APOS 理論視域下極限教學(xué)的新探究

王建華

(連云港師范高等專(zhuān)科學(xué)校 初等教育學(xué)院，江蘇 連云港 222000)

目前，對(duì)于極限教學(xué)而言，國(guó)內(nèi)有眾多學(xué)者從各個(gè)角度進(jìn)行研究，雖然取得了一定的進(jìn)展，但是如何從根本上突破極限教學(xué)法則成為了研究的重點(diǎn)以及難點(diǎn)。通過(guò)調(diào)查得知，學(xué)生在認(rèn)識(shí)上所表現(xiàn)的難點(diǎn)與教師在教學(xué)中的難點(diǎn)是相同的，那便是極限概念。這里在結(jié)合APOS 理論的四個(gè)基本階段的基礎(chǔ)上，從認(rèn)知心理的角度為數(shù)列極限教學(xué)提出相應(yīng)的解決方法與解決思路，從而幫助學(xué)生能夠?qū)O限概念有更深刻的認(rèn)識(shí)，從根本上為教師所設(shè)計(jì)的教學(xué)方案奠定相應(yīng)的理論基礎(chǔ)。

一、對(duì)數(shù)列極限“ε 一N”定義的理論分析

(一)利用常量對(duì)變量進(jìn)行描述。在數(shù)列的極限中，極限作為變量的發(fā)展趨勢(shì)，能夠從根本上描述數(shù)列極限的整體發(fā)展。但是，極限在使用的過(guò)程中一般是用作常量對(duì)變量進(jìn)行描述的一種變化趨勢(shì)，其中，在數(shù)列中比較常見(jiàn)的兩個(gè)常量便是ε 與N，如果利用ε 和N 對(duì)不等式中的|an－a|＜N(n ＞N)進(jìn)行解答，那么就能從根本上確定數(shù)列{an}會(huì)無(wú)限的接近。

(二)在對(duì)極限進(jìn)行概括的時(shí)候可以利用直觀性進(jìn)行概括，并且能夠做出非常直觀且正確的表達(dá):如果在解答的過(guò)程中，任意的正數(shù)ε，在以a 作為主要的中心點(diǎn)后，能夠形成一個(gè)非常正確的區(qū)間，那便是(a－ε，a +ε)。除此之外，在解答的過(guò)程中所存在的 作為一個(gè)正整數(shù)，當(dāng)n 的數(shù)值要比 的數(shù)值大的時(shí)候，那么在解答中就會(huì)形成另一個(gè)區(qū)間，并且所有項(xiàng)與a 的距離都有一定的關(guān)系。

(三)概念所具備的可認(rèn)識(shí)性。極限概念歷經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間才從直觀變得更加嚴(yán)謹(jǐn)，這種情況從根本上說(shuō)明了極限概念具有一定的抽象性。除此之外，極限概念在發(fā)展的過(guò)程中蘊(yùn)含了非常豐富的辯證思想，該思想在一定程度上加劇了抽象的程度。另外，極限概念的多級(jí)抽象不僅包括了抽象的基本概念，并且還將原來(lái)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)添加了諸多固定點(diǎn)，在利用該點(diǎn)的同時(shí)，學(xué)生能夠加強(qiáng)自身的概念結(jié)構(gòu)。極限概念在使用的時(shí)候使用了符號(hào)語(yǔ)言，眾所周知，很多符號(hào)來(lái)源于生活與自然，但是在經(jīng)過(guò)發(fā)展后又高于自然與生活，因此，學(xué)生在對(duì)極限概念認(rèn)識(shí)的同時(shí)要具備一定的概括能力。由上文可以得知，在習(xí)慣了初等數(shù)學(xué)的概念之后，學(xué)生在解答問(wèn)題的時(shí)候要將傳統(tǒng)的思維方式進(jìn)行顛倒，除此之外，學(xué)生在進(jìn)行概念學(xué)習(xí)的時(shí)候可以借助相應(yīng)的概念空間建立相應(yīng)的心理表征，從而使極限概念具備一定的可認(rèn)知性。

