二階時變非線性系統(tǒng)的邊緣線性化模糊推理建模

楊文光，韓元良，劉海生

(華北科技學院 基礎(chǔ)部，北京 東燕郊 101601)

0 引言

模糊控制因適用于難于建模的被控系統(tǒng)的控制而取得廣泛應(yīng)用，其取得巨大成功的核心就在于依據(jù)專家知識和人工經(jīng)驗得到的完備的模糊規(guī)則庫，它包含了足夠豐富的控制信息，蘊涵著控制輸入與控制輸出之間的內(nèi)在邏輯映射關(guān)系，體現(xiàn)出了人類固有的思維模式。文獻[1]從理論上推導證明了模糊控制的本質(zhì)就是某種插值器，現(xiàn)有的模糊控制算法都可以歸結(jié)為某種插值方法。西南交通大學的趙海良教授，直接將模糊推理問題回歸到函數(shù)角度進行擴充，將每條規(guī)則都視為一組由前提和結(jié)論對應(yīng)組成的模糊數(shù)據(jù)對，將規(guī)則集合視為一組已知的模糊數(shù)據(jù)節(jié)點集，進而得到了一種插值推理函數(shù)[2],該研究文獻是對模糊推理到函數(shù)概念的推廣，也是對模糊插值控制可行的佐證。隨后，依據(jù)插值機理建立的各種新型模糊控制器，以響應(yīng)快、穩(wěn)態(tài)誤差小、基本無穩(wěn)態(tài)振顫等優(yōu)點而引起極大關(guān)注[3,4]。無論是常規(guī)模糊控制還是新型模糊插值控制，都由于缺少被控對象的精確數(shù)學模型，盡管控制簡便，卻很難從理論上證明其有效性和常規(guī)的理論性問題。為此，現(xiàn)為大連理工大學博導的李洪興教授突破傳統(tǒng)建模方法的不足，首創(chuàng)性的利用模糊邏輯系統(tǒng)的插值機理將已知模糊規(guī)則庫轉(zhuǎn)化為某種變系數(shù)非線性微分方程(組)，稱之為HX方程，得到了模糊推理建模法[5]。

對于二階時變非線性系統(tǒng)，為了理論研究的方便，并解決“非線性”問題，本文擬采用模糊推理建模法，對采樣時間進行等分，在每個較短時間間隔內(nèi)，采用時不變模型代替時變模型，并且對其中一個輸入變量的模糊集合采用三角形隸屬函數(shù)，對另外一個輸入變量的模糊集合采用矩形隸屬函數(shù)，從而得到每個時間間隔內(nèi)的變系數(shù)線性時不變微分方程，然后將不同時間間隔內(nèi)的模型加以綜合，最終獲得一個整體變系數(shù)線性時變的微分方程。

1 二階時變非線性系統(tǒng)的輸入輸出模型

(1)

k=0,1,…,n;1≤i≤pk,1≤j≤qk.

根據(jù)文獻[1]中結(jié)論，基于規(guī)則庫(1)的模糊邏輯系統(tǒng)可表示為一個二元分片插值函數(shù)：

(2)

隨著時間推移，二階時變非線性系統(tǒng)由各個時間間隔內(nèi)的分片插值函數(shù)組合構(gòu)成隨時間變化的整體插值函數(shù)

y″(t) =F(t,y(t),y′(t))

(3)

為了回避模型中的非線性問題，選取模糊集Aki的隸屬函數(shù)為“矩形波”，而Bkj的隸屬函數(shù)選擇為三角形模糊集(k=0,1,…,n;1≤i≤pk,1≤j≤qk)：

定理1在上述假定下，基于(3)式的二階時變系統(tǒng)的自由運動輸入輸出模型可以表示為二階變系數(shù)線性時變微分方程

y″(t)+P(y(t),y′(t))y′(t)=Q(y(t),y′(t))

(4)

y″(t) =F(t,y(t),y′(t))

引入局部時空結(jié)構(gòu)參數(shù)Pkij,Qkij如下：

(5)

(6)

y″(t)+Pkijy′(t)=Qkij

(7)

