趨勢平穩(wěn)過程與單位根過程的趨勢特征研究

左秀霞

（江蘇大學(xué) 財(cái)經(jīng)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212013）

一、引 言

趨勢是時(shí)間序列的重要特征。時(shí)間序列的趨勢分為確定性時(shí)間趨勢和隨機(jī)性趨勢兩種類型。趨勢平穩(wěn)序列只有確定性時(shí)間趨勢，沒有隨機(jī)性趨勢；而另一類時(shí)間序列——差分平穩(wěn)序列（序列存在單位根）則既有隨機(jī)性趨勢，也可能存在確定性時(shí)間趨勢。在判斷一個(gè)序列是趨勢平穩(wěn)還是差分平穩(wěn)的序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，需要考慮序列的確定性時(shí)間趨勢。這需要首先明確趨勢平穩(wěn)序列和差分平穩(wěn)序列的確定性時(shí)間趨勢特征。因此，研究趨勢平穩(wěn)序列和差分平穩(wěn)序列各自的確定性時(shí)間趨勢特征，就成為檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性的一個(gè)關(guān)鍵問題。

在序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，很多學(xué)者針對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)序列中確定性時(shí)間趨勢的非線性特征展開了研究。一部分學(xué)者是從結(jié)構(gòu)突變的角度進(jìn)行了分析，最突出的是Perron的開創(chuàng)性工作。Perron最先在PP等（半）參數(shù)單位根檢驗(yàn)中允許確定性時(shí)間趨勢部分存在結(jié)構(gòu)突變，提出了確定趨勢部分帶結(jié)構(gòu)突變的單位根檢驗(yàn)理論，并對(duì)美國的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析［1－2］。此外，也有學(xué)者對(duì)確定時(shí)間趨勢部分存在結(jié)構(gòu)突變的KPSS和Breitung等非參數(shù)單位根（平穩(wěn)性）檢驗(yàn)的相關(guān)理論進(jìn)行了研究［3－5］。

另一部分學(xué)者則是從高次趨勢的角度研究了宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的非線性時(shí)間趨勢特征。王少平分析了1978－1998年中國實(shí)際GNP的時(shí)間趨勢特征，認(rèn)為GNP具有二次趨勢。先退化了數(shù)據(jù)中的二次趨勢，然后對(duì)退化趨勢后的數(shù)據(jù)進(jìn)行了單位根檢驗(yàn)，認(rèn)為退化二次趨勢的數(shù)據(jù)是平穩(wěn)過程［6］。胡少東等對(duì)1952－2006年臺(tái)灣的實(shí)際GDP進(jìn)行了分析，認(rèn)為其服從帶結(jié)構(gòu)突變和二次趨勢的趨勢平穩(wěn)過程［7］。Cuestas等分析了19個(gè)國家1870－2003年人均實(shí)際GDP的平穩(wěn)性，發(fā)現(xiàn)7個(gè)國家的數(shù)據(jù)具有非線性和高次趨勢特征。作者先退化了這7個(gè)國家數(shù)據(jù)中的三次趨勢，然后對(duì)退化趨勢后的數(shù)據(jù)采用Kapetanios等人的平滑轉(zhuǎn)換的單位根檢驗(yàn)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)除法國之外6個(gè)國家的數(shù)據(jù)都是平穩(wěn)序列［8－9］。

上述研究都是先退化數(shù)據(jù)中的高次趨勢，然后對(duì)退化趨勢后的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)和進(jìn)一步分析。但數(shù)據(jù)經(jīng)過退化趨勢處理后，在進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布已經(jīng)發(fā)生了變化，所以不能再采用傳統(tǒng)檢驗(yàn)中的臨界值進(jìn)行檢驗(yàn)。然而，直接針對(duì)具有高次趨勢特征序列的單位根（平穩(wěn)性）檢驗(yàn)的研究卻屈指可數(shù)，只有Busetti和Taylor在分析結(jié)構(gòu)突變的KPSS平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，允許確定性趨勢部分含高次趨勢［4］。

由上述分析可見，要檢驗(yàn)具有高次趨勢特征序列的平穩(wěn)性，就需要對(duì)帶高次趨勢的單位根（平穩(wěn)性）檢驗(yàn)的相關(guān)理論進(jìn)行研究，而這又首先需要明確高次趨勢平穩(wěn)過程和帶高次趨勢的單位根過程各自對(duì)應(yīng)的確定性時(shí)間趨勢特征。在此基礎(chǔ)上，才能夠?qū)叽乌厔萏卣餍蛄械南嚓P(guān)收斂性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)。

本文先對(duì)高次趨勢平穩(wěn)過程和帶高次趨勢的單位根過程的概念及其時(shí)間趨勢特征分別進(jìn)行研究，然后討論序列時(shí)間趨勢特征的確定方法，為分析帶高次趨勢的單位根（平穩(wěn)性）檢驗(yàn)的相關(guān)理論打好基礎(chǔ)。

