多縫干涉與衍射在不同條件下的相互轉(zhuǎn)換研究

王世平

(天津農(nóng)學(xué)院 機(jī)電系物理教研室，天津 300381)

干涉與衍射現(xiàn)象是波動(dòng)具有的重要特征之一．大學(xué)物理中的干涉與衍射是光學(xué)教學(xué)中的兩個(gè)重要概念[1-3]，不但在理論上有重要應(yīng)用[4-8]，而且在許多技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[9-12]．因此，正確理解干涉和衍射的概念非常重要．有了干涉和衍射概念，如何進(jìn)一步理解它們的異同點(diǎn)以及在什么條件下可以相互轉(zhuǎn)換而得到不同的結(jié)果則成為下一個(gè)問題．本文就是針對(duì)這個(gè)問題展開研究．

0 理論推導(dǎo)

圖1 多縫裝置

以一定波長(zhǎng)的平行激光束入射到一個(gè)有N個(gè)平行狹縫，每個(gè)狹縫寬度為a且兩相鄰狹縫之間不透光的距離為b的多縫裝置上，凸透鏡L將透過多縫裝置的出射光聚焦于其焦平面處的屏幕上，如圖1所示．現(xiàn)在來計(jì)算凸透鏡L的焦平面上光強(qiáng)的分布，如圖1所示建立坐標(biāo)，取此多縫裝置最下面一條縫的底邊為x軸坐標(biāo)原點(diǎn)，向上為x軸正向，則由惠更斯—菲涅爾原理，通過多縫裝置位于坐標(biāo)原點(diǎn)面積為ds的波陣面在屏幕上一點(diǎn)p產(chǎn)生的振動(dòng)矢量的大小由下式?jīng)Q定

dE0=Ck(θ)(ds/r0)cos(ωt-2πr0/λ)

(1)

式中r0為由坐標(biāo)原點(diǎn)到屏幕上p點(diǎn)的距離，C為一比例常數(shù)，θ為出射光與水平光軸間的夾角，k(θ)為傾斜因子，隨θ的增大而減小，且有k(0)=1．

設(shè)狹縫的長(zhǎng)度為l，則ds=ldx，故位于坐標(biāo)x處的波陣面在屏幕上p點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)為

dE=[Clk(θ)/(r0+xsinθ)]cos[ωt-2π(r0+xsinθ)/λ]dx

(2)

因?yàn)槎嗫p裝置的最上面與最下面縫之間的光程差也遠(yuǎn)小于r0，故r0+xsinθ≈r0為一常量，設(shè)C′=Clk(θ)/r0和q=ωt-2πr0/λ,則(2)式為dE=C′cos(q-2πxsinθ/λ)dx，對(duì)此多縫裝置的所有透光縫積分，得

由三角函數(shù)的和差化積公式，則(3)式為

令u=πasinθ/λ,v=π(a+b)sinθ/λ,m=q-u和C″=C′a代入(4)式，有

由兩角和的三角函數(shù)及有限項(xiàng)三角級(jí)數(shù)求和公式，上式為

此式即為通過多狹縫的出射光波在凸透鏡的焦平面處的屏幕上p點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)方程表達(dá)式．

由于振動(dòng)表達(dá)式(5)式的振幅平方即為在屏幕相遇點(diǎn)的光強(qiáng)，故有

I=I0(sin2u/u2)(sin2Nv/sin2v)

(6)

式中I0=C″2為光線剛通過多縫裝置中任一縫的光強(qiáng)．(6)式即為每縫寬度均為a、相鄰縫間不透光部分均為b的多縫衍射在屏幕上的光強(qiáng)分布公式．

1 分析

下面基于得到的(6)式來討論干涉與衍射現(xiàn)象在不同條件下的相互轉(zhuǎn)換及其光強(qiáng)分布特點(diǎn)．

1.1 多縫干涉

在干涉實(shí)驗(yàn)中透光縫極窄，為滿足干涉條件，令(6)式中的a→0，則sin2u/u2=1，這說明在此條件下沒有衍射，此時(shí)屏幕上的光強(qiáng)為

I=I0sin2Nv/sin2v

(7)

(ⅰ)若要使干涉因子有極大值，則應(yīng)使干涉因子為零比零型，因?yàn)镹為整數(shù)，此時(shí)

有

v=πbsinθ/λ=±kπ

(8)

即

bsinθ=±kλ,k=0，1，2，3，…

(9)

此式即為干涉主極大方程．此時(shí)屏幕上光強(qiáng)最大為I0N2，與縫數(shù)的平方成正比．

圖2 多縫干涉

(ⅱ)若要使干涉因子的值為零，則此時(shí)應(yīng)有Nv=Nπbsinθ/λ=±kπ

即

bsinθ=±kλ/Ν，k=1,2,…，N-1，N+1,…

(10)

此時(shí)光強(qiáng)為零，式中k≠nN(因?yàn)楫?dāng)k=nN時(shí)，此式為干涉極大方程)，n為自然數(shù)．

(ⅲ)求極大極小在屏上的位置y.設(shè)凸透鏡焦距D，因θ角很小，由圖2中的幾何關(guān)系可得

y/D=tanθ≈sinθ

(11)

