行彈道上的張開時刻為t1，張開前、后對應(yīng)的極阻尼力矩彈道系數(shù)分別為kxz、kxz1(對應(yīng)u，u1)，則積分可得經(jīng)橫向彈道修正后的橫向偏流值

根據(jù)(9)式和(10)式可知，當(dāng)在飛行彈道上t1時刻張開減旋翼片，對應(yīng)落點(diǎn)的橫向彈道修正量近似為

根據(jù)(9)式和(11)式可看出:

1)B 反映彈丸結(jié)構(gòu)對偏流的貢獻(xiàn);

2)f(θ0，|θc|)反映射角對偏流的影響，射角大，偏流大，相應(yīng)的橫向可修正量也大;

3)1/η 反映了火炮膛線纏度對偏流的影響，纏度小，偏流大，相應(yīng)的橫向可修正量也大;

4)G(u，T)反映了極阻尼力矩系數(shù)、全彈道飛行時間對偏流的影響，極阻尼力矩系數(shù)小、飛行時間長，則偏流大;

5)在飛行彈道上張開減旋翼片進(jìn)行橫向彈道修正時，減旋翼片張開越早(即t1越小)，增加的極阻尼力矩系數(shù)越大(即u1越大)，則相應(yīng)的橫向修正量也越大。

根據(jù)上面建立的落點(diǎn)處橫向彈道修正量公式及相關(guān)分析可知，減旋翼片越大、張開時間越早，對應(yīng)的橫向彈道修正量越大。但應(yīng)注意的是，當(dāng)設(shè)計(jì)的減旋翼片越大、張開時間越早時，相應(yīng)彈道上炮彈轉(zhuǎn)速衰減也迅速增大，為保證減旋翼片張開后炮彈仍能穩(wěn)定飛行，則減旋翼片增加的極阻尼力矩系數(shù)及彈道上張開作用的時間應(yīng)在保證穩(wěn)定飛行的上限，此上限值對應(yīng)的狀況即為最大橫向彈道修正量狀況。

由外彈道理論可知［9］，炮彈旋轉(zhuǎn)飛行穩(wěn)定性條件為

式中:a ＞1，為常數(shù)，通?？扇=1.3.

當(dāng)炮彈在飛行彈道上t1時刻張開減旋翼片，則對應(yīng)能保證炮彈穩(wěn)定飛行的最大橫向彈道修正量為下述組合關(guān)系式:

3 炮射試驗(yàn)驗(yàn)證

快速計(jì)算彈道橫向落點(diǎn)位置與修正能力是二維彈道修正技術(shù)中的一個重要問題。對于通過調(diào)節(jié)大口徑旋轉(zhuǎn)炮彈偏流值進(jìn)行橫向彈道修正的技術(shù)而言，前面推導(dǎo)的橫向修正量計(jì)算方法、穩(wěn)定性條件等具有計(jì)算快速、方法簡潔等特點(diǎn)，便于實(shí)際應(yīng)用。但在工程應(yīng)用中，其計(jì)算值同試驗(yàn)值的差異對實(shí)際應(yīng)用效果有直接影響。為此，在前面理論推導(dǎo)與分析基礎(chǔ)上，對其計(jì)算結(jié)果同試驗(yàn)值對比這方面開展了進(jìn)一步研究。以某大口徑炮彈為例，設(shè)計(jì)、加工了具有減旋翼片機(jī)構(gòu)的橫向彈道修正控制艙炮彈，并對該彈減旋翼片在飛行彈道上某時刻張開分別進(jìn)行了彈道計(jì)算與炮射試驗(yàn)驗(yàn)證對比。圖2 所示為試驗(yàn)用二維彈道修正控制艙實(shí)物。

已知該彈的質(zhì)量m=30 kg，彈長l=670 mm，膛線纏度η=25，設(shè)計(jì)彈頭部有一對可張開的減旋翼片(見圖2)。在射角θ0=45°條件下對減旋翼片在不同時刻張開對應(yīng)的橫向彈道修正量Δz 進(jìn)行分析，結(jié)果如圖3 所示。圖中分別采用本文推導(dǎo)出的近似公式和6 自由度(DOF)彈道模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并與試驗(yàn)中僅減旋翼片定時張開(t1分別為25 s、35 s)兩發(fā)彈的實(shí)際橫向修正量進(jìn)行比較。

圖2 炮射試驗(yàn)二維彈道修正控制艙實(shí)物Fig.2 The control cabin of two-dimensional trajectory corrections used in the flight test

圖3 不同時刻張開減旋翼片對應(yīng)側(cè)向彈道修正量的變化Fig.3 The horizontal correction vs. opening despining blade on different position of trajectory

