基于動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的PSO-CO算法

陳超核，姚壯樂

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510641)

基于動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的PSO-CO算法

陳超核，姚壯樂

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510641)

本文分析了協(xié)同優(yōu)化算法中所存在的問題，采用動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的解決思路，對(duì)系統(tǒng)級(jí)中的一致性等式約束問題進(jìn)行改造，使其成為一無約束問題．另外，提出不同學(xué)科分配不同的懲罰權(quán)重的方法，大大提高了計(jì)算精度．同時(shí)，以粒子群算法替代了原有的求解算法，消除了初始解對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，也改善了算法的整體求解速度．在Matlab軟件中實(shí)現(xiàn)該算法的運(yùn)行，同時(shí)通過兩個(gè)典型算例對(duì)該算法進(jìn)行驗(yàn)證，表明其具有較好的優(yōu)化性能．

協(xié)同優(yōu)化;粒子群算法;動(dòng)態(tài)罰因子;Matlab

0 引言

早在20世紀(jì)30年代，設(shè)計(jì)者就意識(shí)到，對(duì)于飛行器此類高度耦合多個(gè)子學(xué)科系統(tǒng)的復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計(jì)，需要在子學(xué)科之間進(jìn)行協(xié)調(diào)，最終才能形成一個(gè)完整的設(shè)計(jì)方案[1]．但限于當(dāng)時(shí)的條件，設(shè)計(jì)者只能先按照直覺和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，再對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行分析、實(shí)驗(yàn)，然后根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行調(diào)整，整個(gè)過程復(fù)雜反復(fù)，因此設(shè)計(jì)效率十分低下．

隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)以及數(shù)學(xué)優(yōu)化理論方法的長(zhǎng)足發(fā)展，優(yōu)化設(shè)計(jì)的思想越來越多地應(yīng)用到復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計(jì)優(yōu)化上．對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)者需要考慮各個(gè)學(xué)科之間的相互耦合影響，而多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化算法(MDO)的出現(xiàn)，使這一復(fù)雜設(shè)計(jì)過程得到了有效的處理，因此受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[2]．MDO在飛機(jī)、衛(wèi)星、導(dǎo)彈、船舶、汽車的復(fù)雜產(chǎn)品中有廣泛的應(yīng)用．目前，主要的MDO算法有：多學(xué)科可行算法(MDF)、單學(xué)科可行算法(IDF)、并行子空間優(yōu)化算法(CSSO)、協(xié)同優(yōu)化算法(CO)等．本文主要介紹CO算法．

1 協(xié)同優(yōu)化算法

20世紀(jì)90年代，斯坦福大學(xué)Kroo教授等人提出協(xié)同優(yōu)化算法，這是一種新型的MDO算法，其利用一致性約束來處理系統(tǒng)分解和協(xié)同問題．CO算法將設(shè)計(jì)問題分為兩級(jí)：一個(gè)系統(tǒng)級(jí)和多個(gè)并行的子學(xué)科級(jí)．首先，系統(tǒng)級(jí)向各個(gè)子學(xué)科級(jí)分配系統(tǒng)級(jí)變量的目標(biāo)期望值，各子學(xué)科級(jí)在滿足各自學(xué)科中約束條件的情況下，其目標(biāo)在于使學(xué)科間耦合變量與系統(tǒng)級(jí)分配的目標(biāo)值之間的差距最小，經(jīng)子學(xué)科級(jí)優(yōu)化后，各耦合變量再傳回給系統(tǒng)級(jí)，構(gòu)成系統(tǒng)級(jí)的一致性約束信息，以解決各子學(xué)科間耦合變量的不一致性，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化后，系統(tǒng)級(jí)又為各個(gè)子學(xué)科分配新的目標(biāo)期望值．如此反復(fù)，經(jīng)過多次系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化之間的迭代，最終可以得到一個(gè)在學(xué)科間耦合關(guān)系上達(dá)到設(shè)計(jì)要求的系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案[3]．其算法結(jié)構(gòu)如圖1．

CO算法的優(yōu)點(diǎn)在于各個(gè)子學(xué)科能并行進(jìn)行分析與優(yōu)化，消除了復(fù)雜的系統(tǒng)分析過程，但是原始的CO算法在工程系統(tǒng)的應(yīng)用上存在著計(jì)算耗費(fèi)大、魯棒性差等不足，需進(jìn)行改進(jìn)[4]．文獻(xiàn)[5]認(rèn)為CO算法對(duì)優(yōu)化問題的拆分，分成了系統(tǒng)級(jí)和多個(gè)子學(xué)科級(jí)，原來的約束條件也被拆分，這就導(dǎo)致各個(gè)子學(xué)科在優(yōu)化過程中忽略了原完整問題中的全部約束，而僅僅考慮了與其相關(guān)的局部約束條件和局部目標(biāo)函數(shù)，因而造成優(yōu)化結(jié)果無法收斂到最優(yōu)解．另外，部分學(xué)者認(rèn)為，初始點(diǎn)的選取對(duì)CO算法優(yōu)化結(jié)果有較大的影響，可能導(dǎo)致出現(xiàn)不收斂的結(jié)果[6]．

