反證法在解題中的應用

張義華

反證法雖然是在平面幾何中出現(xiàn)的，但在其它內(nèi)容中，如代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何中都可應用. 那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢？

1. 基本命題

此類命題由于已知條件及能夠應用的定理、公式、法則較少，或由題設條件所能推得的結(jié)論很少，因而直接證明入手較難，此時應用反證法容易奏效.

例1 求證：兩條直線如果有公共點，最多只有一個.

證明 假設它們有兩個公共點[A，B]，這兩條直線分別是[a，b]，

那么[A，B]都屬于[a，A，B]也都屬于[b].

因為兩點決定一條直線，所以[a，b]重合.

所以命題不成立， 原命題正確，兩條直線的公共點最多只有一個.

2. 否定式命題

結(jié)論中含有“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題，此類命題的反面比較具體，適于應用反證法.

例2 如圖，設[SA，SB]是圓錐[SO]的兩條母線，[O]是底面圓心，[C]是[SB]上一點.

求證：[AC]與平面[SOB]不垂直.

證明 假設[AC]⊥平面[SOB]，

∵直線[SO]在平面[SOB]內(nèi)，∴[AC⊥SO].

∵[SO]⊥底面圓[O]，∴[SO⊥AB].

∴[SO]⊥平面[SAB]， ∴平面[SAB]∥底面圓[O]，

這顯然矛盾，所以假設不成立.

即[AC]與平面[SOB]不垂直.

3. 限定式命題

結(jié)論中含有“至多”“至少”“不多于”或“最多”等詞語的命題.

例3 已知[a，b，c，d∈R]，且[a+b=c+d=1，][ac+bd>1.] 求證： [a，b，c，d]中至少有一個是負數(shù).

證明 假設[a，b，c，d]都是非負數(shù)，

∵[a+b=c+d=1，]

∴[a+bc+d=1.]

又[a+bc+d=ac+bd+ad+bc≥ac+bd.]

∴[ac+bd≤1.]

這與已知[ac+bd>1]矛盾.

∴[a，b，c，d]中至少有一個是負數(shù).

4. 惟一性命題

即結(jié)果指定惟一的命題.

例4 已知[a≠0，]求證：關于[x]的方程[ax=b]有且只有一個根.

證明 由于[a≠0，]因此方程至少有一個根[x=ba]，

如果方程不只一個根，不妨設[x1，x2（x1≠x2）]是它的兩個不同的根.

即[ax1=b]，[ax2=b].兩式相減得， [a（x1-x2）]=0.

因為[a≠0]，所以[x1-x2=0]，即[x1=x2]，與[x1≠x2]矛盾，故假設錯誤，原命題正確.

所以，當[a≠0]時，方程[ax=b]有且只有一個根.

5. 無窮性命題

命題結(jié)論涉及無限集或數(shù)目不確定的對象.

例5 證明：lg3是有理數(shù).

證明 假設lg3是有理數(shù)，必然存在合適的[m，n]使得lg3=[mn]（[m，n]是互質(zhì)的正整數(shù)）.

由對數(shù)的定義得，則3=[10mn]，即[3n=10m].

對于函數(shù)[y=3x]和[y=10x]，當且僅當[x=0]時，兩個函數(shù)的函數(shù)值才相等.

即[m=n=0]. 與假設矛盾.

所以lg3一定是無理數(shù).

6. 存在性命題

例6 設[x，y∈[0，1]]， 求證：對于[a，b∈R]，必存在滿足條件的[x， y]，使[|xy-ax-by|≥13]成立.

證明 假設對一切[x，y∈[0，1]]使[|xy-ax-by|<13]恒成立，

令[x=0]， [y=1]， 得[|b|<13].

令[x=1]， [y=0]， 得[|a|<13.]

令[x=y=1]，得[|1-a-b|<13].

但[|1-a-b|≥1-|a|-|b|>1]-[13]-[13]=[13]，產(chǎn)生矛盾，故結(jié)論正確.

7. 運用反證法應注意的問題

在否定命題的結(jié)論之前，首先要弄清命題的結(jié)論是什么，當命題的結(jié)論的反面非常明顯并且只有一種情形時是比較容易做出否定的，但命題的結(jié)論的反面是多種情形或者比較隱晦時，就不太容易做出否定. 這時必須認真分析、仔細推敲，在提出“假設”后，再回過頭來看看“假設”的對立面是否恰是命題的結(jié)論.例如，結(jié)論：最多有一個[S]是[P].錯誤假設：最少有一個[S]是[P].正確假設：至少有兩個[S]是[P].現(xiàn)將一些常用詞的否定形式列表如下：

[原結(jié)論詞＼&假設詞＼&原結(jié)論詞＼&假設詞＼&是＼&不是＼&存在＼&不存在＼&都是＼&不都是＼&至少有[n]個＼&至多有[n-1]個＼&大（?。┯冢?amp;不大（小）于＼&至多有一個＼&至少有兩個＼&]

1. 已知函數(shù)[f（x）=x2+px+q]，求證：[|f（1）|，|f（2）|，][|f（3）|]至少有一個不小于[12].

2. 已知數(shù)列[{an}]的前[n]項的和[Sn]滿足[Sn=2an-3n] [（n∈N*）].

（1）求證：[{an+3}]為等比數(shù)列，并求[{an}]的通項公式；

（2）數(shù)列[{an}]是否存在三項使它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.

3. 兩個互相垂直的正方形如圖所示，[M，N]在相應對角線上，且有[EM=CN].

求證：[MN]不可能垂直[CF].