基于無偏估計的不敏卡爾曼濾波方法

摘 要：傳統(tǒng)不敏卡爾曼濾波方法（UKF）在對極-直角坐標(biāo)變換中的誤差進(jìn)行分析時，采用了線性近似的簡單方式。當(dāng)量測方位誤差較大時，無法準(zhǔn)確估計出實(shí)際的直角坐標(biāo)位置與誤差協(xié)方差矩陣。針對該問題，本文提出了基于無偏估計的UKF（UKF-U），以抑制方位誤差對估計結(jié)果的影響。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法可有效降低方位誤差影響，提升目標(biāo)跟蹤的定位精度。

關(guān)鍵詞：不敏卡爾曼濾波；無偏估計；坐標(biāo)變換

中圖分類號：TN957.51

在對雷達(dá)、聲納等探測系統(tǒng)中，目標(biāo)的狀態(tài)方程與量測方程通常是建立在不同的坐標(biāo)系下，存在著由量測極坐標(biāo)到狀態(tài)直角坐標(biāo)系的變換過程。而這一變換中又存在著三角變換關(guān)系，屬于非線性問題范疇，因此傳統(tǒng)的線性卡爾曼濾波方法[1]（KF）無法直接進(jìn)行處理。轉(zhuǎn)換坐標(biāo)卡爾曼濾波（CMKF）和擴(kuò)展卡爾曼濾波器[2]（EKF），均是采用了線性近似的方式，給出了原問題的一個線性近似解，當(dāng)變換過程中引入的高階誤差較大時，會出現(xiàn)跟蹤性能下降，甚而會出現(xiàn)濾波發(fā)散的問題。文獻(xiàn)[3]從無偏估計的角度出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)了坐標(biāo)變換中的誤差產(chǎn)生與協(xié)方差估計，有效抑制了量測方位誤差對于濾波效果的影響。

文獻(xiàn)[4]提出的不敏卡爾曼濾波（UKF），在無需計算雅可比矩陣的基礎(chǔ)上，能夠以二階泰勒級數(shù)精度逼近非線性系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)分布，能夠很好地刻畫目標(biāo)的非線性運(yùn)動模型，濾波精度高于EKF。王璐等人[5]通過最大期望算法，實(shí)現(xiàn)了對系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計特性的在線估計，提高了算法的魯棒性。然而UKF在面對雷達(dá)目標(biāo)跟蹤時依然存在極坐標(biāo)-直角坐標(biāo)間的變換過程，因此在量測方位誤差較大時，仍然存在高階誤差補(bǔ)償?shù)膯栴}。有鑒于此，本文提出一種無偏估計的UKF（U-UKF），從統(tǒng)計角度降低坐標(biāo)變換的估計誤差，提升目標(biāo)的跟蹤精度。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文方法可有效抑制量測誤差影響，提高不敏濾波方法的定位精度。

1 坐標(biāo)變換與無偏估計

令（r，θ）表示目標(biāo)的真實(shí)距離與方位，且對應(yīng)的量測誤差分別表示為 ，則當(dāng)前的量測值（rm，θm）與轉(zhuǎn)化后的笛卡爾直角坐標(biāo)（xm，ym）可表示為：

（1）

xm=rmcos（θm） ym=rmsim（θm） （2）

其中，假定 和 相互獨(dú)立，是分別具有標(biāo)準(zhǔn)差為σr和σθ的零均值高斯分布。則此時直角坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換量測誤差表示為：

（3）

文獻(xiàn)[3]從無偏估計的角度出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)了量測誤差與變換誤差間的關(guān)聯(lián)，并給出估計補(bǔ)償，給出了極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的無偏變換及誤差協(xié)方差估計：

（4）

（5）

其中 ， 。當(dāng)方位誤差 足夠小時，假定一階以上變換誤差可忽略不計，則可以通過一階泰勒級數(shù)展開的方式，式（3）轉(zhuǎn)化為以線性近似進(jìn)行計算：