2 協(xié)同優(yōu)化算法的改進(jìn)

目前，已有學(xué)者研究協(xié)同優(yōu)化方法的改進(jìn)，提出了一些改進(jìn)措施．BRAUN等[7]提出子系統(tǒng)罰函數(shù)和松弛因子法的改進(jìn)措施．SOBIESKI等[8]提出使用響應(yīng)面技術(shù)來改進(jìn)CO算法的措施．李海燕等[9]提出自適應(yīng)罰函數(shù)協(xié)同優(yōu)化算法的改進(jìn)措施．基于上述分析以及結(jié)合前人改進(jìn)方案，本文采用動(dòng)態(tài)罰函數(shù)法，對(duì)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問題進(jìn)行改造，將其轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，同時(shí)根據(jù)不同子學(xué)科約束的權(quán)重要求，分配不同的懲罰因子；同時(shí)，采用粒子群算法來進(jìn)行求解，增強(qiáng)優(yōu)化的穩(wěn)定性．

2.1 動(dòng)態(tài)罰函數(shù)形式

為了消除學(xué)科間的一致性等式約束，應(yīng)將系統(tǒng)級(jí)中各個(gè)等式約束作為懲罰項(xiàng)，增加到系統(tǒng)級(jí)的目標(biāo)函數(shù)中．系統(tǒng)級(jí)的優(yōu)化過程中，懲罰項(xiàng)的存在會(huì)迫使目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果趨近學(xué)科間一致性信息，使得下一次傳給子學(xué)科級(jí)的系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)期望值更能滿足各學(xué)科約束，最后得到一個(gè)優(yōu)化解，該優(yōu)化解不僅滿足學(xué)科間一致性信息要求，而且能達(dá)到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)．因此，需要將系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)改造為下面的式子．

(1)

其中f(z)為原來的系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)，Ji(z)為學(xué)科間一致性約束，γi為懲罰因子．

以罰函數(shù)形式來處理約束問題的關(guān)鍵在于懲罰因子γ的選?。贑O算法中，γ過大會(huì)造成學(xué)科間一致性要求好，但是目標(biāo)函數(shù)值減少速度慢；γ過小則會(huì)造成目標(biāo)函數(shù)值減少較快，但是學(xué)科間不一致較大．因此，固定的值不利于優(yōu)化的進(jìn)行，需采取動(dòng)態(tài)的懲罰因子．另外，不同的學(xué)科一致性約束對(duì)系統(tǒng)的影響是不同的，所以本文為不同的學(xué)科約束信息分配了不同的懲罰因子，以增強(qiáng)個(gè)別學(xué)科約束信息的權(quán)重．這一點(diǎn)會(huì)在算例1中做具體說明．

動(dòng)態(tài)罰因子的構(gòu)造借助于學(xué)科間的不一致信息，得到下面的式子：

γi=b+mka

(2)

其中b,m和a是常數(shù)，k為學(xué)科間不一致信息．

2.2 參數(shù)設(shè)置

選取b的初值時(shí)，先與最終的系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)值保持在同一個(gè)數(shù)量級(jí)上，然后在優(yōu)化過程中根據(jù)優(yōu)化的結(jié)果做進(jìn)一步的調(diào)整，調(diào)整時(shí)應(yīng)保證系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)值的變化曲線不出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象．m、a與學(xué)科間一致信息的精度要求有關(guān)，a通常取正整數(shù)，a=1；當(dāng)a值固定，m值越大則對(duì)學(xué)科間一致信息的要求越高．在固定a值的情況下，可以通過增加m值的數(shù)量級(jí)，來提高算法優(yōu)化結(jié)果在學(xué)科間一致性信息的精度要求．

文獻(xiàn)[10]定義了學(xué)科間不一致信息，其形式為：

(3)

該式子只適用于各子學(xué)科的設(shè)計(jì)變量相同的情況，而大多數(shù)情況下，這是難以滿足的．當(dāng)各子學(xué)科的優(yōu)化解越靠近系統(tǒng)級(jí)分配的目標(biāo)期望值時(shí)，學(xué)科間的不一致信息越小，因此可以定義學(xué)科間不一致信息為：

k=J1(X1,z1)+J2(X2，z2)+…+Jn(Xn,zn)

