例談“1”在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的妙用

宣國(guó)成

華羅庚曾說(shuō)：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅?！睆囊话阃说教厥猓瑥亩嗑S退到低維，從空間退到平面，從抽象退到具體……只要不影響問(wèn)題的求解，對(duì)于許多復(fù)雜的問(wèn)題，以退求進(jìn)是一種重要的解題思想。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，有很多的知識(shí)點(diǎn)，如果我們巧設(shè)“退路”，往往會(huì)有另一番收獲。根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為妙用“1”作“輔助”或“退路”，不失為一種滲透數(shù)學(xué)思想、提升學(xué)生思維的有效策略。

一、巧補(bǔ)“1”，幫助學(xué)生理解變化規(guī)律

在學(xué)習(xí)了小數(shù)的乘除法之后，根據(jù)乘數(shù)（除數(shù)）的大小，判斷積（商）與被乘數(shù)（被除數(shù)）的大小，是教學(xué)中常見(jiàn)的題型。對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這類題型不難理解，但對(duì)于小部分學(xué)困生來(lái)說(shuō)，卻往往會(huì)顧此失彼、錯(cuò)誤不斷。如“比較大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教師會(huì)采用先“劃”（劃出某個(gè)數(shù)）再“比”的方式進(jìn)行，有的教師會(huì)用看因數(shù)（除數(shù)）是不是純小數(shù)來(lái)判斷，但對(duì)部分學(xué)困生來(lái)說(shuō)，既要先搞明白純小數(shù)的意思，又要進(jìn)行比較，這個(gè)彎不是一下子就能轉(zhuǎn)得過(guò)來(lái)，顯然也是不太現(xiàn)實(shí)的。對(duì)此不妨巧補(bǔ)“1”來(lái)解決此類題。如：2.68×1.03○2.68×1，這樣，使“○”的左右各變成乘法算式，其中一個(gè)因數(shù)相同，要比較大小只要看另一個(gè)因數(shù)的大小就可以了。因?yàn)楦鶕?jù)積的變化規(guī)律可知：在乘法中，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)大，乘積就大。這樣一“補(bǔ)”就能順利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根據(jù)商的變化規(guī)律可知：在除法中，如果被除數(shù)不變，除數(shù)越小，商就越大。這樣的“退”不只是比較了大小，更是加深了對(duì)“積（或商）”變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)，不失為一種有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，幫助學(xué)生掌握數(shù)量關(guān)系

理解和分析數(shù)量關(guān)系，是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要技能之一。目前，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中， “數(shù)量關(guān)系”的理解是學(xué)生較為薄弱的內(nèi)容。因此，很多教師都會(huì)花大力氣讓學(xué)生熟記一些常用的數(shù)量關(guān)系，以期達(dá)到根據(jù)數(shù)量關(guān)系（“葫蘆”）來(lái)達(dá)成解決問(wèn)題（“畫(huà)瓢”）的目的。殊不知，“數(shù)量關(guān)系”在不同的情節(jié)下，無(wú)論是表達(dá)的順序，還是表現(xiàn)形式都是多變的，借助“熟記”來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，不光會(huì)加重記憶負(fù)擔(dān)，也會(huì)使解題失去靈活性。如：一輛汽車(chē)行駛35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行駛（ ）千米，行駛1千米需要（ ）升汽油？這類題是學(xué)生很容易出錯(cuò)的題型，因?yàn)樗鼪](méi)有很明顯的數(shù)量關(guān)系式可用，在行程問(wèn)題中是用“路程=速度×?xí)r間”的關(guān)系。如果我們巧借“1”也同樣可使問(wèn)題迎刃而解。請(qǐng)看：要求每升汽油能行駛多少千米。原先是2.45升，如今變成“1升”，必須“÷2.45”才會(huì)是“1升”。根據(jù)等式的性質(zhì)，那另一個(gè)數(shù)“35”也同樣需要“÷2.45”，這樣列出來(lái)的算式，就是滿足條件的算式。

同理，要求行駛1千米需要多少升汽油，也應(yīng)先把35千米變成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具體函數(shù)量關(guān)系如下圖所示。借助“1”，可以解決很多“歸一”類題目，易懂又省時(shí)。