由圖3 可知:1)對于確定結(jié)構(gòu)的炮彈和減旋翼片裝置，隨著彈道上減旋翼片裝置張開時間的提前，彈丸減旋程度越大，對應(yīng)橫向彈道修正量Δz 的增加較為明顯，具有更大的橫向彈道修正能力;2)本文推導(dǎo)出的近似公式與6DOF 彈道模型的計(jì)算結(jié)果相差不大(最大誤差不超過40 m)，特別是當(dāng)減旋翼片張開得越晚，二者的差異越小;3)根據(jù)炮射試驗(yàn)數(shù)據(jù)，近似公式和6DOF 彈道模型的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值基本一致。從與試驗(yàn)值的比較來看，6DOF 模型的計(jì)算精度略高，本文導(dǎo)出的計(jì)算公式也具有較高精度，加之近似公式的顯式解析表達(dá)式，計(jì)算速度要快于6DOF 模型的數(shù)值積分，可滿足工程應(yīng)用的要求。

值得注意的是，正如前面所述，采用減旋翼片減旋的橫向彈道修正方式是以減小旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈陀螺穩(wěn)定性為代價的，而在進(jìn)行橫向彈道修正的同時必須保持彈丸的穩(wěn)定飛行。因此，為保證減旋翼片張開后炮彈的飛行穩(wěn)定性，減旋翼片最早張開時間t1還需滿足(12)式的約束。而實(shí)際試驗(yàn)中按此約束進(jìn)行設(shè)計(jì)，也并未出現(xiàn)飛行失穩(wěn)(如近彈)的情形。

4 結(jié)論

采用阻力環(huán)、減旋翼片裝置進(jìn)行縱向和橫向彈道修正，是大口徑炮彈實(shí)現(xiàn)低成本二維彈道修正技術(shù)的重要途徑，而有關(guān)橫向彈道修正量快速計(jì)算、修正能力分析等是開展橫向彈道修正的重要依據(jù)。本文在以往國內(nèi)開展一維縱向彈道修正研究的基礎(chǔ)上，對二維彈道修正飛行彈道模型、橫向偏流近似計(jì)算公式、減旋翼片不同時刻張開后相應(yīng)的橫向彈道修正量計(jì)算公式、保證旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定飛行下最大橫向修正能力計(jì)算等開展了研究，并設(shè)計(jì)了具有橫向彈道修正能力機(jī)構(gòu)(減旋翼片)的炮彈進(jìn)行了炮射試驗(yàn)驗(yàn)證。研究結(jié)果表明，采用本文給出的橫向修正量計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值基本一致。研究結(jié)果對深入開展大口徑炮彈二維彈道修正技術(shù)研究有理論指導(dǎo)作用。

References)

［1］王中原，史金光. 一維彈道修正彈氣動布局與修正能力研究［J］. 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，32(3):333 -336.WANG Zhong-yuan，SHI Jin-guang. Aerodynamic structure and correctional ability for one dimensional trajectory correction projectile［J］. Journal of Nanjing University of Science and Technology:Natural Science，2008，32(3):333 -336. (in Chinese)

［2］Grignon C，Cayzac R，Heddadj S. Improvement of artillery projectile accuracy［C］∥Proceedings of 23rd International Symposium on Ballistics. Tarragona，Spain:IBC，2007:747 -754.

［3］Pettersson T，Buretta R，Cook D. Aerodynamics and flight stability for a course corrected artillery round［C］∥Proceedings of the 23rd International Symposium on Ballistics. Tarragona，Spain:IBC，2007:647 -654.

［4］史金光，王中原，常思江，等. 基于減旋控制的側(cè)向彈道修正技術(shù)［J］. 彈道學(xué)報(bào)，2010，22(3):81 -85.SHI Jin-guang，WANG Zhong-yuan，CHANG Si-jiang，et al.Technology of lateral trajectory correction based on spin velocity reduction control［J］. Journal of Ballistics，2010，22(3):81 -85. (in Chinese)

［5］WANG Zhong-yuan，LI Xiao-yuan，CHANG Si-jiang. An approximate calculation method for lateral trajectory correction［J］. Journal of China Ordnance，2012，8(3):134 -138.

［6］WANG Zhong-yuan，CHANG Si-jiang. Impact point prediction and lateral correction analysis of two-dimensional trajectory correction projectiles［J］. Defence Technology，2013，9(1):64 -69.

［7］霍鵬飛，楊小會，劉創(chuàng). 基于減旋的彈道橫偏修正方法反求分析［J］. 探測與控制學(xué)報(bào)，2008，30(6):12 -16.HUO Peng-fei，YANG Xiao-hui，LIU Chuang. Deflection error correction method for spin stabilized projectiles based on despining approach［J］. Journal of Detection and Control，2008，30(6):12 -16. (in Chinese)

［8］徐明友. 火箭外彈道學(xué)［M］. 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004.XU Ming-you. Exterior ballistics of rocket projectiles［M］. Harbin:Harbin Institute of Technology Press，2004. (in Chinese)

［9］浦發(fā). 外彈道學(xué)［M］. 北京:國防工業(yè)出版社，1980.PU Fa. Exterior ballistics［M］. Beijing:National Defense Industry Press，1980. (in Chinese)