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    微積分證明題中的常數(shù)變易法

    2014-01-07 03:07:08顧曉偉
    科技視界 2014年32期
    關(guān)鍵詞:變易原式證明題

    顧曉偉

    (蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院現(xiàn)代港口與物流管理系,江蘇太倉215411)

    顧名思義,常數(shù)變易法就是將某一常數(shù)換成變量,引入輔助函數(shù)證題的方法.此法在證明等式和不等式時有普遍應(yīng)用.請看以下幾例:

    故當(dāng) x>a 時,f(x)單調(diào)增加.又 f(a)=0,所以當(dāng) x>a 時,f(x)>f(a),

    (x2+a2)(ln x-ln a)>2a(x-a).從而當(dāng) b>a>0 時,有(b2+a2)(ln b-ln a)>2a(b+a).即:

    例 2 設(shè) b>a>e,求證:ab>ba.

    [證明]考察 F(x)=x ln a-a ln x,a≤x<+∞,F(x)在[a,+∞)可導(dǎo),F(a)=0,

    所以 F(x)在[a,+∞)單調(diào)上升,即 b>a>e 時有 F(b)>F(a)=0,即 b ln a>a ln b,

    因此 b>a>e 時,ab>ba.

    例 3 設(shè) f(x)在[0,+∞)連續(xù).又 f(0)=0,f″(x)<0(?x>0),求證:對?x1>0,?x2>0,f(x1+x2)<f(x1)+f(x2).

    [證明]考察函數(shù) F(x)=f(x)+f(x1)-f(x1+x),由 f′(x)<0(?x>0)知 f′(x)在x>0 單調(diào)減少,故 f(x)>f(x1+x),即 F′(x)=f′(x)-f′(x1+x)>0(?x>0),所以 F(x)在 x>0 單調(diào)上升,又 F(0)-f(0)=0,故 F(x)>0(x>0).因此?x2>0,?x1>0,有 F(x2)=f(x2)+f(x1)-f(x1+x2)>0,即 f(x1+x2)<f(x1)+f(x2).

    例 4 設(shè)函數(shù) f(x)在[0,1]連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且 f(0)=0,0<f′(x)<1

    例5 設(shè)f(x),g(x)均在[a,b]上連續(xù),證明柯西不等式:

    亦即:

    例6 設(shè)f(x)連續(xù),證明:

    [分析]本題可用分部積分法或二重積分法證明。但若將a當(dāng)作變量,由于當(dāng)a=0時等式兩邊相等(均為零),只需檢驗二邊的導(dǎo)數(shù)相等.事實上,左邊導(dǎo)數(shù)為而右邊導(dǎo)數(shù)為.兩者相等,故原式成立.

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