■

三、巧設(shè)“1”，幫助學(xué)生簡(jiǎn)化解題思路

“比和比例”單元中要學(xué)生組成“比例”，這是易出較多錯(cuò)誤的知識(shí)點(diǎn)。合理巧借“1”既可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)化思路，使復(fù)雜問(wèn)題變成簡(jiǎn)單問(wèn)題，使學(xué)生的錯(cuò)誤減少到最低程度，也會(huì)使學(xué)生的理解能力得以提升。如：甲數(shù)的■等于乙數(shù)的2.4倍，求甲數(shù)∶乙數(shù)=（ ）∶（ ）。很多學(xué)生由于受從左往右運(yùn)算順序的影響，也往往會(huì)出現(xiàn)“甲數(shù)∶乙數(shù)=■∶2.4”這種錯(cuò)誤。這時(shí)可借助“1”，根據(jù)倒數(shù)的知識(shí)，假設(shè)“甲數(shù)的■為1時(shí)，則甲數(shù)就是■”，同理，假設(shè)“乙數(shù)的2.4倍為1時(shí)，則乙數(shù)就是■”，即甲數(shù)∶乙數(shù)=■∶■=16∶5，具體數(shù)量關(guān)系如下圖所示。

甲數(shù)的■等于乙數(shù)的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧變“1”，幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)

在解方程單元中，求除數(shù)（減數(shù)）是未知項(xiàng)的方程，也是學(xué)生錯(cuò)誤的高發(fā)區(qū)。此時(shí)借助巧變“1”，可幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)。如解方程：72÷2x=6，可以通過(guò)以下步驟進(jìn)行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

從上面的步驟中看到，這里借助商是“1”，巧妙地化解了求除數(shù)是未知數(shù)的難題，而且學(xué)生容易理解和掌握。因?yàn)橐股虨椤?”，只有“被除數(shù)=除數(shù)”時(shí)才能實(shí)現(xiàn)。

我們知道，從“知識(shí)的課堂”到“能力的課堂”再到“創(chuàng)新的課堂”，這種課堂的轉(zhuǎn)型，必須建立在以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心的理念之上才能得以實(shí)現(xiàn)。從上述巧借“1”在數(shù)學(xué)解題中的實(shí)例探索中可以看到，當(dāng)我們的數(shù)學(xué)組織教學(xué)工作圍繞著“學(xué)生中心”來(lái)教（或稱為“以學(xué)定教”）的時(shí)候，教學(xué)才能達(dá)到輕負(fù)高質(zhì)的要求。也只有這樣，學(xué)生才可能感受到數(shù)學(xué)是能學(xué)習(xí)的，是可以接受的，進(jìn)而走進(jìn)數(shù)學(xué)，親近數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，這也是數(shù)學(xué)教師所應(yīng)追求的最終目的。

（責(zé)編 黃春香）endprint

華羅庚曾說(shuō)：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。”從一般退到特殊，從多維退到低維，從空間退到平面，從抽象退到具體……只要不影響問(wèn)題的求解，對(duì)于許多復(fù)雜的問(wèn)題，以退求進(jìn)是一種重要的解題思想。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，有很多的知識(shí)點(diǎn)，如果我們巧設(shè)“退路”，往往會(huì)有另一番收獲。根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為妙用“1”作“輔助”或“退路”，不失為一種滲透數(shù)學(xué)思想、提升學(xué)生思維的有效策略。