二、APOS 理論在教學(xué)中的應(yīng)用

美國(guó)教學(xué)教育家杜賓斯基的APOS 理論是以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，他在研究中認(rèn)為，每一個(gè)學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的時(shí)候，都會(huì)經(jīng)歷操作階段、過(guò)程階段、對(duì)象階段以及圖示階段，這四個(gè)階段的首字母經(jīng)過(guò)整理與組合，從而形成著名的APOS 理論。操作階段:屬于情景呈現(xiàn)的基本階段，在這一階段，每一個(gè)教師能夠?qū)⒆约旱慕虒W(xué)理念與新概念進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，在這種模式中將所有的問(wèn)題呈現(xiàn)給廣大學(xué)子，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考。操作階段能夠?qū)⒅庇^的感知進(jìn)行研究，從而形成對(duì)抽象問(wèn)題的認(rèn)知與思考。過(guò)程階段:屬于學(xué)生對(duì)操作階段所出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行思維的辯證。在這一階段，每一個(gè)學(xué)生能夠?qū)⑺械木唧w問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使其成為大腦中最為重要的抽象思維，在理論這種思維下能夠?qū)π轮R(shí)進(jìn)行接受，除此之外，杜賓斯基認(rèn)為，在過(guò)程階段，每一個(gè)學(xué)生還需要掌握一項(xiàng)最為重要的能力，那便是內(nèi)化以及壓縮，只有如此，才能使學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行認(rèn)識(shí)以及消化。對(duì)象階段:當(dāng)學(xué)生在經(jīng)過(guò)內(nèi)化以及壓縮之后，會(huì)在一定程度上對(duì)所操作過(guò)的問(wèn)題進(jìn)行思考，從而在進(jìn)行認(rèn)識(shí)的時(shí)候形成相應(yīng)的對(duì)象，這種對(duì)象是從過(guò)程階段向?qū)ο箅A段進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過(guò)程，最為重要的意義便是從本質(zhì)上對(duì)研究實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)的意義。圖示階段:當(dāng)學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)行細(xì)化之后，能夠把問(wèn)題中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行吸收，使其成為自己認(rèn)知的重要組成部分，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠重新整合自己的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，從而形成一個(gè)具有聯(lián)系的框架，這個(gè)框架便被稱(chēng)為圖示。當(dāng)學(xué)生發(fā)展到圖示階段之后，能夠?qū)φw系統(tǒng)進(jìn)行靈活運(yùn)用，并且能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行舉一反三，從而能夠使數(shù)學(xué)知識(shí)以及理解能力達(dá)到另一個(gè)高度。

通過(guò)對(duì)APOS 理論進(jìn)行研究可以得知，每一個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，無(wú)論是其過(guò)程還是對(duì)象都是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵因素，只有將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行升華，才能使過(guò)程以及對(duì)象這兩個(gè)階段產(chǎn)生相互依存與相互包容的發(fā)展現(xiàn)狀。在過(guò)程之中會(huì)蘊(yùn)藏著諸多對(duì)象而對(duì)象在過(guò)程中的形成能夠使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的基本概念進(jìn)行整理與分析。因此，結(jié)合數(shù)列極限的基本特點(diǎn)，只有將學(xué)生的學(xué)習(xí)分為三個(gè)階段:操作階段、過(guò)程—對(duì)象階段、圖示階段，只有如此，才能使數(shù)列極限概念產(chǎn)生新的思路，促進(jìn)學(xué)生對(duì)其理解與認(rèn)識(shí)。

三、融入極限教學(xué)思維方式

現(xiàn)實(shí)中許多數(shù)學(xué)老師，都會(huì)被學(xué)生問(wèn)到:“學(xué)那么多經(jīng)典的、抽象的高等數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)實(shí)中到底有什么用”，學(xué)生在問(wèn)該類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候，主要的原因是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活與工作之中，數(shù)學(xué)失去了基本的地位，并且遇到問(wèn)題也不會(huì)向數(shù)學(xué)進(jìn)行求助，這種情況的發(fā)生會(huì)使很多學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生迷惑，因此，如何從根本上改良數(shù)學(xué)課程，已經(jīng)成為了社會(huì)中最為關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題。在高等數(shù)學(xué)課程中，如果將極限教學(xué)思維融入其中，那么就能將學(xué)生的思想融入到實(shí)踐中，除此之外，由于數(shù)學(xué)極限思想要求學(xué)生要將數(shù)學(xué)內(nèi)容積極融入到現(xiàn)實(shí)生活中，在激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣之外，還能增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，從根本上提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有一定的提高。

在極限教學(xué)中，一定要把數(shù)學(xué)中所包含的思維方法進(jìn)行整理，在通過(guò)對(duì)學(xué)生的知覺(jué)思維以及反思維定勢(shì)、求同思維的研究中，能夠使學(xué)生對(duì)該能力有所掌握，與此同時(shí)，要積極引導(dǎo)學(xué)生在原有數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，通過(guò)想象以及猜測(cè)等各種方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索。

如果將極限教學(xué)的解題思維運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)中的話，那就是局部與整體的考慮，局部的解題思想考慮的過(guò)程比較細(xì)致，而整體的解題思維考慮的是全局，這樣運(yùn)用極限的想法，就能從根本上培養(yǎng)出學(xué)生對(duì)整體與局部的思考方法，培養(yǎng)自身的靈活性，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)以及理解。

