先驗(yàn)信息可信度在成敗型試驗(yàn)中的應(yīng)用

趙 勇，劉建新，牛青坡

（中國空空導(dǎo)彈研究院 河南 洛陽 471000）

在武器研制各階段的試驗(yàn)中，幾乎所有的產(chǎn)品試驗(yàn)中都能收集到成敗型數(shù)據(jù)[1]，如引信作用可靠性試驗(yàn)中引信的啟動成功與失敗。鑒于時間和成本的考慮，如何在一定試驗(yàn)量的情況下正確評估武器的性能是人們在武器性能鑒定中急需解決的難題。為此提出了應(yīng)用Bayes評估的小子樣理論，Bayes小子樣試驗(yàn)鑒定方法[2]。Bayes顯著特點(diǎn)是運(yùn)用了多種驗(yàn)前信息，特別是大量的仿真信息[3]。由于大量的驗(yàn)前信息的應(yīng)用，現(xiàn)場試驗(yàn)信息就有被驗(yàn)前信息“淹沒”的危險，從而削弱了現(xiàn)場試驗(yàn)信息在武器系統(tǒng)評估中的地位，造成鑒定結(jié)果主要由驗(yàn)前信息決定的現(xiàn)象。因此，在應(yīng)用Bayes方法評估武器性能時，即使驗(yàn)前信息和現(xiàn)場試驗(yàn)信息通過了相容性檢驗(yàn)，也不免讓人們對Bayes方法心生疑慮[4]。在成敗型試驗(yàn)中，如果驗(yàn)前信息本身就是主觀設(shè)定或者可信度不高，而在運(yùn)用Bayes方法時又是將驗(yàn)前信息和現(xiàn)場試驗(yàn)信息簡單的混合使用，就必然會引起人們上述的擔(dān)心。所以科學(xué)的使用驗(yàn)前信息和現(xiàn)場試驗(yàn)信息就成為消除人們疑慮的關(guān)鍵。

1 可信度的概念

這里，我們利用統(tǒng)計檢驗(yàn)法，在一致性檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，給出嚴(yán)格的驗(yàn)前信息可信度的概念。

記X=(X1, …Xn1)為仿真信息或歷史信息；Y=(Y1, …Yn2)為現(xiàn)場試驗(yàn)信息。為了檢驗(yàn)這兩種信息是否一致或是否屬于同一總體，引入競擇假設(shè)：

H0：X和Y屬于同一總體；

H1：X和Y不屬于同一總體。

若已知：當(dāng)H0為真而拒絕H0的概率為α，即棄真的概率為α；而當(dāng)H0為真而采納H0的概率為1- α。

為了引入驗(yàn)前子樣（仿真子樣）的可信度，記

A:采納H0的事件；

根據(jù)上述內(nèi)容可得：

定義：當(dāng)采納了H0之下，H0成立的概率，即X和Y屬于同一總體的概率，稱為驗(yàn)前子樣X的可信度。即可信度為P(H0|A) 。

2 可信度的計算

依據(jù)上述定義，利用Bayes公式可得

式中：

P(A|H1) =β為采偽概率，即當(dāng)H1為真而采納了H0的概率。這樣驗(yàn)前信息的可信度可表示為：

在應(yīng)用中，X為驗(yàn)前子樣，如仿真所獲得的子樣；Y為現(xiàn)場（真實(shí)）試驗(yàn)所表示的子樣。因此所謂X的可信度就是以Y作為比較標(biāo)準(zhǔn)，X和Y吻合的程度。

由可信度的表達(dá)式，計算中必須給出P(H0)、α和β。其中P(H0)是驗(yàn)前概率，α是棄真概率，β是采偽概率。上述參數(shù)必須在試驗(yàn)之前計算出來，如果在試驗(yàn)之前沒有任何信息可以利用，則可以取P(H0)=0.5。當(dāng)然，這只是一種設(shè)想，必須十分慎重，例如X是仿真子樣，則經(jīng)過仿真中的V.V&A處置，不能認(rèn)為P(H0)=0.5，至少有 P(H0)＞0.5。