一、巧補(bǔ)“1”，幫助學(xué)生理解變化規(guī)律

在學(xué)習(xí)了小數(shù)的乘除法之后，根據(jù)乘數(shù)（除數(shù)）的大小，判斷積（商）與被乘數(shù)（被除數(shù)）的大小，是教學(xué)中常見(jiàn)的題型。對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這類題型不難理解，但對(duì)于小部分學(xué)困生來(lái)說(shuō)，卻往往會(huì)顧此失彼、錯(cuò)誤不斷。如“比較大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教師會(huì)采用先“劃”（劃出某個(gè)數(shù)）再“比”的方式進(jìn)行，有的教師會(huì)用看因數(shù)（除數(shù)）是不是純小數(shù)來(lái)判斷，但對(duì)部分學(xué)困生來(lái)說(shuō)，既要先搞明白純小數(shù)的意思，又要進(jìn)行比較，這個(gè)彎不是一下子就能轉(zhuǎn)得過(guò)來(lái)，顯然也是不太現(xiàn)實(shí)的。對(duì)此不妨巧補(bǔ)“1”來(lái)解決此類題。如：2.68×1.03○2.68×1，這樣，使“○”的左右各變成乘法算式，其中一個(gè)因數(shù)相同，要比較大小只要看另一個(gè)因數(shù)的大小就可以了。因?yàn)楦鶕?jù)積的變化規(guī)律可知：在乘法中，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)大，乘積就大。這樣一“補(bǔ)”就能順利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根據(jù)商的變化規(guī)律可知：在除法中，如果被除數(shù)不變，除數(shù)越小，商就越大。這樣的“退”不只是比較了大小，更是加深了對(duì)“積（或商）”變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)，不失為一種有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，幫助學(xué)生掌握數(shù)量關(guān)系

理解和分析數(shù)量關(guān)系，是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要技能之一。目前，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中， “數(shù)量關(guān)系”的理解是學(xué)生較為薄弱的內(nèi)容。因此，很多教師都會(huì)花大力氣讓學(xué)生熟記一些常用的數(shù)量關(guān)系，以期達(dá)到根據(jù)數(shù)量關(guān)系（“葫蘆”）來(lái)達(dá)成解決問(wèn)題（“畫(huà)瓢”）的目的。殊不知，“數(shù)量關(guān)系”在不同的情節(jié)下，無(wú)論是表達(dá)的順序，還是表現(xiàn)形式都是多變的，借助“熟記”來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，不光會(huì)加重記憶負(fù)擔(dān)，也會(huì)使解題失去靈活性。如：一輛汽車(chē)行駛35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行駛（ ）千米，行駛1千米需要（ ）升汽油？這類題是學(xué)生很容易出錯(cuò)的題型，因?yàn)樗鼪](méi)有很明顯的數(shù)量關(guān)系式可用，在行程問(wèn)題中是用“路程=速度×?xí)r間”的關(guān)系。如果我們巧借“1”也同樣可使問(wèn)題迎刃而解。請(qǐng)看：要求每升汽油能行駛多少千米。原先是2.45升，如今變成“1升”，必須“÷2.45”才會(huì)是“1升”。根據(jù)等式的性質(zhì)，那另一個(gè)數(shù)“35”也同樣需要“÷2.45”，這樣列出來(lái)的算式，就是滿足條件的算式。

同理，要求行駛1千米需要多少升汽油，也應(yīng)先把35千米變成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具體函數(shù)量關(guān)系如下圖所示。借助“1”，可以解決很多“歸一”類題目，易懂又省時(shí)。

■

三、巧設(shè)“1”，幫助學(xué)生簡(jiǎn)化解題思路

“比和比例”單元中要學(xué)生組成“比例”，這是易出較多錯(cuò)誤的知識(shí)點(diǎn)。合理巧借“1”既可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)化思路，使復(fù)雜問(wèn)題變成簡(jiǎn)單問(wèn)題，使學(xué)生的錯(cuò)誤減少到最低程度，也會(huì)使學(xué)生的理解能力得以提升。如：甲數(shù)的■等于乙數(shù)的2.4倍，求甲數(shù)∶乙數(shù)=（ ）∶（ ）。很多學(xué)生由于受從左往右運(yùn)算順序的影響，也往往會(huì)出現(xiàn)“甲數(shù)∶乙數(shù)=■∶2.4”這種錯(cuò)誤。這時(shí)可借助“1”，根據(jù)倒數(shù)的知識(shí)，假設(shè)“甲數(shù)的■為1時(shí)，則甲數(shù)就是■”，同理，假設(shè)“乙數(shù)的2.4倍為1時(shí)，則乙數(shù)就是■”，即甲數(shù)∶乙數(shù)=■∶■=16∶5，具體數(shù)量關(guān)系如下圖所示。

甲數(shù)的■等于乙數(shù)的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧變“1”，幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)