干涉極大在屏幕上的位置，將(9)式代入(11)式，有

y=±kDλ/b，k=0,1,2,3,…

(12)

干涉極小在屏幕上的位置，將(10)式代入(11)式，有

y=±kDλ/Nb,k=1,2,3,…，N-1，N+1，…

(13)

式中k≠nN，n為自然數(shù)．

(ⅳ)對(duì)于重要的楊氏雙縫干涉，令(7)式中的N=2,則干涉極大的光強(qiáng)為I=4I0，由上面(ⅲ)中的討論可知干涉極大的坐標(biāo)位置仍為(12)式；而干涉極小的位置坐標(biāo)由(13)式中N=2可得

y=±kDλ/2b，k=1,3,5,7,9，…

或?qū)憺?/p>

y=±(2k+1)Dλ/2bk=0,1,2,3，…

(14)

1.2 多縫衍射(光柵衍射)

1.2.1 干涉因子

(ⅰ)令(6)式中干涉因子為0/0型則干涉因子有極大值，此時(shí)應(yīng)有v=±kπ，即

(a+b)sinθ=±kλ,k=0,1,2,3，…

(15)

此式即為光柵方程．此時(shí)干涉因子的極大值為N2，屏幕上的光強(qiáng)為

I=I0N2sin2u/u2=I0N2sin2(πasinθ/λ)/(πasinθ/λ)2

(16)

(ⅱ)若要使干涉因子的值為零，則此時(shí)應(yīng)有Nv=±kπ，即

(a+b)sinθ=±kλ/Nk=1,2,3，…，N-1，N+1，…，2N-1，2N+1，…

(17)

滿足此式的θ方向上光強(qiáng)為零，式中k≠nN，n為自然數(shù)．

1.2.2 衍射因子

(ⅰ)若要使衍射因子有極大值，則應(yīng)使衍射因子為 0/0 型，此時(shí)衍射因子的極大值為sin2u/u2=1，最大光強(qiáng)處在u=πasinθ/λ=0即θ=0處，即光軸與屏幕交點(diǎn)處．

(ⅱ)若要使衍射因子的值為零，則此時(shí)應(yīng)有u=πasinθ/λ=±kπ，即

asinθ=±kλ，k=1，2，3，…

(18)

此式即為單縫衍射極小公式．

u=πasinθ/λ=±1.43π，2.46π,3.47π,…

或

asinθ=±1.43λ,2.46λ,3.47λ,…≈±(2k+1)λ/2,k=1,2,3，…

(19)

(ⅳ)綜上討論，可知多縫衍射的主極大的光強(qiáng)以多光干涉為主，伴以單縫衍射的調(diào)制，最大光強(qiáng)為干涉因子與衍射因子同時(shí)為極大值時(shí)的值，即最大光強(qiáng)為I=I0N2．

為了體現(xiàn)單縫衍射對(duì)干涉的調(diào)制作用，現(xiàn)將(15)式代入(16)式中，有

(20)

由此式可知，多縫衍射主極大的光強(qiáng)與其級(jí)次有關(guān)，級(jí)次越高主極大的光強(qiáng)越小．

當(dāng)(20)式中k干涉a/(a+b)=k衍射=1，2，3，…時(shí)，則本應(yīng)出現(xiàn)主極大的地方，光強(qiáng)反而為零，即缺級(jí)現(xiàn)象．缺級(jí)的級(jí)次為

k干涉=k衍射(a+b)/a,k衍射=1,2,3，…

(21)

1.3 單縫衍射

令N=1,代入(6)式，則有I=I0sin2u/u2,這部分的討論與結(jié)果和上面多縫衍射中的衍射因子部分(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)的相同．

2 結(jié)論

由于干涉與衍射存在著一定的關(guān)聯(lián)性，所以對(duì)同一個(gè)多縫裝置同時(shí)存在著這兩種光學(xué)現(xiàn)象． 當(dāng)改變初始條件時(shí)，這兩種現(xiàn)象可以相互轉(zhuǎn)換，其屏幕上的圖樣也發(fā)生相應(yīng)變化．由上面的討論可知，當(dāng)縫寬a→0時(shí)，由(18)式可知，衍射因子引起的兩個(gè)第一極小間的距離很寬，因而包含的干涉主極大較多；由(21)式可知此時(shí)缺級(jí)的級(jí)次較高，因而可以忽略衍射對(duì)干涉的調(diào)制作用，各主極大的光強(qiáng)可以認(rèn)為是不變的，故屬于多縫干涉情況；而當(dāng)a有一定值時(shí)，就出現(xiàn)了上面討論的衍射對(duì)干涉的調(diào)制作用．

雖然多縫干涉與衍射的最大光強(qiáng)表達(dá)式都為I=(C′a)2N2=I0N2，但是多縫干涉與衍射的最大光強(qiáng)的大小是不同的．因?yàn)楦缮嫜b置中的縫寬a要遠(yuǎn)小于衍射中的縫寬，因此縫數(shù)N相同的多縫裝置，干涉現(xiàn)象在屏幕上出現(xiàn)的最大光強(qiáng)要遠(yuǎn)小于衍射現(xiàn)象中的最大光強(qiáng)．

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