如果取 P(H0)=0.5，此時上式簡化為

2.1 P(H0)的計算

驗(yàn)前概率P(H0)指的是獲得現(xiàn)場信息之前，事件H0成立的概率，它的大小反映的實(shí)際上是獲取驗(yàn)前信息的方法或過程的可信度[5]。這種可信度受驗(yàn)前信息獲取時的試驗(yàn)方法、試驗(yàn)條件、試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法以及工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)等多種因素的影響。下面通過引入信息似然比來確定P(H0)，假設(shè)由信息I1，可得到一個概率向量:

0111

由于H0和H1是對立假設(shè)，所以p1(H0)和p1(H1)滿足下列關(guān)系：

信息似然比與概率之間的相互確定關(guān)系為：

給出信息I1后，再給出信息I2的條件似然比用l01(I2/I1)表示：

于是可以給出：

對于n種相互獨(dú)立的信息，可以導(dǎo)出：

從一般意義上來說，由于各種信息來自于與之相對應(yīng)的不同方面，所以在大多數(shù)情況下，不同來源的信息是相互獨(dú)立的。所以有n種信息的情況下，信息似然比與概率之間的相互確定關(guān)系為：

需要說明的是如果在實(shí)驗(yàn)之前沒有驗(yàn)前信息可以利用，則可以取P(H0)=0.5，當(dāng)然這只是一種設(shè)想，必須十分慎重。例如，如果Z0是仿真子樣，則經(jīng)過仿真中的V.V＆A處置，不能認(rèn)為P(H0)=0.5，至少應(yīng)有P(H0)＞ 0.5。

2.2 α和β的確定

由于α和β分別代表了生產(chǎn)方的風(fēng)險（棄真）和使用方的風(fēng)險（存?zhèn)危栽谶M(jìn)行檢驗(yàn)方案設(shè)計時，應(yīng)從工程實(shí)際情況來確定α和β。需要指出的是，要一般給出β的解析式是很困難的。對于有驗(yàn)前信息可以利用的情況，可以利用上節(jié)2.1的方法來計算P(H0)。采用“風(fēng)險上平等對待的原則”來計算α和β（工程上一般取1%—5%）。此時驗(yàn)前子樣的可信度為：

3 可信度在Bayes評估中的應(yīng)用

在裝備試驗(yàn)中，常常會遇到成敗型試驗(yàn)產(chǎn)品，這種成敗型產(chǎn)品待檢參數(shù)服從二項(xiàng)分布。例如引信啟動的可靠度、導(dǎo)彈的命中概率[6]、雷達(dá)目標(biāo)識別率等，本文以某型號導(dǎo)彈的飛行打靶試驗(yàn)為例進(jìn)行討論。設(shè)導(dǎo)彈命中率θ的先驗(yàn)分布為Beta分布，即

式中，α0,β0為分布參數(shù)，可由驗(yàn)前信息計算。若在打靶試驗(yàn)之前獲得驗(yàn)前信息（仿真）經(jīng)折合得到數(shù)據(jù)Z0=(m1,n1)，其中m1是經(jīng)折合后打靶試驗(yàn)命中次數(shù)，n1是經(jīng)折合后打靶試驗(yàn)次數(shù)。則

當(dāng)進(jìn)行現(xiàn)場打靶試驗(yàn)得到數(shù)據(jù)Z1=(m2,n2)后，θ的后驗(yàn)分布仍為貝塔分布。其中m2是現(xiàn)場打靶試驗(yàn)命中次數(shù)，n2是現(xiàn)場打靶試驗(yàn)次數(shù)。θ的后驗(yàn)分布為：

