一類統(tǒng)計量部分和的極限定理

鄒廣玉

(長春工程學院 理學院，長春130012)

0 引言及主要結論

Tn=Sn+Rn，

(1)

其中Rn稱為余項．很多常用的統(tǒng)計量(或隨機函數) 可被表示成式(1)的形式，例如U統(tǒng)計量、功率和、Von-Mises統(tǒng)計量、線性過程(移動平均過程)、線性模型的誤差方差估計量等．鑒于此類統(tǒng)計量的一般性，一些學者對其極限性質進行了研究，如文獻[1]討論了獨立同分布序列時此類統(tǒng)計量的大數定律和重對數律的精確漸近性；文獻[2]給出了獨立同分布情形下此類統(tǒng)計量乘積的漸近分布和幾乎處處中心極限定理；文獻[3]推廣為NA序列情形時此類統(tǒng)計量乘積的幾乎處處中心極限定理等等；文獻[4]討論了NA序列部分和之和的漸近分布；文獻[5]通過討論NA序列加權和的幾乎處處中心極限定理，作為應用給出了NA序列部分和之和的幾乎處處中心極限定理.本文在這二者基礎上討論具有形式(1)的這類統(tǒng)計量部分和的漸近正態(tài)性和幾乎處處中心極限定理．首先回顧一下NA序列的概念．

定義1稱隨機變量{Xi，i∈I}是負相伴(NA)的，如果對于任意兩個對每個變元不減且使得下面協(xié)方差存在的函數g與h，都有

Cov(g(Xi，i∈A)，h((Xj，j∈B)))≤0，

其中I={1，…，n}，A，B為I的兩個不交子集．

稱隨機變量序列{Xi，i∈N}是NA的，如果對任何n≥2，X1， …，Xn都是NA 的．

上述概念由Alam和Saxena在文獻[6]給出，它是包含獨立在內的更為廣泛的相依隨機變量類型，在可靠性理論、多元分析、滲透性理論中有廣泛應用，因此研究與其相關的函數的極限性質具有重要意義．本文的結論如下：

定理1設{Xn，n≥1}是嚴平穩(wěn)的NA隨機變量列，滿足EX1=0，記

并假設下面條件成立：

(C1) 存在常數δ>0，使得E|X1|2+δ<∞；

(C2) 對某個ε>0，

|Cov(X1，Xn+1)|=O(n-1(logn)-2-ε) ；

那么

(2)

(3)

其中φ(x)為標準正態(tài)分布隨機變量的分布函數，下同．

2 兩個引理

引理1[4]在定理1的假設條件下，有

引理2[5]在定理1的假設條件下，有

3 定理的證明

先證式(2)．注意到

(4)

而

由Slutsky定理即知式(2)成立．

下面證明式(3)．由式(4)和式(5)，對幾乎所有的樣本點ω和任意小的ε>0，存在正整數N=N(ω，ε，x)，使得當k>N時，有

由引理2知

φ(x+ε)a．s．.

令ε→0，由φ(x)的連續(xù)性和夾逼定理即知式(3)成立，這樣就證明了定理．

4 結論

隨機變量的漸近分布一直是概率極限理論的經典問題之一，而幾乎處處中心極限定理則是近些年來概率極限理論研究的熱門方向之一．本文借助于前人獲得的部分和之和的極限性質，得到了一類統(tǒng)計量部分和的漸近正態(tài)性和幾乎處處中心極限定理，將此類統(tǒng)計量的極限性質推廣到統(tǒng)計量部分和的極限性質上來．

[1] 周君興，楊輝煌，陸傳榮．一類統(tǒng)計量的強大數定律和重對數律的精確漸近性質[J]．數學年刊，2006，27A(6)：807-814．

[2] 邱瑾，陸傳榮．一類統(tǒng)計量的乘積的漸近性質和幾乎處處中心極限定理[J]．數學物理學報，2013，33(A):3，475-482．

[3] 鄒廣玉．一類統(tǒng)計量乘積的幾乎處處中心極限定理[J]．長春工程學院學報:自然科學版． 2014，15(1)：126-128．

[4] 宇世航，張銳梅．NA 序列部分和之和的中心極限定理[J]．高師理科學刊，2007，27(3):1-4．

[5] 張勇， 董志山，趙世舜．相依序列加權和的幾乎處處中心極限定理[J]． 數學物理學報， 2009，29(6): 1487-1491．

[6] ALAM K， SAXENA KM L． Positive dependence in multivariate distributions[J]． Comm． Statist． Theory Math， 1981， A10(12): 1183-1196．