在解方程單元中，求除數(shù)（減數(shù)）是未知項(xiàng)的方程，也是學(xué)生錯(cuò)誤的高發(fā)區(qū)。此時(shí)借助巧變“1”，可幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)。如解方程：72÷2x=6，可以通過(guò)以下步驟進(jìn)行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

從上面的步驟中看到，這里借助商是“1”，巧妙地化解了求除數(shù)是未知數(shù)的難題，而且學(xué)生容易理解和掌握。因?yàn)橐股虨椤?”，只有“被除數(shù)=除數(shù)”時(shí)才能實(shí)現(xiàn)。

我們知道，從“知識(shí)的課堂”到“能力的課堂”再到“創(chuàng)新的課堂”，這種課堂的轉(zhuǎn)型，必須建立在以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心的理念之上才能得以實(shí)現(xiàn)。從上述巧借“1”在數(shù)學(xué)解題中的實(shí)例探索中可以看到，當(dāng)我們的數(shù)學(xué)組織教學(xué)工作圍繞著“學(xué)生中心”來(lái)教（或稱為“以學(xué)定教”）的時(shí)候，教學(xué)才能達(dá)到輕負(fù)高質(zhì)的要求。也只有這樣，學(xué)生才可能感受到數(shù)學(xué)是能學(xué)習(xí)的，是可以接受的，進(jìn)而走進(jìn)數(shù)學(xué)，親近數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，這也是數(shù)學(xué)教師所應(yīng)追求的最終目的。

（責(zé)編 黃春香）endprint

華羅庚曾說(shuō)：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。”從一般退到特殊，從多維退到低維，從空間退到平面，從抽象退到具體……只要不影響問(wèn)題的求解，對(duì)于許多復(fù)雜的問(wèn)題，以退求進(jìn)是一種重要的解題思想。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，有很多的知識(shí)點(diǎn)，如果我們巧設(shè)“退路”，往往會(huì)有另一番收獲。根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為妙用“1”作“輔助”或“退路”，不失為一種滲透數(shù)學(xué)思想、提升學(xué)生思維的有效策略。

一、巧補(bǔ)“1”，幫助學(xué)生理解變化規(guī)律

在學(xué)習(xí)了小數(shù)的乘除法之后，根據(jù)乘數(shù)（除數(shù)）的大小，判斷積（商）與被乘數(shù)（被除數(shù)）的大小，是教學(xué)中常見(jiàn)的題型。對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這類題型不難理解，但對(duì)于小部分學(xué)困生來(lái)說(shuō)，卻往往會(huì)顧此失彼、錯(cuò)誤不斷。如“比較大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教師會(huì)采用先“劃”（劃出某個(gè)數(shù)）再“比”的方式進(jìn)行，有的教師會(huì)用看因數(shù)（除數(shù)）是不是純小數(shù)來(lái)判斷，但對(duì)部分學(xué)困生來(lái)說(shuō)，既要先搞明白純小數(shù)的意思，又要進(jìn)行比較，這個(gè)彎不是一下子就能轉(zhuǎn)得過(guò)來(lái)，顯然也是不太現(xiàn)實(shí)的。對(duì)此不妨巧補(bǔ)“1”來(lái)解決此類題。如：2.68×1.03○2.68×1，這樣，使“○”的左右各變成乘法算式，其中一個(gè)因數(shù)相同，要比較大小只要看另一個(gè)因數(shù)的大小就可以了。因?yàn)楦鶕?jù)積的變化規(guī)律可知：在乘法中，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)大，乘積就大。這樣一“補(bǔ)”就能順利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根據(jù)商的變化規(guī)律可知：在除法中，如果被除數(shù)不變，除數(shù)越小，商就越大。這樣的“退”不只是比較了大小，更是加深了對(duì)“積（或商）”變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)，不失為一種有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，幫助學(xué)生掌握數(shù)量關(guān)系

