帶有多元算子李代數(shù)的線性基底

黃炬委

(嘉應(yīng)學(xué)院 梅州師范分院，廣東 梅州 514072)

0 引 言

Shirshov的引理被稱為李代數(shù)和結(jié)合代數(shù)的合成鉆石引理(Composition-Diamond lemma for Lie and associative algebras)．

另外，這種方法同時(shí)被H. Hironaka在研究?jī)缧蛄写鷶?shù)和B. Buchberger[11，12]， 在研究多項(xiàng)式代數(shù)中發(fā)現(xiàn)．B.Buchberger命名其為“Gr?ebner”基．Gr?ebner基理論在數(shù)學(xué)(尤其是代數(shù)幾何)，計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息學(xué)等中有著相當(dāng)重要和廣泛的應(yīng)用．

現(xiàn)今，在許多不同的代數(shù)系統(tǒng)中(結(jié)合或非結(jié)合)都有相應(yīng)的合成鉆石引理．在證明代數(shù)系統(tǒng)的合成鉆石引理時(shí)首先要找到這個(gè)代數(shù)的自由對(duì)象．

令K是有單位的交換環(huán)，K〈X;Ω〉 是K上的一個(gè)帶多元算子的自由結(jié)合代數(shù)，Lie(X;Ω) 是帶多元算子的自由李代數(shù)．在這本文中我們利用自由李代數(shù)的合成鉆石引理找到Lie(X;Ω)的一個(gè)線性基底，并由此建立了Lie(X;Ω)的自由對(duì)象．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)k是一個(gè)域，Lie(X)是k上的由X生成的自由李代數(shù)，X*是由X生成的自由幺半群． 對(duì)每個(gè)u=xi1xi2...xim∈X*，記|u|x為u的長(zhǎng)度，即|u|x=m． 幺半群X*上良序 >是一個(gè)項(xiàng)序, 如果它跟字的乘法是相容的，即對(duì)任意的u,v∈X*，有 (?w1,w2∈X*)uv?w1uw2w1vw2.

在X*一個(gè)典型的項(xiàng)序就是次數(shù)字典序，即先比較兩個(gè)字的長(zhǎng)度，再按照字典序來(lái)比較.我們使用X*上的兩個(gè)線性序：

(i)(字典序)t<1,如果t≠1, 用歸納法；如果u=xiu',v=xjv',那么u

把Lie(X)看成是自由結(jié)合代數(shù)k〈X〉的自由子李代數(shù)，它是在李括積[u，v]=uv-vu下由X生成的．

定義1.1[7]w∈X*{1} 是一個(gè)結(jié)合的Lyndon-Shirshov字(簡(jiǎn)寫為 ALSW)，如果

(?u，v∈X*，u，v≠1)w=uv?vu

把X上所有的ALSW記成集合ALSW(X),

(1) 如果w=uv∈ALSW(X),這里u，v≠1，則v

w=c1c2…cn，這里c1…，cn∈ALSW(X)，且c1≤c2≤…≤cn；(4) 如果u''=u1u2，u''=u2u3∈ALSW(X)，則u=u1u2u3∈ALSW(X);(5) 如果w∈ALSW(X)，w=uv，v是最長(zhǎng)的真子字,且v∈ALSW(X)， 則u∈ALSW(X)

定義1.2[ 7]X中的一個(gè)非結(jié)合字(u)稱為非結(jié)合的Lyndon-Shirshov字(簡(jiǎn)寫為NLSW )，記為[u]，如果

(i)u∈ALSW(X);

(ii)如果[u]=[(u1)(u2)] ,則 (u1)和(u2)都是NLSW(由 ALSW的定義知u1>u2)；

(iii)如果[u]=[[[u11][u12]][u2]] ，則u12

把 X上所有的NLSW記成集合NLSW(X),

從文獻(xiàn)[7,13 ]得知，對(duì)任意w∈ALSW(X)，存在唯一的打括號(hào)方式使得 [w]∈NLSW(X)：[w]=w,如果w∈X，且[w]=[[u][v]],如果|w|x>1，這里的v是w的最長(zhǎng)的真子字，且v是結(jié)合的Lyndon-Shirshov字，由(5)知u∈ALSW(X)．再對(duì)|w| 作歸納，可以得到[w].

引理1.4[14]假定w=aubvc，其中w，u，v∈ALSW(X)則w有下面的打括號(hào).

[w]u，v=[a[u]b[v]d]．

2 帶有多元算子李代數(shù)的線性基底

Ωn={ω1(n)<ω2(n)<…是n元(ary)運(yùn)算，比如，n-ary(ω)=n，如果ω ∈Ωn．

在Ω上定義一個(gè)序，Ω1<Ω2<…<Ωn<…定義 〈X；Ω〉0=S(X0)，X0=X，

〈X；Ω〉1=S(X1)，X1=X∪Ω(〈X；Ω〉0).

