不同分布的BUTI的大偏差

盛婷婷

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000)

0 引言

假設(shè)條件1：?T>0，當(dāng)t≥T時一致地有

成立．在上述的三個條件下，文獻(xiàn)[1]得到如下的部分和的精確大偏差

假設(shè)條件5：存在某個非負(fù)的隨機變量Y和某個正數(shù)C2，Y的分布函數(shù)G(x)屬于控制變化尾分布(見定義2)，對于?x>0和充分大的n，有

文獻(xiàn)[5]研究了帶延拓負(fù)相依的關(guān)系的隨機變量的和的精確大偏差；文獻(xiàn)[6]在一致變化尾分布上探討了帶延拓負(fù)相依關(guān)系的隨機變量的和的精確大偏差；文獻(xiàn)[7]研究了獨立同分布的帶有長尾分布的隨機變量的和的精確大偏差，文獻(xiàn)[8]給出了負(fù)相依同分布的帶有長尾分布的隨機變量的和的精確大偏差．本文在上述提到的論文的基礎(chǔ)上討論了長尾分布上的二元上尾獨立不同分布的隨機變量序列的部分和和隨機和的大偏差．

接下來介紹所需要的基本概念：

定義4[12]稱某一隨機變量X或者其分布函數(shù)F(x)屬于一致變化尾分布的,當(dāng)且僅當(dāng)

或

成立．

由文獻(xiàn)[12]知長尾分布族包含了控制變化尾分布族，而控制變化尾分布族包含了一致變化尾分布族，而正則變化尾分布族又是一致變化尾分布族的子族．

1 部分和的大偏差

定理1設(shè){Xi,i≥1}為一個BUTI的不同分布的、非負(fù)的隨機變量序列，其對應(yīng)的分布序列為{Fi(x),i≥1}，對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望序列為{μi,i≥1}；假設(shè)存在非負(fù)的隨機變量X、Y和常數(shù)μ，滿足假設(shè)條件3-5，則對任意常數(shù)γ>0，有

證明由于

由二元上尾獨立的定義知，當(dāng)x充分大時，存在δ∈(0，1)，使得對于1≤i

P(Xi>x,Xj>x)/P(Xi>x)≤δ

由假設(shè)條件4和5可知

所以有

故結(jié)論成立．

2 非確定和的精確大偏差

給出一個假設(shè)條件8：當(dāng)t→∞時，對于任意的δ>0和任意小的ε>0有

定理2設(shè){Xi,i≥1}為一個BUTI的不同分布的、非負(fù)的隨機變量序列，其對應(yīng)的分布序列為{Fi(x),i≥1}，對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望序列為{μi,i≥1}，且獨立于取非負(fù)整數(shù)值的隨機過程{N(t),t≥0}；假設(shè)存在非負(fù)的隨機變量X、Y和常數(shù)μ，滿足假設(shè)條件3-5，假設(shè){N(t),t≥0}滿足以上的假設(shè)條件8，則對任意常數(shù)r>0，當(dāng)t→∞時，對x≥γλ(t)一致地有：

證明對任意的0<δ<1，有

由于

任意的0<δ1<1由假設(shè)條件8可得

所以有

L2≥(1-δ1)P(S(1-δ)λ(t)-(1-δ)μλ(t)>x+μλ(t)-(1-δ)λ(t)μ)

又由定理1可得:

從上式可導(dǎo)出

從而有

故結(jié)論成立．

3 結(jié)論

大偏差理論的研究已成為保險、金融等精算研究領(lǐng)域的熱點之一，前人分別從對模型的建立、不同分布族的分析、計數(shù)過程的復(fù)雜程度等方面入手，探討了不同情況下的大偏差的問題，本文則在前人的研究基礎(chǔ)上研究了帶BUTI關(guān)系的服從長尾分布的、不同分布的隨機變量的隨機和的大偏差，并得到了隨機變量的隨機和的大偏差的下界的一致漸近結(jié)果，推廣了已知存在的相應(yīng)結(jié)論．

[1]P.Paulauskas,A.Skucaite.Some asymptotic results for one-sided large deviationprobabilities[J].Lithuanian Mathematical Journal,2003,43(3):318～326.

[2]A.Skucaite.Large deviations for sums of independent heavy-tailed random variables[J].Lithuanian Math,2004,44(2)：198～208.

[3]Y.Liu,Y.J.Hu.Large deviations for heavy-tailed random sums of independent random variableswith dominatedly varying tails[J].Science in China(Series A),2003,46(3):383～395.

[4]Y.Zhang,X.M.Shen,C.G.Weng.Approximation of the tail probability of randomly weighted sumsand applications[J].Stochastic Processes and their applications,2009,119:655～675.

[5]L.Liu.Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails[J].Probability and Statistics Letters,2009,79:1290～1298.

[6]汪世界.帶一致變化尾上負(fù)相關(guān)隨機變量和的精確大偏差[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,13(4):464～466.

[7]D.Konstantinides,F.Loukissas.Precise large deviations for long-tailed distributions[J].Journal of Theoretical Probability,2012,25:913～924.

[8]D.Konstantinides,F.Loukissas.Precise large deviations for sums of negatively dependentrandom variables with common long-tailed distributions[J].Communications in statistics-theory and methods,2011,40:3663～3671.

[9]華志強，姜曉威.帶沿拓負(fù)上限相關(guān)的隨機變量和的精確大偏差[J].北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012,13(4)：398～400.

[10]C.Klüppelberg,T.Mikosch.deviations of heavy-tailed random sums with applications ininsurance and finance[J].Journal of Applied Probability,1997,34(2):293～308.

[11]陳 琳,劉維奇.重尾分布族及其關(guān)系圖[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2009,24(2):166～174.

[12]華志強.多元重尾大偏差及位相型破產(chǎn)概率[M].哈爾濱:哈爾濱地圖出版社，2013.