特征不為2的可線性化域上一類矩陣群的完全性

張 波

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

特征不為2的可線性化域上一類矩陣群的完全性

張 波

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

討論了一類矩陣群的完全性，給出了特征不為2的可線性化域上的一類矩陣群的完全性的證明。

矩陣群；特征；線性化環(huán)；完全性；自同構

設G是一個群，群G中與所有元素都可交換的元素構成的集合稱為群G的中心，記作C( G)。若群G自身到自身的一個雙射φ滿足φ(xy)=φ(x)φ(y)（其中x, y∈G），則稱φ是群G的一個自同構，群G自同構的全體關于映射的乘法作成一個乘法群，記作AutG。特別地，對任意的a∈G，

也是群G的一個自同構，稱為群G的內自同構，群G的內自同構的全體記作InnG，InnG關于映射的乘法作成AutG的子群，且有

若群G的中心C( G)是平凡的，并且G的每一個自同構都是內自同構，則稱群G是一個完全群。

令n是一個正整數(shù)，Q是有理數(shù)集，*Q是非零有理數(shù)集。令

則Y關于矩陣的乘法作成一個乘法群。文獻[1]證明了Y是一個完全群。由于文獻[1]中的結論所需要的條件太強，因而結論的外延性太小。本文給出了特征不為2的可線性化域上的一類完全群。

1 預備知識

定義1[2]設G是一個群，H是G的子群，若H在G的任意內自同構作用下穩(wěn)定，則稱H是G的正規(guī)子群；若H在G的自同構作用下穩(wěn)定，則稱H是G的特征子群。

定義2[3]設G是一個群，a, b∈G，記[a, b]=aba-1b-1，稱為a與b的換位子。由G的所有換位子生成的子群稱為G的換位子群，并記

若有正整數(shù)n，使得Gn=1，則稱G是可解群。

定義3[2]設G是一個群，H，K是G的子群，若G=HK，H∩K=1，并且K是G的正規(guī)子群，則稱G是H與K的半直積，記作G=H∝K。

2 主要結果

設R是一個含有單位元的交換環(huán)，U( R)是R的可逆元素構成的乘法群，對任意的r∈R，則有是R的加法自同構，稱為由r誘導的內自同構，并記

定義4設R是含有單位元的交換環(huán)，若R關于環(huán)的加法的每一個自同構都是內自同構，則稱R是可線性化的環(huán)。

設n是一個正整數(shù)，R是一個可線性化的環(huán)。E表示R上n級單位陣，Rn×n表示R上n級矩陣的全體，GL( n, R)表示環(huán)R上n級可逆矩陣的全體，Rn表示R上n維列向量的全體，ei表示Rn上第i個分量是1，其余分量是0的n維列向量，其中i=1,2,…n 。記

顯然，G關于矩陣的乘法分別作成乘法群，H和K是G的子群，并且K是G的正規(guī)子群。又G=HK，H∩K=1，所以G是H與K的半直積，即G=H∝K。

令

易見τ是一個雙射。又對任意的A, B∈GL( n, R)，

τ是一個同構映射，即H?GL( n, R)。令

則σ是一個雙射，且對任意的α, β∈Rn，

可見σ是一個同構，即K?Rn。

對任意的A∈GL( n, R)，易見

為Rn上加法自同構。記

引理1令Aut( Rn)表示nR的加法自同構群，則

(n) W=Aut R。

證明對1≤i≤n，令

易見對所有的i=1,2,…n ，φi，φi都是加法群同態(tài)。設δ是Rn的加法群自同構，記δi,j=φjδφi，它是R上的一個加法自同態(tài)。又因為R是一個可線性化的環(huán)，因而存在ai,j∈R，使得對任意的a∈R，都有δi,j(a)=ai,ja 。令

則對任意的

有

又φjτA(β)等于ATβ的第j個分量，即

從而

所以δ=τA。又由δ∈Aut( Rn)知A∈GL( n, R)，因此δ∈W ，Aut( Rn)=W。

一般地，對任意一個群來說，它有唯一的極大可解正規(guī)子群，且此唯一的極大可解正規(guī)子群當然是這個群的特征子群。

引理2H的唯一極大可解正規(guī)子群是

證明因為GL( n, R)的唯一極大可解正規(guī)子群是aE，由H?GL( n, R)可知結論成立。

引理3G的唯一極大可解正規(guī)子群是T=S∝K。

證明設T是G的唯一極大可解正規(guī)子群。顯然S∝K是G的可解正規(guī)子群，所以S∝K?T。進而，T=(T∩H)∝K ，其中T∩H是H的可解正規(guī)子群，可見T∩H?S。因此T?S∝K，T=S∝K。

定理設R是一個特征不為2的可線性化的域，則G關于矩陣的乘法作成一個完全群。

證明令C( G)是群G的中心，對任意的

可知A=E，α=0，所以

是平凡的。

設Ψ是G的一個自同構，則G的唯一可解正規(guī)子群T=S∝K在Ψ的作用下是穩(wěn)定的，即Ψ(T)=T 。又由K=[T, T]，可得即K也是G的特征子群。令Ψ=Ψ|K，則Ψ是K上的自同構。因K?Rn，由引理1知，對A∈GL( n, R)和任意的

則Ψ|K=Int B|K，即(IntB)-1Ψ在K上的作用是平凡的。記Ψ'=(IntB)-1Ψ，則Ψ'∈AutG在K上的作用是平凡的。對任意的A∈GL( n, R)，α∈Rn，有

用'Ψ作用于上式兩端，可知

其中αA∈Rn且由A確定。又因為

可見

并得α-E=0。即

再用'Ψ作用于

兩端，即得

從而有αA=-αA。

又因為R的特征不等于2，所以αA=0。進而說明了Ψ'在H上的作用也是平凡的，所以Ψ'=1是單位自同構。因而Ψ是G的內自同構，G是完全群。

[1] 劉皖華.一個有理系數(shù)二階方陣對乘法所形成的完全群[J].工科數(shù)學,2002,18(3):91-93.

[2] 楊子胥.近世代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003:86-125.

[3] 盛德成.抽象代數(shù)[M].北京:科學出版社,2000:55-59.

（責任編輯、校對：趙光峰）

The Completion of a Matrix Group over a Linearization Domain of Characteristic Not 2

ZHANG Bo
(School of Mathematical Sciences, Huaibei Normal University, Huaibei 23500, China)

The completion of a matrix group over a linearization domain of characteristic not 2 is discussed. And the proof that is a complete group is given.

matrix groups; characteristic; linearization rings; completion; auto-orphisms

O152.3

A

1009-9115(2014)02-0018-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.005

安徽省高校自然科學基金項目（KJ2009B082Z），淮北師范大學青年科研基金項目（700276）

2013-09-22

張波（1977-），男，安徽蕭縣人，碩士，講師，研究方向為代數(shù)學。