再分別選取

于是在整體時空結(jié)構(gòu)上，?(t,y(t),y′(t))∈T×Y×Y′,都有

y″(t) =F(t,y(t),y′(t))

2 二階時變非線性系統(tǒng)的輸入輸出仿真實驗

下面選擇文獻[6]提供的二階非線性時變微分方程作為研究對象，以方便進行分析比較，利用MATLAB中的指令直接求解得到該方程的數(shù)值解，另外使用基于邊緣線性化的模糊推理建模方法得到HX方程，并予以求解，依據(jù)兩種解得到原方程的不同仿真圖形。

(8)

按照上節(jié)推導和注釋，首先完成對時間維度的等距劃分后，我們只需依賴時間指標k的變化而變化，依次求解每個時間間隔內(nèi)的微分方程即可，如在[tk,tk+1](k=0,1,…,n-1)內(nèi)，選擇時間中點時刻tk0作為時間代表，把(8)式轉(zhuǎn)化為時間間隔內(nèi)的常系數(shù)時不變微分方程

(9)

建模主要操作步驟如下：

于是模糊集Aki與Bkj的峰點可以按照下式計算

yki=a1k+(i-1)h1k，

第三步 按照公式(5)與(6)，計算時間間隔[tk,tk+1](k=0,1,…,n-1)上的局部時空結(jié)構(gòu)方程系數(shù)：Pkij與Qkij，i=1,2,…,pk,j=1,2,…,qk.

圖1 y(t)在n=8,pk=6,qk=8時的仿真曲線

圖2 n=8,pk=6,qk=8時的相平面仿真曲線

圖3 本文y(t)在n=8,pk=6,qk=4時仿真曲線

圖4 本文在n=8,pk=6,qk=4時相平面仿真曲線

圖5 本文y(t)在n=20,pk=6,qk=8時仿真曲線

圖6 本文在n=20,pk=6,qk=8時相平面仿真曲線

不難發(fā)現(xiàn)，與文獻[6]比較，基于相同設(shè)置條件，建立在邊緣線性化下的時變系統(tǒng)的模糊推理模型，有較高的逼近精度，并且在減少其中一個變量論域的劃分數(shù)目下，逼近精度沒有較大下降；另一方面，在增加時間維度的劃分數(shù)目后，每個時間間隔內(nèi)的變量論域劃分數(shù)目沒有改變，但從整體的時空結(jié)構(gòu)來看，總的論域劃分數(shù)目增加了，于是逼近精度有了大幅的提高。由此可見，本文方法對于時變非線性系統(tǒng)的處理能夠較好的反映原系統(tǒng)的性能，處理后的結(jié)果，便于求解和理論分析。

3 結(jié)論

本文在文獻[5,6,7]研究基礎(chǔ)上，根據(jù)模糊推理建模法原理，將邊緣線性化方法成功移植到時變非線性系統(tǒng)建模的處理上，得到了時變非線性系統(tǒng)的輸入輸出線性化HX方程。仿真實驗表明，時變非線性系統(tǒng)的線性化HX方程具有較高的逼近精度，將會為定性定量處理模糊推理建模問題提供新的思路，是對時變非線性系統(tǒng)的模糊推理建模的有效擴充。

[1] 李洪興. 模糊控制的插值機理[J]. 中國科學(E輯),1998,28(3):259-267.

[2] 趙海良. 簡易插值模糊推理方法[J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2010,24(6):8-16.

[3] 張菊麗,王新民,張舉中. 基于牛頓插值算法的模糊控制器[J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2007,21(2):87-90.

[4] 楊文光,趙海良. 基于樣條插值的模糊控制算法[J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2009,23(3)：152-157.

[5] 李洪興,王加銀,苗志宏. 模糊控制系統(tǒng)的建模[J]. 中國科學(A輯),2002,32(9):772-781.

[6] 李洪興,宋雯彥,袁學海,等. 基于Fuzzy推理的時變系統(tǒng)建模[J]. 系統(tǒng)科學與數(shù)學,2009,29(8):1109-1128.

[7] 李洪興,王加銀,苗志宏. 模糊控制系統(tǒng)建模中的邊緣線性化方法[J]. 自然科學進展,2003,13(5):466-472.