淺談利用函數(shù)定義域?qū)W(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)

秦永

函數(shù)定義域在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中看起來(lái)簡(jiǎn)單，但在解題過(guò)程中如果對(duì)之有所忽視，往往會(huì)使解題思路走向歧途，有勞而無(wú)功。通過(guò)多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)現(xiàn)，利用定義域?qū)瘮?shù)的作用，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練和提高，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)是很有好處的。

一、利用函數(shù)關(guān)系式與定義域，培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

在數(shù)學(xué)教學(xué)中往往會(huì)出現(xiàn)求解函數(shù)的關(guān)系式，遇到這樣問(wèn)題時(shí)如果忽視了所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，將會(huì)使求解函數(shù)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論。

例1：用長(zhǎng)14.8m的鋼條來(lái)制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，若所制容器底面一邊長(zhǎng)為x，且比另一底邊小0.5m，求容積V關(guān)于邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式。

解：設(shè)容器高為h，則4（x+0.5+x+h）=14.8，所以h=3.2-2x

V=x（0.5+x）（3.2-2x）=-2x■+2.2x■+1.6x

本題解答到這里并沒(méi)有結(jié)束，從題目中我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式還缺少自變量x的取值范圍。此時(shí)如果引導(dǎo)學(xué)生注意解題思路的嚴(yán)密性，強(qiáng)調(diào)函數(shù)三要素，學(xué)生將會(huì)有所發(fā)現(xiàn)：

因?yàn)檫呴L(zhǎng)x和x+0.5以及高h(yuǎn)均大于0，所以由：

x>0x+0.5>03.2-2x>0得：0

學(xué)生思維一旦缺乏嚴(yán)密性，就很容易忽視函數(shù)自變量定義域，所以在用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，務(wù)必注意函數(shù)自變量的取值范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的影響，對(duì)學(xué)生加強(qiáng)必要引導(dǎo)和訓(xùn)練。

二、利用函數(shù)最值與定義域，培養(yǎng)思維靈活性

數(shù)學(xué)函數(shù)求最值的問(wèn)題充分體現(xiàn)函數(shù)定義域的重要性。如果忽視定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。

例2：已知函數(shù)f（x）=■，x≥1

（1）當(dāng)a=■時(shí)，求f（x）的最小值。

（2）若對(duì)任意x≥1，f（x）>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：此題第（1）問(wèn)，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生三種思路：①利用單調(diào)性的定義證明f（x）的單調(diào)性再求最值；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性再求最值；③利用均值不等式求最值。而前兩種方法都較為繁瑣，所以學(xué)生很容易偏向第三種解法。

錯(cuò)解：（1）a=■時(shí)，f（x）=■=x+■+2≥2■+2=2+■，當(dāng)且僅當(dāng)x=■時(shí)，即x=±■時(shí)，f（x）■=2+■

剖析：盡管學(xué)生想到了均值不等式這樣簡(jiǎn)潔的方法，但是忽視了均值不等式的應(yīng)用條件和函數(shù)的定義域。因?yàn)椤馈?1，+∞，所以“=”取不到，故此解法錯(cuò)誤。

（2）在（1）的教訓(xùn)下，學(xué)生在解答這一小題時(shí)開(kāi)始注意到“x≥1”這個(gè)條件，于是作如下解答：

由f（x）>0恒成立且x≥1可得x■+2x+a>0恒成立，由二次函數(shù)的知識(shí)可知，只需要令△<0，即4-4a<0，所以a>1。

或者作如下解：

若x■+2x+a>0恒成立，則a>-x■-2x恒成立，則只需要令a大于-x■-2x的最大值即可。又-x■-2x=-（x+1）■-1≤-1，所以a>-1。

但是這兩個(gè)答案都是錯(cuò)的，都是沒(méi)能把定義域考慮完全，盡管在開(kāi)始的變形與轉(zhuǎn)化中已經(jīng)注意到這個(gè)問(wèn)題，但是隨著解題的深入，在思維定勢(shì)的影響下，定義域又忘了。