二、高次趨勢平穩(wěn)過程的趨勢特征

白噪聲過程是最特殊的平穩(wěn)過程，該過程圍繞0上下波動(dòng)，并且在每一時(shí)刻的取值完全隨機(jī)，不受前面時(shí)刻取值的影響。其定義如下：

白噪聲過程是最基本的平穩(wěn)過程，任何平穩(wěn)或非平穩(wěn)的隨機(jī)過程都是由白噪聲過程經(jīng)過構(gòu)造而生成。

（一）無確定部分的平穩(wěn)過程

與白噪聲過程不同，一般平穩(wěn)過程在前后時(shí)刻的取值是相關(guān)的，下面將給出無確定部分的一般平穩(wěn)過程的定義。

（二）帶截距的平穩(wěn)過程

如果平穩(wěn)過程不是圍繞0，而是圍繞某個(gè)常數(shù)上下波動(dòng)，則是帶截距的平穩(wěn)過程。

定義3：設(shè)｛εt｝是高斯白噪聲過程，ut＝ψ（L）εt，t＝1，2，…是平穩(wěn)過程，那么：

（三）線性趨勢平穩(wěn)過程

若趨勢平穩(wěn)過程不是圍繞0或某個(gè)常數(shù)上下波動(dòng)，而是具有某種隨時(shí)間變化的線性趨勢，則是線性趨勢平穩(wěn)過程。

（四）高次趨勢平穩(wěn)過程

如果趨勢平穩(wěn)過程具有隨時(shí)間變化的高次趨勢特征，則是高次趨勢平穩(wěn)過程。

定義5：設(shè)｛εt｝是高斯白噪聲過程，ut＝ψ（L）εt，t＝1，2，…是平穩(wěn)過程，那么：

三、帶高次趨勢的單位根過程的趨勢特征

在單位根過程中，最特殊的是隨機(jī)游走。該過程在任意兩個(gè)時(shí)刻間的變化都是完全隨機(jī)的，不受前面時(shí)刻取值和時(shí)刻間變化的影響。其定義如下：

定義6：設(shè)｛εt｝是高斯白噪聲過程，那么稱

可見，隨機(jī)游走是由白噪聲構(gòu)成的部分和過程，其波動(dòng)不具有穩(wěn)定性。

（一）不帶確定部分的單位根過程

與隨機(jī)游走不同，一般單位根過程的增量過程通常存在自相關(guān)，下面將給出不帶確定部分的單位根過程的定義。

定義7：設(shè)｛εt｝是高斯白噪聲過程，ut＝ψ（L）εt，t＝1，2，…是平穩(wěn)過程，那么：

是不帶確定部分的單位根過程，并稱ut是構(gòu)成單位根過程yt的增量過程［10］435－436。

由式（13）整理得：

可見，不帶確定部分的單位根過程是由平穩(wěn)過程構(gòu)成的部分和過程。不帶確定部分的單位根過程在任意兩個(gè)時(shí)刻間的變化不再是完全隨機(jī)的，而是與前面時(shí)刻間的變化相關(guān)。

隨機(jī)游走是一種典型的隨機(jī)性趨勢，而由一般平穩(wěn)過程構(gòu)成的部分和過程，即不帶確定部分的單位根過程，也可通過BN分解將其分解為一個(gè)隨機(jī)游走和一個(gè)周期部分［11］?？梢?，不帶確定部分的單位根過程含有隨機(jī)性趨勢。

（二）帶漂移的單位根過程

若單位根過程具有某種隨時(shí)間變化的線性趨勢，則是帶漂移的單位根過程。

定義8：設(shè)｛εt｝是高斯白噪聲過程，ut＝ψ（L）εt，t＝1，2，…是平穩(wěn)過程，那么：

是帶漂移的單位根過程，并稱ut是構(gòu)成單位根過程yt的增量過程。

由式（15）整理得：

可見，帶漂移的單位根過程是由關(guān)于時(shí)間t的線性函數(shù)和由平穩(wěn)過程構(gòu)成的部分和過程組合而成。因此，帶漂移的單位根過程既有隨時(shí)間變化的線性趨勢特征，也有隨機(jī)性趨勢特征。

（三）帶線性趨勢的單位根過程

如果單位根過程具有隨時(shí)間變化的二次趨勢特征，則是帶線性趨勢的單位根過程。

定義9：設(shè)｛εt｝是高斯白噪聲過程，ut＝ψ（L）εt，t＝1，2，…是平穩(wěn)過程，那么：

是帶線性趨勢的單位根過程，并稱ut是構(gòu)成單位根過程yt的增量過程。

由式（17）整理得：

可見，帶線性趨勢的單位根過程是由關(guān)于時(shí)間t的二次函數(shù)和由平穩(wěn)過程構(gòu)成的部分和過程組合而成。因此，帶線性趨勢的單位根過程既有隨時(shí)間變化的二次趨勢特征，也有隨機(jī)性趨勢特征。

