等參元在科學可視化中的應用

摘 要：為了提高科學可視化過程中各類算法的速度，對等參元做較全面的分析，提出在科學可視化過程中應用等參元的方法。首先分析了等參元的基本概念；然后計算推導出各種類型網格單元對應的等參元模型及其形函數；最后以四邊形網格為例，利用等參元進行各類可視化技術。該方法已經應用在實際工程中，證明他是可行和高效的。

關鍵詞：科學可視化；等參元；形函；坐標變換；網格

中圖分類號：TB115

1 等參元

等參元技術廣泛應用于有限元分析、科學可視化等各個領域中，早期主要用于網格構造，近年來在可視化過程中應用也越來越廣泛。等參元技術的基本思想是：利用坐標變換將不規(guī)則網格映射到規(guī)則的等參元中，在等參元中進行計算，得到結果后再映射回不規(guī)則網格。

1.1 等參元的意義和定義

可視化過程中常常需要插值計算網格內部某點的物理場值（如溫度場、位移場等），對于規(guī)則的網格單元，插值計算的計算量不大，可以直接計算。但是規(guī)則網格單元對曲線邊界的擬合不好。不規(guī)則的復雜網格單元（例如不規(guī)則三角形、不規(guī)則四邊形，甚至包括曲線邊界單元）可以較好的擬合實體區(qū)域邊界，因此在實際使用中不規(guī)則網格應用更廣泛。但是不規(guī)則網格中插值計算比較復雜，計算量較大，因此考慮進行坐標變換。

首先在規(guī)則單元中進行場值的計算（這樣計算要比在不規(guī)則單元中快很多），再通過一一對應的坐標變換，把規(guī)則的單元轉變成形狀不規(guī)則的單元，就可以得到真實空間中的場值。所以，等參元本質上是一種坐標變換。如果單元邊上只有兩個節(jié)點（例如四節(jié)點四邊形單元），則插值函數一般采用二次函數（例如雙線性插值函數）。

我們將真實空間稱為物理空間，將理想的規(guī)則的等參單元所在的空間稱為邏輯空間，等參元變換就是從邏輯空間向物理空間的一種坐標變換。

有限元法中邏輯空間與物理空間網格單元之間的坐標變化和網格單元內物理場函數采用了相同的節(jié)點映射函數（即節(jié)點形函數），故稱為等參數映射，簡稱等參元（isoparametric elements）。正是因為物理場值模式（例如位移場、溫度場、應力場或應變場）和坐標變換式具有完全相同的構造，所含結點參數（結點位移和結點坐標）的個數彼此相同，采用的形函數也相同，這就是等參元這一名稱的由來。

當未知變量（例如位移、溫度等）的變化比單元的形狀（坐標）變化更劇烈時我們需要比描述形狀的N’（結點參數的個數）更為高次的N來描述未知量的變化，所以就產生了次參元，反之產生了超參元。次參元和超參元事實上就是坐標變換時插值的節(jié)點數m和物理場插值函數節(jié)點數n不同而已，而等參元中m和n則相同。

之所以使用等參元，主要是因為它具有一些優(yōu)點。首先等參元在計算機中編程實現更方便，其次也有數學上的需要。

任何一種坐標變換為了具有等價性，必須具有以下兩點性質。（1）完備性：即坐標變換中各個形函數分量應該滿足∑Ni=1。（2）協(xié)調性：等參元變換應該是協(xié)調的，即相鄰單元通過同樣的等參元變換后，在公共邊上的物理場（位移等）是一致的。而次參元和超參元一般不滿足上述要求，這樣就導致實際應用中等參元更常見。

1.2 形函數

可視化過程中，我們必須并且經常需要進行從邏輯空間到物理空間的坐標變換。例如進行流線分析時，我們首先在等參元網格中計算出了一系列的流線點（包括每點處的坐標值和物理場值），然后我們需要將其映射回真實的物理空間，并在物理空間中繪制出最終的流線。當我們在邏輯空間確定了一點的坐標和場值，我們需要將其坐標變換到物理空間中，此時我們用到形函數。必須注意，形函數本身并不是坐標變換函數，而只是確定了坐標變換函數（同時也是場值變換函數）中的參數。所以，可以說等參元變換就是基于形函數進行的。包括坐標變換和場值變換。

3 等參元的應用

作者已經將等參元方法應用于項目中。結果表明，等參元技術會極大的降低計算量，提高計算速度。實驗中在四邊形網格中利用等參元法繪制的兩個可視化圖形，描述的都是一個方形零件在左上角固定，右下角受力情況下位移場的情況。第一副為位移場求模后標量云圖，第二幅為位移場流線。測試用計算機為普通PC機，內存4G，CPU為INTEL G630，雙核，2.7G頻率。一圖繪制時間為0.1秒，二圖繪制時間為1.2秒，可知算法時間效率很高。

4 結束語

本文提出了一種新穎的思路，將等參元應用在各種網格類型中的可視化過程中，可以用來進行點定位和插值。算法已被應用到實際項目中，證明效率很高。當然由于時間和能力的原因，本算法有提高的余地，未來我們將研究將等參元與面積坐標法結合并推廣到三維網格類型中。

參考文獻：

[1]張迪.修改等參元[J].高校應用數學學報A輯，1986（04）.

作者單位：沈陽城市建設學院，沈陽 110167