正解：思路一，∵x≥1，若f（x）=■>0恒成立，則只需要x■+2x+a>0恒成立，∵二次函數(shù)g（x）=x■+2x+a在[1，+∞）上遞增，若在x≥1時(shí)，g（x）恒大于0，則只需要g（1）>0?！?+a>0，即a>-3。

思路二，由x■+2x+a>0恒成立可得a>-x■-2x恒成立，設(shè)g（x）=-x■-2x，其中，x≥1，則只需要a>g（x）■=g（1）=-3，所以a>-3。

由此我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解題過(guò)程中的思維嚴(yán)密性和靈活性不是短期內(nèi)就能養(yǎng)成的，這時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生注意自變量的取值范圍，這樣就可以打破學(xué)生的思維定勢(shì)，提高其靈活性。

三、利用函數(shù)值域與定義域的關(guān)系，培養(yǎng)思維批判性

在數(shù)學(xué)函數(shù)中當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定下來(lái)，函數(shù)的值也將會(huì)隨之而確定。因此，我們?cè)诮獯鸷瘮?shù)值域的問(wèn)題時(shí)，要高度重視函數(shù)定義域的問(wèn)題。

例3：已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-sinx-cosx，求f（x）的值域。

錯(cuò)解：設(shè)sinx+cosx=t，則sinxcosx=■，所以，f（x）=g（t）=■t■-t-■=（t-1）■-1≥-1，故f（x）的值域?yàn)閇―1，+∞）。

剖析：換元后sinx+cosx=t=■sin（x+■）∴-■≤t≤■

∴g（t）■=g（-■）=■+■，g（t）■=g（1）=-1

∴f（x）的值域是[-1，■+■]。

自變量的取值范圍對(duì)函數(shù)值域非常重要，因此，教師要能夠嚴(yán)格要求學(xué)生對(duì)做完的習(xí)題進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)和修訂錯(cuò)誤，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生思維的批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

四、利用函數(shù)單調(diào)性與定義域，培養(yǎng)思維深刻性

在解答函數(shù)習(xí)題時(shí)，千萬(wàn)不能忽略函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)強(qiáng)調(diào)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨之增減的情況，討論函數(shù)單調(diào)性在給定的定義域區(qū)間上的變化情況。

例4：指出函數(shù)f（x）=■的單調(diào)區(qū)間。

解：先求定義域：∵log■（x■―2x）≠0，∴x■―2x≠1

又∵x■―2x>0，所以函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

（-∞，1-■）∪（1-■，0）∪（2，1+■）∪（1+■，+∞）

設(shè)u= x■-2x，則u在（-∞，1-■）和（1-■，0）上遞減，在（2，1+■）和（1+■，+∞）上遞增。根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，可知f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，1-■）和（1-■，0）；單調(diào)增區(qū)間是（2，1+■）和（1+■，+∞）。

如果學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念不清楚，理解不深刻，在習(xí)題訓(xùn)練時(shí)，只會(huì)死套公式；由于思維缺乏深刻性，對(duì)于解題方法的實(shí)質(zhì)以及所用到的知識(shí)點(diǎn)都不能夠深刻領(lǐng)會(huì)，在答題時(shí)，也一定不會(huì)考慮到函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。所以，教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)重視學(xué)生的反思過(guò)程，反思解題過(guò)程和方法，反思解題所用到的知識(shí)點(diǎn)，以此達(dá)到檢查遺漏，補(bǔ)缺補(bǔ)差，避免再犯的目的。

綜上所述，函數(shù)定義域?qū)η蠼夂瘮?shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等數(shù)學(xué)問(wèn)題是非常重要，如果在教學(xué)中把與定義域有關(guān)的問(wèn)題集中起來(lái)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣、思維品質(zhì)，同時(shí)還有利學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

【責(zé)編 張景賢】