在極限數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的反思維定勢(shì)的基本能力，主要是指對(duì)質(zhì)疑思維、逆向思維以及發(fā)散思維進(jìn)行學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)教學(xué)能夠在一定程度上對(duì)學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)是非的判斷能力以及學(xué)生的質(zhì)疑思維，對(duì)學(xué)生的逆向思維進(jìn)行培養(yǎng)的時(shí)候，可以采用以反證法的方式進(jìn)行展現(xiàn)，在進(jìn)行正反思考的時(shí)候進(jìn)行練習(xí)。例如:確定a，b 的值，使函數(shù)有無(wú)窮間斷點(diǎn)x=0，有可去間斷點(diǎn)x=1。

解:因f(x)在x=0 處為無(wú)窮間斷點(diǎn)，即

在這個(gè)簡(jiǎn)單的例子中，我們可以通過(guò)極限的思維方式，很簡(jiǎn)單的將此題解出來(lái)，但是在考慮極限的思維方式的時(shí)候，究竟使用什么方法，這就需要學(xué)生通過(guò)對(duì)極限的理解來(lái)實(shí)現(xiàn)，比如求極限的常用方法以及判定極限存在的準(zhǔn)則，該如何運(yùn)用，都是考驗(yàn)學(xué)生對(duì)極限思維方法的理解以及掌握的靈活程度。

我們可以通過(guò)這個(gè)例子，培養(yǎng)學(xué)生積極發(fā)掘題目中所隱藏的基本條件，并且要積極利用類(lèi)比的方式對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練，從根本上使學(xué)生的發(fā)散思維能力得到擴(kuò)大。與此同時(shí)，還要不斷加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的靈活性的訓(xùn)練，使學(xué)生在進(jìn)行思考的時(shí)候能夠從不同角度看待問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題;教師在對(duì)學(xué)生講解多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各個(gè)方向進(jìn)行思考，使其進(jìn)行推證或者否定。

此例的解法如下:

解:從這個(gè)數(shù)列的構(gòu)造來(lái)看顯然是單調(diào)增加的，用歸納法可證。且

所以得y2n=a+yn－1，又yn是單調(diào)增加的，兩端除以yn得

即yn是有界的。根據(jù)單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則yn有極限，而且極限唯一。

上面的例子，只有掌握好單調(diào)有界的基本準(zhǔn)則，使數(shù)列在發(fā)生極限的時(shí)候，使極限成為唯一。在利用單調(diào)有界的準(zhǔn)則中對(duì)極限進(jìn)行求解，要先對(duì)數(shù)列進(jìn)行證明，然后再利用公式將其進(jìn)行遞推。這就能夠體現(xiàn)學(xué)生對(duì)極限定義的掌握是否扎實(shí)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用形象思維能夠幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行理解，比如，教師在講授極限的時(shí)候，可以通過(guò)分析其中的幾何特征使學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行理解，除此之外，教師還要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生立體思維的認(rèn)識(shí)，在以知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)為積累的基礎(chǔ)上，使所有的概念與法則形成一個(gè)整體，在利用事物之間相似性的關(guān)系中，將知識(shí)與方法進(jìn)行結(jié)合。

四、在教學(xué)中積極突出數(shù)學(xué)思維方法

數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)及源泉，在進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)候，數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)的基本靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的重要核心內(nèi)容。高等數(shù)學(xué)課程包含了很多數(shù)學(xué)思想，其中，包括了大量的概念、定理以及解題步驟。數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中，要將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維進(jìn)行整體展現(xiàn)，系統(tǒng)性的對(duì)所發(fā)生的歷史背景進(jìn)行概括。除此之外，還應(yīng)該通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與發(fā)展進(jìn)行解釋?zhuān)瑢⑵渲斜容^豐富的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行概括，在利用數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)上使數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容具有示范性以及啟迪性，從根本上強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解。比如，在教學(xué)過(guò)程中利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行極限的計(jì)算時(shí)，要對(duì)極限四則運(yùn)算的基本性質(zhì)進(jìn)行理解。(1)兩收斂數(shù)列的和、差、積的極限要與極限的和、差、積相等。(2)兩收斂數(shù)列中的分母的數(shù)列極限在不為零的時(shí)候，商的極限要與極限的商相等。一般而言，在這種題型之中，都會(huì)包含未定式，從而不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。首先要對(duì)函數(shù)進(jìn)行各種恒等變形，可以采用分子、分母的分解因式，使其成為不等于零的重要因式;分子與分母消除未定式;通分化簡(jiǎn)等等。