（四）帶高次趨勢的單位根過程

如果單位根過程具有隨時(shí)間變化的k＋1（k≥2）次趨勢特征，則是帶k（k≥2）次趨勢的單位根過程。

定義10：設(shè) ｛εt｝是高斯白噪聲過程，ut＝ψ（L）εt，t＝1，2，…是平穩(wěn)過程，那么：

yt＝b0＋b1t＋b2t2＋…＋bktk＋yt－1＋ut，y0≠0（or＝0），t＝1，2，… （19）

是帶k（k≥2）次趨勢的單位根過程，并稱ut是構(gòu)成單位根過程yt的增量過程。

由式（19）整理得：

可見，帶k（k≥2）次趨勢的單位根過程是由關(guān)于時(shí)間t的k＋1次函數(shù)和由平穩(wěn)過程構(gòu)成的部分和過程組合而成。因此，帶k（k≥2）次趨勢的單位根過程既有隨時(shí)間變化的k＋1次趨勢特征，也有隨機(jī)性趨勢特征。

由以上分析可見，由于單位根過程中一階滯后項(xiàng)系數(shù)ρ＝1，從而使t時(shí)刻以前yt中的信息全部保留下來，因此yt中的時(shí)間趨勢也全部保留下來。這樣，經(jīng)過疊加使得帶漂移的單位根過程所含的時(shí)間趨勢特征實(shí)際是線性趨勢，帶線性趨勢的單位根過程所含的時(shí)間趨勢特征實(shí)際是二次趨勢，帶k（k≥2）次趨勢的單位根過程所含的時(shí)間趨勢特征實(shí)際是k＋1次趨勢。此時(shí)，yt中含有兩種趨勢：確定性趨勢和隨機(jī)性趨勢。

四、時(shí)間趨勢特征的確定

通過前面分析，可以確定k（k≥1）次趨勢平穩(wěn)過程和帶k（k≥1）次趨勢的單位根過程分別具有k次和k＋1次時(shí)間趨勢特征。然而，如何根據(jù)圖形確定一個(gè)趨勢平穩(wěn)過程或單位根過程的時(shí)間趨勢特征呢？

差分變換不僅可以將一個(gè)單位根過程變成一個(gè)（趨勢）平穩(wěn)過程，即消除序列的隨機(jī)性趨勢，而且還可以降低序列的確定性時(shí)間趨勢特征。如果一個(gè)序列yt含有k＋1（k≥0）次時(shí)間趨勢，那么序列的確定部分是關(guān)于時(shí)間t的k＋1次多項(xiàng)式，并且tk＋1項(xiàng)的系數(shù)c不為0。那么對(duì)yt一階差分后，原序列中的c·tk＋1項(xiàng)變?yōu)椋?/p>

式（21）中t的最高次項(xiàng)是（k＋1）c·tk項(xiàng)。因此，差分序列的確定性時(shí)間趨勢部分中t的最高次項(xiàng)是tk項(xiàng)，即差分一次可以使時(shí)間序列的趨勢特征降低一階。以此類推，差分m次就可以使序列的趨勢特征降低m階。

由此可見，對(duì)一個(gè)時(shí)間序列，無論是趨勢平穩(wěn)還是單位根，都可以通過差分來確定其時(shí)間趨勢特征。具體而言，如果一個(gè)序列經(jīng)過至少m次差分才可以消除其時(shí)間趨勢特征，或如果一個(gè)序列經(jīng)過m－1次差分后具有隨時(shí)間變化的線性趨勢特征，那么該序列具有m次時(shí)間趨勢特征。

五、結(jié)論和進(jìn)一步研究

為了研究具有高次趨勢特征序列的單位根檢驗(yàn)問題，本文對(duì)高次趨勢平穩(wěn)過程和帶高次趨勢的單位根過程的時(shí)間趨勢特征分別進(jìn)行了討論和分析。通過研究發(fā)現(xiàn)，一階滯后項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值小于1使得（趨勢）平穩(wěn)過程在每一時(shí)刻的包括時(shí)間趨勢在內(nèi)的所有信息都只有一部分被保留下來，因此經(jīng)過疊加就使k（k≥0）次（趨勢）平穩(wěn)過程具有k（k≥0）次趨勢特征。而一階滯后項(xiàng)系數(shù)等于1使得單位根過程在每一時(shí)刻的包括時(shí)間趨勢在內(nèi)的所有信息全部保留下來，因此經(jīng)過疊加使帶漂移的單位根過程實(shí)際具有線性趨勢特征，帶k（k≥1）次趨勢的單位根過程具有k＋1次趨勢特征，并且yt中此時(shí)含有確定性趨勢和隨機(jī)性趨勢兩種趨勢。分析還發(fā)現(xiàn)，無論是趨勢平穩(wěn)還是單位根過程，都可以通過差分變換確定其時(shí)間趨勢特征。

明確了趨勢平穩(wěn)過程和單位根過程的時(shí)間趨勢特征，對(duì)于具有k＋1次時(shí)間趨勢特征的序列｛yt｝的單位根檢驗(yàn)問題還有待進(jìn)一步研究。

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