式中分布參數(shù)α, β為

從而導(dǎo)彈命中率θ的Bayes估計為

對于導(dǎo)彈命中概率的檢驗(yàn)，構(gòu)造如下統(tǒng)計假設(shè)：

λ 為檢出比（0 ＜ λ ＜ 1 ）。

運(yùn)用Bayes檢驗(yàn),如果決策不等式

則采納H0；如果決策不等式

則采納H1。其中d為鑒別比，且滿足

P(H0)=P(H0|Z1)P(H0|A)為原假設(shè)H0的驗(yàn)前概率，由驗(yàn)前信息確定，且

P(H1)為備擇假設(shè)H1的驗(yàn)前概率。由于H0和H1是對立假設(shè)，所以

在上述Bayes估計中，如果不顧驗(yàn)前信息可信度的大小，直接將驗(yàn)前信息簡單的用于Bayes統(tǒng)計推斷中，在驗(yàn)前信息量（仿真信息）巨大的情況下，必將造成“淹沒”現(xiàn)場數(shù)據(jù)的現(xiàn)象，此時的現(xiàn)場數(shù)據(jù)在幾乎起不到任何作用。

同樣在上述的Bayes假設(shè)檢驗(yàn)中，如果不顧驗(yàn)前信息可信度的大小，此時，如果驗(yàn)前樣本巨大（遠(yuǎn)超出現(xiàn)場樣本），則驗(yàn)前信息將作出必然采納H0或H1的決策。若必然采納H1，即P(H0)=0。則式（24）的不等式必成立，即不管現(xiàn)場子樣如何取值，必將使采納H1的不等式成立。此時的現(xiàn)場信息不起任何作用，完全被大量的現(xiàn)場信息所“淹沒”。所以在使用驗(yàn)前信息時必須考慮其可信度，于是真實(shí)的驗(yàn)前概率P(H0)* ：

其中，P(H0)表示在獲得現(xiàn)場子樣Z1前假設(shè)H0成立的概率。P(H0|A)表示驗(yàn)前子樣Z0的可信度。在應(yīng)用中，所謂的驗(yàn)前子樣Z0的可信度也就是以現(xiàn)場子樣Z1為標(biāo)準(zhǔn)，Z0和Z1的吻合程度。這樣即使驗(yàn)前子樣的容量很大，提供的信息非常豐富，即

但由于此時真實(shí)的驗(yàn)前概率為P(H0)* ：

在計算中就不能將大量的驗(yàn)前子樣與現(xiàn)場子樣直接簡單的混用。

故引入驗(yàn)前信息可信度后不存在大量驗(yàn)前子樣（如仿真信息）“淹沒”現(xiàn)場子樣的情況。不會再出現(xiàn)驗(yàn)前信息在可信度不高的情況下決定試驗(yàn)決策的情況；當(dāng)然此時在做參數(shù)θ 的Bayes推斷統(tǒng)計時，同樣由于驗(yàn)前子樣可信度的存在，不能將驗(yàn)前子樣直接與現(xiàn)場子樣簡單的混合使用，必須將現(xiàn)場子樣重新折合后才能使用，這樣必將引起權(quán)系數(shù)γ的變化，就不會在大量驗(yàn)前子樣可信度較低的情況下，驗(yàn)前子樣決定參數(shù)θ 的Bayes推斷統(tǒng)計的結(jié)果。

4 結(jié) 論

事實(shí)上，在武器系統(tǒng)成敗型試驗(yàn)中，使用Bayes方法評估產(chǎn)品性能的最關(guān)鍵問題是驗(yàn)前信息的收集過程必須真實(shí)可靠，也就是說驗(yàn)前信息在使用時其可信度P(H0|A)必須要高。從而才能保證在使用Bayes方法作統(tǒng)計推斷時其結(jié)果的正確性。

對于成敗型試驗(yàn)的Bayes統(tǒng)計推斷，如果驗(yàn)前概率高(此時驗(yàn)前子樣可信度高，驗(yàn)前子樣數(shù)據(jù)不需要經(jīng)過折合直接使用，權(quán)系數(shù)γ較大)，則驗(yàn)前信息對統(tǒng)計推斷的結(jié)果“貢獻(xiàn)”更大。對于Bayes假設(shè)檢驗(yàn)，如果驗(yàn)前概率高(即驗(yàn)前信息有利于假設(shè)H0)，則檢驗(yàn)方案容易接受假設(shè)H0，也即正確的利用了驗(yàn)前信息，得到了更合理的評估結(jié)論。

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