定義

〈X；Ω〉n=S(Xn),Xn=X∪Ω(〈X；Ω〉n-1),n>1

得到 〈X；Ω〉0?〈X；Ω〉1?…?〈X；Ω〉n?…,

下面給出幾個(gè)記號(hào)：

〈X；Ω〉表示X上帶有多元線性算子Ω的所有結(jié)合字; (X；Ω)表示X上帶有多元線性算子Ω的所有非結(jié)合字; X*表示上的所有結(jié)合字; X**表示上的所有非結(jié)合字．

對(duì)于任意u∈〈X；Ω〉，dep(u)=min{n|u∈〈X；Ω〉n}稱為u的深度．K〈X；Ω〉是由〈X；Ω〉張成的K-代數(shù)．〈X；Ω〉 (相對(duì)于K〈X；Ω〉)中的元素稱為Ω-字(稱Ω-多項(xiàng)式)．如果u∈X∪Ω(〈X；Ω〉)稱u是一個(gè)素Ω-字,且定義|u|=1(u的長(zhǎng)度為1)．如果u=u1u2…un∈ 〈X；Ω〉，ui是一個(gè)素Ω-字，對(duì)任意的i，定義|u|=n．

對(duì)于每一個(gè)ω∈Ωn，定義ω：〈X；Ω〉n→〈X；Ω〉，(x1,x2…，xn)|→ ω(x1，x2，…，xn).通過(guò)這種方式把 〈X；Ω〉線性張成K〈X；Ω〉．易知K〈X；Ω〉是一個(gè)由集合X生成的在K上帶有多元線性算子Ω的自由結(jié)合代數(shù)．

首先，在素Ω-字定義一個(gè)序：ut，vt∈X∪Ω(〈X；Ω〉)，ut>vt當(dāng)且僅當(dāng)下面其中一個(gè)條件成立：

(a)ut，vt∈X且ut>vt;

(b)ut=ωi(uk1，…，ukt)，vt∈X；

(c)ut=ωi(uk1，…，ukt)，vt∈ωj(vk1，…，vks)，且ωi>ωj，或者ωi=ωj且(uk1，…，ukt)>(vk1，…，vks)(字典序比較).

再次，在Ω-上定義一個(gè)序：對(duì)于任意u∈〈X；Ω〉有u=u1u2…un.ui∈X∪Ω(〈X；Ω〉).令wt(u)=(u1，u2，…un)，v=v1v2…vm.定義u>v?wt(u)>wt(v) 字典序， 用degx(u)記u中x∈X的個(gè)數(shù)；用 |u|記ui∈X∪Ω(〈X；Ω〉)的個(gè)數(shù)(u的長(zhǎng)度)．比如，如果u=ω1(x1，x2)x3x4ω2(x5)∈〈X；Ω〉，則有degx(u)=5 且 |u|=4．

最后，使用 〈X；Ω〉上的兩個(gè)線性序：

(字典序)u>v?wt(u)>wt(v) (1)

(次數(shù)字典序)u>v?degx(u)>degx(v)或者(degx(u)=degx(v)，wt(u)>wt(v)) (2)

定義2.1， 令u∈〈X；Ω〉，<為(1)中定義在〈X；Ω〉上的序．我們稱u是一個(gè)ALSW, 如果下面條件之一成立：

i)u∈X是一個(gè)ALSW；ii) 如果(任意v，w∈〈X；Ω〉)u=vw?vw>wv，這時(shí)u是ALSW；iii) 如果ui是ALSW，這時(shí)u=ω(n)(u1，u2，…，un)是ALSW.

對(duì)于u∈ALSW，u=u1u2…un,ui∈X∪Ω(〈X；Ω〉),我們對(duì)dep(u) 作歸納法來(lái)介紹兩種打括號(hào)方式:

(1)如果dep(u)=0 ，ui∈X，有如下兩種打括號(hào)方式[16].