(4)

其中X1，X2…，Xn為本次各子學(xué)科的優(yōu)化結(jié)果；z1，z2，…，z2為系統(tǒng)級(jí)分配給各子學(xué)科的目標(biāo)期望值；J1，J2，…，Jn為各子學(xué)科的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值．

2.3 優(yōu)化算法的選取

傳統(tǒng)的優(yōu)化算法，如針對(duì)約束條件中二次等式進(jìn)行求解的序列二次規(guī)劃法，該法經(jīng)常陷入局部最優(yōu)甚至偏離最優(yōu)解，求解效果不理想，求解效率也不高[4]．因此，需要引入一種魯棒性較好的優(yōu)化算法．

除了“家庭考題”“子女孫輩有責(zé)”，公安、工商、旅游、交通、醫(yī)療、銀行、老年大學(xué)、社區(qū)等社會(huì)各有關(guān)方面，也應(yīng)負(fù)起各自責(zé)任和發(fā)揮應(yīng)有作用。有關(guān)老年、科研機(jī)構(gòu)，當(dāng)像騙子針對(duì)老年人研發(fā)騙術(shù)和騙子產(chǎn)品那樣，從技術(shù)上研究讓老年人盡享“網(wǎng)便”防止“網(wǎng)騙”。當(dāng)然，老年朋友也當(dāng)自警自省自勵(lì)：多學(xué)多練，出了問題別對(duì)家人隱瞞。

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是基于種群的智能優(yōu)化算法，通過群體中粒子間的相互合作和競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)生的群體指導(dǎo)優(yōu)化搜索．PSO具有全局尋優(yōu)能力以及較強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力，廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和其他遺傳算法中．相比于其他學(xué)者采用的遺傳算法(GA)，PSO沒有交叉以及變異的操作，粒子只根據(jù)內(nèi)部的速度進(jìn)行更新，因此原理上更為簡(jiǎn)單，參數(shù)也少，更加有利于編程實(shí)現(xiàn)[11]．因此，將PSO引入到CO算法的系統(tǒng)級(jí)尋優(yōu)中，配合罰函數(shù)的使用，能夠讓優(yōu)化過程更加快速、有效．

2.4 優(yōu)化算法的實(shí)現(xiàn)

本文中的CO算法框架以及PSO的求解均是在Matlab軟件中編程實(shí)現(xiàn)．

3 算例實(shí)驗(yàn)

3.1 二次函數(shù)優(yōu)化問題

采用一2維問題來進(jìn)行驗(yàn)證，其數(shù)學(xué)表述如下：

(5)

c2=βx1+x2≥2

取β=0.5，最優(yōu)解為(0.8,1.6)，fmin=3.2．按照協(xié)同優(yōu)化算法的規(guī)則，將原問題拆分為兩個(gè)子學(xué)科，其結(jié)構(gòu)如下：

系統(tǒng)級(jí)：

(6)

子學(xué)科1：

(7)

子學(xué)科2：

(8)

由于子學(xué)科2中約束對(duì)系統(tǒng)整體的影響權(quán)重較大，所以對(duì)d1和d2各自分配不同的懲罰因子γ1和γ2，其中γ1=1+m1*d1，γ2=1+m2*d2．經(jīng)過多次試驗(yàn)分析，得出d2的權(quán)重要大于d1的，需要提高d2的精度要求，因此固定m1=10^3，而m2的值分別取10^6、10^9和10^12，來進(jìn)行對(duì)比分析，如表1所示．

3.2 齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題

齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題是NASA評(píng)估多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化算法性能的標(biāo)準(zhǔn)算例之一，是由Golinsk首先提出[12]，其目標(biāo)是在滿足轉(zhuǎn)軸與齒輪大量約束的同時(shí)，使得減速器體積最小．

該問題包含7個(gè)設(shè)計(jì)變量：x1為齒面寬度，x2為齒輪模數(shù)，x3為小齒輪齒數(shù)，x4和x5為小大齒輪的軸承間距，x6和x7為小大齒輪的直徑．另外，包含11個(gè)約束：g1～g11．設(shè)計(jì)變量取值范圍及約束計(jì)算公式如下：