（6）

此時對應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣RL可以表示為：

（7）

2 無偏的不敏卡爾曼濾波方法

依據(jù)公式（4）、（5），則可以得到U-UKF方法的算法流程如下：

（1） 初始化權(quán)重方程：

； ；

其中n表示濾波狀態(tài)變量的維度；α描述了Sigma點(diǎn)在均值周圍的延伸程度；β為調(diào)整參數(shù)；λ=α2（n+k）-n為比例參數(shù)，可以起到調(diào)節(jié)高階矩的作用并減少預(yù)測誤差；k描述了系統(tǒng)分布信息，滿足高斯分布時一般取值為2。

（2） 獲取目標(biāo)的量測值zm（k）=[rm（k） θm（k）]，并依據(jù)公式（4）、（5）計算得到直角坐標(biāo)下的轉(zhuǎn)換量測zc（k）=[xU（k） yU（k）]和誤差協(xié)方差矩陣RU（k）；

（3） 計算Sigma點(diǎn)：

（4） 預(yù)測更新：

（5） 量測更新：

最后得到的 即為當(dāng)前量測zc（k）的濾波結(jié)果。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

仿真場景中，目標(biāo)起始位置位于（105，105）m，初始速度為（200，200）m/s，周期采樣率設(shè)置為1秒，狀態(tài)噪聲是相互獨(dú)立的零均值白高斯噪聲，各坐標(biāo)軸方向標(biāo)準(zhǔn)差為0.01m/s2。雷達(dá)對目標(biāo)的測量誤差 是相互獨(dú)立的零均值高斯噪聲，標(biāo)準(zhǔn)差分別為σr=100、σθ={1.5，2.5}°。分別采用傳統(tǒng)CV-UKF與U-UKF對上述運(yùn)動目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。圖1和圖2給出了兩種方法在不同方位誤差時濾波定位精度的結(jié)果比較。從圖中可以看出，本文方法的濾波結(jié)果明顯優(yōu)于CV-UKF，并隨著方位誤差的增加而愈來愈明顯。

圖1 方位誤差為1.5°時位置（上）與速度（下）均方誤差比較

圖2 方位誤差為2.5°時位置（上）與速度（下）均方誤差比較

4 結(jié)束語

針對極-直角坐標(biāo)間的變換誤差，本文在UKF的基礎(chǔ)上提出了無偏的不敏卡爾曼濾波方法（UKF-U），避免了線性化處理對高階誤差項(xiàng)的丟失，抑制了方位誤差對于濾波精度的影響。另外，該方法還可通過對檢測出目標(biāo)進(jìn)行精確定位，為后續(xù)SAR/GMTI雷達(dá)情報處理與變化檢測等應(yīng)用提供重要幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]何友，修建娟，張晶煒.雷達(dá)數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用（第二版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2009.

[2]Wen C.L.，Ge Q.B..A data fusion algorithm of the nonlinear system based on filtering step by step[J].International Journal of Control，Automation，and Systems，2006（02）：165-171.

[3]Duan Z.，Han C.，Li X.R..Comments on“Unbiased Converted Measurements for Tracking”[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2004（04）：1374-1377.

[4]Julier S.J.，Uhlman J.K..A new method for the nonlinear transformation of the means and covariances in filters and estimators[J].IEEE Trans.On Auto Control，2000（03）：477-482.

[5]王璐，李光春，喬相偉.基于極大似然準(zhǔn)則和最大期望算法的自適應(yīng)UKF算法[J].自動化學(xué)報，2012（07）：1200-1210.

作者簡介：侯書東（1986-），男，安徽肥西人，工程師，博士，研究方向：雷達(dá)數(shù)據(jù)處理。

作者單位：中國電子科技集團(tuán)公司第38研究所，合肥 230088

基金項(xiàng)目：國家高技術(shù)發(fā)展計劃“863”項(xiàng)目（2011AA120404）。