一種是由上到下打括號(hào),由下面的歸納定義給出

[xi]=xi，[u]=[[v][w]]，

例1 于dep(u)=0，u∈X*，令u=x2x2x1x1x2x1有

[u]→[[x2x2x1x1][x2x1]]→[[x2[x2x1x1]][x2x1]]→[[x2[[x2x1]x1]][x2x1]]

另一種是由下到上打括號(hào).用同樣的例子來(lái)解釋u=x2x2x1x1x2x1.把最小的字x1和前面一個(gè)字粘在一起:u|→x2[x2x1]x1[x2x1],非結(jié)合字x2[x2x1]和x1構(gòu)成了一些新的字母，用字典序來(lái)定義它們,就是說(shuō),x2[x2x1]>x1.把最小的字x1和全面一個(gè)字粘在一起:x2[x2x1]x1[x2x1] |→x2[[x2x1]x1][x2x1],構(gòu)成了一些新的字母x2>[x2x1]>[[x2x1]x1].把最小的字[[x2x1]x1]

和前面一個(gè)字粘在一起:x2[[x2x1]x1][x2x1]|→[x2[[x2x1]x1]][x2x1]構(gòu)成了一些新的字母 [x2[[x2x1]x1]]>[x2x1].把最小的字[x2x1]和前面的一個(gè)字粘在一起： [x2[[x2x1]x1]][x2x1]|→[[x2[[x2x1]x1]][x2x1]]=[u]．

(2)如果dep(u)=m>0，假定任意v∈〈X；Ω〉，dep(v)

對(duì)于u=u1u2…un,其中ui∈X∪Ω(〈X；Ω〉)且對(duì)于每一個(gè)ui利用dep(u)上歸納法打括號(hào)，方式如下：

i)對(duì)于ui∈X，由于dep(ui)=0，有[ui]=ui;

ii)對(duì)于ui∈Ω(〈X；Ω〉)，有ui= ωki(n)(ui1，ui2…uim)且dep(uij)

如上所述，可以如下兩種方法對(duì)u打括號(hào)： 一種是對(duì)|u| 歸納定義的由上到下打括號(hào)：

例2 對(duì)于dep(u)=1，令u=ω2(x3x2x1，x2x1)x2x1ω1(x2x2x1)x1,采用由上到下的打括號(hào)，得到u→ω2([x3[x2x1]],[x2x1])x2x1ω1([x2[x2x1]])x1→[ω2]([x3[x2x1]][x2x1])x2x1ω1([x2[x2x1]])x1]]→[[ω2([x3[x2x1]][x2x1])[x2x1]]ω1([x2[x2x1]])x1]]．

另一種是由下到上打括號(hào)，用相同的例子解釋

u→ω2([x3[x2x1][x2x1])x2x1ω1([x2[x2x1])x1→ω2([x3[x2x1]],[x2x1])2x1ω1([x2[x2x1]])x1→ω2([x3[x2x1]][x2x1])x2x1ω1([x2[x2x1]])x1→[ω2([x3[x2x1]],[x2x1])[x2x1]][ω1([x2[x2x1]])x1→[[ω2([x3[x2x1]],[x2x1])[x2x1]][ω1([x2[x2x1]])x1]]．

注：我們用 []來(lái)表示由下到上的打括號(hào)，用 [[]]來(lái)表示由上到下的打括號(hào)．

對(duì)于ui∈Ω(〈X；Ω〉) ，有ui=ωki(n)(ui1，ui2，…,uin)且dep(uij)

在這基礎(chǔ)上再對(duì) |u|作歸納法證明，證明方式可參考[16]．

定義2.3令<為(1)中定義在 〈X；Ω〉且 (u)是一個(gè)非結(jié)合字． (u)稱為非結(jié)合的Lyndon-Shirshov字(簡(jiǎn)寫為 NLSW)，記為 [u]，如果

由歸納可知，([v1][w])=∑γi([ti]，ti>min{v1，w}=w； ([v2][w])= ∑γj'[tj'，tj'min{v2，w}=w，這時(shí)u=∑γi([ti][v2])+∑γj'([v1][tj'])且有min{ti，v2}，min{tj'，v1}

情形2 對(duì)于 (u)∈(X；Ω)，如果 (u)=ω(n)(u1，u2，…，un),對(duì)dep(u)做歸納證明．

如果dep(u)=1 ，有 (u)=ω(n)(u1，u2，…，un),且對(duì)任意ui，有dep(ui)=0 ．由歸納可知，(ui)=∑αiji[uiji]，(u)=ω(n)(∑α1j1[u1j1]，∑α2j2[u2j2]…∑αnjn[unjn]) =∑γα1j1α2j2…αnjnω(n)([u1j1][u2j2]，…，[unjn])

現(xiàn)在可以對(duì)dep(u)作歸納證明得到結(jié)論．

情形3 如果(u)中的子字包含情形1和情形2，那么可以類似于情形1的方式來(lái)證明．

引理2.7所有的NLSW是k-無(wú)關(guān)的．

由引理2.5和引理 2.7，得到

推論2.8所有的NLSW構(gòu)成了Lie(X；Ω)的線性基底．

由推論2.8和引理2.6有

3 帶有多元算子的自由李代數(shù)

定理2.10Lie(X；Ω) 是在集合X上帶有多元線性算子Ω 的自由李代數(shù)．

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