一元函數(shù)與多元函數(shù)相關(guān)概念的類比

李 娜，張艷敏，王 潔

(商丘工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 商丘 476000)

1 鄰域定義

1.1 點(diǎn)x0的δ鄰域

設(shè)x0與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ>0，數(shù)集{x|x0-δ

其中x0叫該鄰域的中心，δ叫該鄰域的半徑[1]6-9.

1.2 點(diǎn)P0的δ鄰域

設(shè)P0(x0,y0)是xOy平面上的一定點(diǎn)，δ>0為一實(shí)數(shù)，以P0(x0,y0)為圓心，以δ為半徑的圓的內(nèi)部

Dδ(P0)={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}稱為點(diǎn)P0的δ鄰域.

點(diǎn)x0的δ鄰域指數(shù)軸上一個(gè)數(shù)集，以x0為中心，以δ為半徑的某一開區(qū)間；點(diǎn)P0的δ鄰域指平面上一個(gè)點(diǎn)集，以P0(x0,y0)為圓心，以δ為半徑的圓的內(nèi)部.

2 函數(shù)定義

2.1 一元函數(shù)的定義

設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的非空數(shù)集.如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x∈D，變量y按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x),x∈D,

其中，x稱為自變量，y稱為因變量，數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域[1]6-9.

2.2 二元函數(shù)的定義

設(shè)D是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)集，若對(duì)D中任意點(diǎn)(x,y)，按照某一確定的對(duì)應(yīng)法則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱變量z是x,y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y),(x,y)∈D,

其中，x和y稱為自變量，z稱為因變量，點(diǎn)集D稱為函數(shù)的定義域.

與一元函數(shù)相比，二元函數(shù)有兩個(gè)自變量，形式上更復(fù)雜一些，但定義域D和對(duì)應(yīng)法則f仍是二元函數(shù)的兩個(gè)決定性要素.

3 極限定義

3.1 x→x0時(shí)一元函數(shù)的極限

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某空心鄰域內(nèi)有定義，A為常數(shù).若對(duì)任意給定的ε>0，總存在δ>0，使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，恒有

|f(x)-A|<ε

則稱當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限為A，記為

3.2 二元函數(shù)的極限

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，A為常數(shù).若對(duì)任意給定的ε>0，總存在δ>0，使得當(dāng)0<|x-x0|<δ，0<|y-y0|<δ時(shí)，恒有

|f(x,y)-A|<ε

則稱當(dāng)P(x,y)→P0(x0,y0)時(shí)函數(shù)f(x,y)的以A為極限[2]244-246，記作

函數(shù)的極限是研究當(dāng)自變量在無限變化狀態(tài)下函數(shù)的變化趨勢(shì).一元函數(shù)的極限思想學(xué)生容易接受，二元函數(shù)相對(duì)復(fù)雜一些，因此在講授二元函數(shù)極限時(shí)，應(yīng)結(jié)合一元函數(shù)的極限，找出二者的相似之處——二者都是描述當(dāng)自變量趨于某一定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值無限趨近一個(gè)常數(shù)的變化狀態(tài).

4 導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)定義

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)相對(duì)于自變量變化而變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率，具體來講就是當(dāng)自變量改變量趨于零時(shí)，函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極限.與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)類似，二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)同樣可以從以下三個(gè)方面來理解：

a.求函數(shù)的增量；b.求函數(shù)增量與自變量增量的比值；c.求兩增量比值的極限[3]28-33.

二元函數(shù)含有兩個(gè)自變量，使得自變量與因變量的關(guān)系比一元函數(shù)要復(fù)雜的多.在研究二元函數(shù)的因變量對(duì)自變量的變化率時(shí)，最基本的方法是分別討論因變量對(duì)每一個(gè)自變量的變化率，其思想與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)思想相似.

5 定積分與二重積分定義

對(duì)于定積分的定義，結(jié)合曲邊梯形面積求解思路：“分割，近似代替，求和，取極限”來理解.二重積分的定義結(jié)合曲頂柱體的體積來理解，求解思路和曲邊梯形面積求解思路一樣，仍然是“分割，近似代替，求和，取極限”.

通過以上概念的類比，進(jìn)一步強(qiáng)化了概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生從整體上更好的理解相關(guān)概念，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，從而提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力.結(jié)合作者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，如果在實(shí)際教學(xué)中能適時(shí)把相關(guān)概念加以類比，就可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念及其之間的聯(lián)系有更深入的理解與認(rèn)識(shí).在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分時(shí)，尤其是二元函數(shù)的相關(guān)概念，結(jié)合一元函數(shù)的相關(guān)概念來講授，使學(xué)生在思想上容易接受.

[1] 吳贛昌.微積分(經(jīng)管類·第四版)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2006.

[2] 龔德恩，范培華.微積分(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3] 馬建珍.論《數(shù)學(xué)分析》課程的整合[J].邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013(2).