表1不同m2值求得的優(yōu)化結(jié)果比較

a) m2=10^6

初始值優(yōu)化結(jié)果目標(biāo)函數(shù)約束d1約束d2誤差%(1,2)(0.8052,1.5865)3.16526.5612E-079.5827E-051.0875(4,1)(0.8042,1.5868)3.16476.5490E-079.8609E-051.103125(0,1)(0.8105,1.5838)3.16556.6615E-079.5155E-051.078125(2,3)(0.7953,1.5917)3.1666.5245E-079.0568E-051.0625

b) m2=10^9

初始值優(yōu)化結(jié)果目標(biāo)函數(shù)約束d1約束d2誤差%(1,2)(0.8000,1.5986)3.19557.2941E-071.5837E-060.140625(4,1)(0.8210,1.5888)3.19846.7813E-073.7820E-070.05(0,1)(0.7994,1.5991)3.19627.9577E-071.1551E-060.11875(2,3)(0.7727,1.6138)3.20167.9550E-073.7696E-080.05

c) m2=10^12

初始值優(yōu)化結(jié)果目標(biāo)函數(shù)約束d1約束d2誤差%(1,2)(0.9345,1.5325)3.22182.2140E-076.3980E-080.68125(4,1)(0.9835,1.5082)3.24189.4343E-081.5966E-081.30625(0,1)(0.7207,1.6397)3.20787.9323E-072.1406E-090.24375(2,3)(0.9798,1.5102)3.24079.8775E-081.9260E-081.271875

對(duì)問題進(jìn)行優(yōu)化分解，得到1個(gè)系統(tǒng)級(jí)和3個(gè)子學(xué)科級(jí)．構(gòu)造系統(tǒng)級(jí)中的目標(biāo)函數(shù)，動(dòng)態(tài)罰因子為γ=1000+10^8*(d1+d2+d3)．系統(tǒng)級(jí)和學(xué)科級(jí)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

系統(tǒng)級(jí)：

min=f(z)=f1+f2+f3+(1000+108*(d1+d2+d3))*(d1+d2+d3)

(9)

子學(xué)科1：

(10)

子學(xué)科2：

(11)

子學(xué)科3：

(12)

本例中的約束較多，因此各學(xué)科動(dòng)態(tài)罰因子中的m值選取同一值，不單獨(dú)處理．計(jì)算時(shí)選取四個(gè)不同的初始點(diǎn)，對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行比較．

表2 不同初始點(diǎn)的求解結(jié)果

文獻(xiàn)[12]中的求解結(jié)果是(3.5,0.7,17,7.3,7.71,3.35,5.29)，最優(yōu)值是2996.296．本文所得結(jié)果與其相近且有所降低．從表2可以看出，基于PSO的CO算法的尋優(yōu)能力不受初始解的影響，均能獲得全局最優(yōu)解，該算法具有良好的魯棒性．

4 結(jié)論

本文對(duì)協(xié)同優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，指出算法系統(tǒng)級(jí)中存在的問題，針對(duì)此問題提出了基于動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的PSO-CO算法．通過學(xué)科間不一致信息，構(gòu)造系統(tǒng)級(jí)中目標(biāo)函數(shù)的動(dòng)態(tài)罰因子，提出新的目標(biāo)函數(shù)形式，同時(shí)根據(jù)學(xué)科的約束條件不同，為其動(dòng)態(tài)罰因子選取不同的懲罰權(quán)重．動(dòng)態(tài)罰函數(shù)消除了原有的一致性等式約束，大大提高了計(jì)算精度．而系統(tǒng)級(jí)的求解過程引入了PSO，較傳統(tǒng)的算法，PSO具有很強(qiáng)的全局搜索能力、收斂速度快，同時(shí)初始值的選取對(duì)PSO的求解結(jié)果沒有影響，魯棒性良好．以兩個(gè)算例進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析比較，驗(yàn)證所提方法的可行性和準(zhǔn)確性．

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APSO-COAlgorithmBasedonDynamicPenaltyFactor

CHENChao-he,YAOZhuang-le

(School of Civil Engineering and Transportation,South China University of Technology,Guangzhou 510641,China)

This paper analyzes the problem existing in the collaborative optimization algorithm,and modifies the consistency equality constraint problem in system level using dynamic penalty function as a solution,making it into an unconstrained problem.In addition,the proposed method that assigns different penalty weights for different disciplines will improves accuracy greatly.Meanwhile,using particle swarm optimization algorithm to replace the original algorithm,not only eliminates the impact of the initial solution for the optimization results,but also improves the overall speed of the algorithm for solving.The running of this algorithm is realized in the Matlab software.At the same time,using two typical examples to validate the algorithm shows that it has better optimization performance.

collaborative optimization(CO);particle swarm optimization (PSO);dynamic penalty factor;Matlab

郎集會(huì))

2014-05-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51039006)

陳超核(1962-)，男，湖南省藍(lán)山縣人，現(xiàn)為華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師．研究方向：船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、波浪載荷與船舶直接計(jì)算法設(shè)計(jì)等．

TP301.6

A

1674-3873-(2014)03-0017-05