理解和分析數(shù)量關(guān)系，是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要技能之一。目前，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中， “數(shù)量關(guān)系”的理解是學(xué)生較為薄弱的內(nèi)容。因此，很多教師都會(huì)花大力氣讓學(xué)生熟記一些常用的數(shù)量關(guān)系，以期達(dá)到根據(jù)數(shù)量關(guān)系（“葫蘆”）來(lái)達(dá)成解決問(wèn)題（“畫(huà)瓢”）的目的。殊不知，“數(shù)量關(guān)系”在不同的情節(jié)下，無(wú)論是表達(dá)的順序，還是表現(xiàn)形式都是多變的，借助“熟記”來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，不光會(huì)加重記憶負(fù)擔(dān)，也會(huì)使解題失去靈活性。如：一輛汽車(chē)行駛35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行駛（ ）千米，行駛1千米需要（ ）升汽油？這類題是學(xué)生很容易出錯(cuò)的題型，因?yàn)樗鼪](méi)有很明顯的數(shù)量關(guān)系式可用，在行程問(wèn)題中是用“路程=速度×?xí)r間”的關(guān)系。如果我們巧借“1”也同樣可使問(wèn)題迎刃而解。請(qǐng)看：要求每升汽油能行駛多少千米。原先是2.45升，如今變成“1升”，必須“÷2.45”才會(huì)是“1升”。根據(jù)等式的性質(zhì)，那另一個(gè)數(shù)“35”也同樣需要“÷2.45”，這樣列出來(lái)的算式，就是滿足條件的算式。

同理，要求行駛1千米需要多少升汽油，也應(yīng)先把35千米變成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具體函數(shù)量關(guān)系如下圖所示。借助“1”，可以解決很多“歸一”類題目，易懂又省時(shí)。

■

三、巧設(shè)“1”，幫助學(xué)生簡(jiǎn)化解題思路

“比和比例”單元中要學(xué)生組成“比例”，這是易出較多錯(cuò)誤的知識(shí)點(diǎn)。合理巧借“1”既可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)化思路，使復(fù)雜問(wèn)題變成簡(jiǎn)單問(wèn)題，使學(xué)生的錯(cuò)誤減少到最低程度，也會(huì)使學(xué)生的理解能力得以提升。如：甲數(shù)的■等于乙數(shù)的2.4倍，求甲數(shù)∶乙數(shù)=（ ）∶（ ）。很多學(xué)生由于受從左往右運(yùn)算順序的影響，也往往會(huì)出現(xiàn)“甲數(shù)∶乙數(shù)=■∶2.4”這種錯(cuò)誤。這時(shí)可借助“1”，根據(jù)倒數(shù)的知識(shí)，假設(shè)“甲數(shù)的■為1時(shí)，則甲數(shù)就是■”，同理，假設(shè)“乙數(shù)的2.4倍為1時(shí)，則乙數(shù)就是■”，即甲數(shù)∶乙數(shù)=■∶■=16∶5，具體數(shù)量關(guān)系如下圖所示。

甲數(shù)的■等于乙數(shù)的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧變“1”，幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)

在解方程單元中，求除數(shù)（減數(shù)）是未知項(xiàng)的方程，也是學(xué)生錯(cuò)誤的高發(fā)區(qū)。此時(shí)借助巧變“1”，可幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)。如解方程：72÷2x=6，可以通過(guò)以下步驟進(jìn)行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

從上面的步驟中看到，這里借助商是“1”，巧妙地化解了求除數(shù)是未知數(shù)的難題，而且學(xué)生容易理解和掌握。因?yàn)橐股虨椤?”，只有“被除數(shù)=除數(shù)”時(shí)才能實(shí)現(xiàn)。

我們知道，從“知識(shí)的課堂”到“能力的課堂”再到“創(chuàng)新的課堂”，這種課堂的轉(zhuǎn)型，必須建立在以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心的理念之上才能得以實(shí)現(xiàn)。從上述巧借“1”在數(shù)學(xué)解題中的實(shí)例探索中可以看到，當(dāng)我們的數(shù)學(xué)組織教學(xué)工作圍繞著“學(xué)生中心”來(lái)教（或稱為“以學(xué)定教”）的時(shí)候，教學(xué)才能達(dá)到輕負(fù)高質(zhì)的要求。也只有這樣，學(xué)生才可能感受到數(shù)學(xué)是能學(xué)習(xí)的，是可以接受的，進(jìn)而走進(jìn)數(shù)學(xué)，親近數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，這也是數(shù)學(xué)教師所應(yīng)追求的最終目的。

（責(zé)編 黃春香）endprint