小波變換在一二維空間中去噪應(yīng)用

【摘要】本文通過(guò)對(duì)小波變換理論的深入認(rèn)識(shí)，加深多頻率分析和Mallat分解和重構(gòu)信號(hào)圖像理論研究，在matlab環(huán)境下仿真，實(shí)現(xiàn)小波圖像去噪，體現(xiàn)出小波去噪的優(yōu)勢(shì)。

【關(guān)鍵詞】小波變換；圖像去噪；多頻率分析；Mallat分解和重構(gòu)

1.引言

圖像處理是將圖像通過(guò)計(jì)算機(jī)技術(shù)變?yōu)榱硗庖环薷牡膱D像或者是從中提取圖像測(cè)量所需測(cè)度的過(guò)程，現(xiàn)在圖像編碼、壓縮、傳輸、去噪以及重現(xiàn)等技術(shù)都是以獲得更清晰更高質(zhì)量的圖片為目的，但是在實(shí)際實(shí)物轉(zhuǎn)換為圖像的過(guò)程中，在圖像的生成、編碼、壓縮、傳輸、重現(xiàn)的過(guò)程中，由于設(shè)備的非線性噪聲，還有設(shè)備噪聲以及環(huán)境兼容性等等，都不可避免的產(chǎn)生噪聲。

圖像去噪是圖像處理的一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。去噪的方法有很多種，在空間域內(nèi)，有偏最小二乘法，均值濾波，自適應(yīng)濾波器，幾何均值濾波器還有維納濾波等等，在頻域內(nèi)，運(yùn)用保留低頻成分或低尺度的方法減小噪聲[1]，但是在效果方面小波去噪的效果要好些，因?yàn)檫@些都在去噪的同時(shí)，不可避免的丟失許多圖像的高頻信息。但是，小波去噪可以克服這些問(wèn)題。

2.圖像去噪

圖像去噪是一個(gè)針對(duì)性很強(qiáng)的技術(shù)，根據(jù)不同應(yīng)用、不同要求需要采取不同的處理方法。采用的方法是綜合各學(xué)科較先進(jìn)的成果而成的，如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、心理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、通信理論、信號(hào)分析學(xué)等等；各學(xué)科互相補(bǔ)充、互相滲透使得數(shù)字圖像去噪技術(shù)飛速發(fā)展。就目前應(yīng)用的方法來(lái)看，計(jì)算機(jī)圖像去噪處理主要采取兩大類方法：一類是空域中的去噪處理，即在圖像空間中對(duì)圖像進(jìn)行各種去噪處理；另一類是把空域中的圖像經(jīng)過(guò)變換，如傅立葉變換、小波變換，變換到頻率域，在頻率域內(nèi)進(jìn)行各種去噪處理，然后再變回圖像的空間域，形成去噪處理后的圖像。[2]

圖像去噪的原理就是利用噪聲和信號(hào)在頻域上的分布不同而完成的。信號(hào)主要集中在低頻區(qū)，高頻部分主要是噪聲和低頻信號(hào)。

圖像去噪的目標(biāo)就是從含噪圖像中去估計(jì)得到原始像，使得去噪圖像是原始圖像的最佳估計(jì)。圖一給出了原始圖像f（i，j）被加性噪聲ε（i，j）污染，產(chǎn)生含噪圖像g（i，j）的過(guò)程（即退化）。圖像去噪的任務(wù)就是從含噪圖像g（i，j）得到原始圖像f（i，j）的估計(jì)，要求f（i，j）盡可能的逼近，同時(shí)最大限度的濾除噪聲。[3]

3.小波變換理論研究

小波變換在圖像去噪領(lǐng)域的成功應(yīng)用主要得益于

兩點(diǎn)：（1）小波變換對(duì)圖像的稀疏性表示，即經(jīng)過(guò)小波變換后，圖像大部分能量集中在少數(shù)的小波系數(shù)上，而大多數(shù)系數(shù)能量很?。唬?）小波變換的多分辨率特性使其能夠較好地刻畫信號(hào)時(shí)頻局部化特征。正因?yàn)槿绱?，小波域中的信、噪分離較之傳統(tǒng)的去噪方法具有獨(dú)特的優(yōu)越性，目前，基于小波的去噪方法已成為圖像去噪和恢復(fù)的重大分支和主要研究方向[4]。本文采用的是小波去噪方法。

3.1 小波變換

一個(gè)信號(hào)從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，小波是一個(gè)自變量為時(shí)間t的函數(shù)f（t）。因?yàn)樾盘?hào)是能量有限的。即：

其中小波基ψab（t）相當(dāng)于時(shí)-頻局部窗函數(shù)，是母小波ψ（t）經(jīng)平移和伸縮的結(jié)果；a尺度因子，是ψab（t）中的頻率參數(shù)，b是平移因子，是ψab（t）中的時(shí)間參數(shù)。從上述定義可看出，小波變換是一種積分變換，它將一個(gè)時(shí)間函數(shù)變換到時(shí)間-尺度相平面[5]。

小波函數(shù)ψ（t）必須滿足小波的允許條件：

因ψ（t）∈L2（t），∫Rψ（t）2dt<+∞，所以ψ（t）應(yīng)該具有快速衰減性；而（6）式同時(shí)也表明ψ（t）具有波動(dòng)性。因此ψ（t）是像波一樣的快速衰減函數(shù)，形如小的波，所以稱ψ（t）為小波[5]。

小波分析也是將信號(hào)分解為一系列小波函數(shù)的疊加，屬于時(shí)頻分析的一種，小波變換運(yùn)用二維二進(jìn)制離散小波變換，將原始信號(hào)用一組不同尺度的帶通濾波器進(jìn)行濾波，將信號(hào)分解到一系列頻帶上進(jìn)行分析處理。

3.2 多分辨分析

信號(hào)多分辨率分析定義為一系列連續(xù)逼近的閉合子空間凡，該子空間滿足下列特性[6]：

（1）一致單調(diào)性：

（2）伸縮規(guī)則性：

（3）漸進(jìn)完全性：

小波變換和多分辨率分析理論是以一維信號(hào)分析的。但是時(shí)這些理論也是可以推廣到二維的。在算法實(shí)現(xiàn)上，二維圖象的小波分解可以用類似于一維的樹狀算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，在每一層的分解中如圖五所示。

一維小波的重建算法同樣可以推廣到二維圖象的情況。此時(shí)，在每一層中，圖像重生如圖六所示。即每列之間，插入一列零值，用一維濾波器與行卷積；再生成圖象的每行間再插入一行零值，用另一維濾波器與列卷積。

4.小波去噪以及仿真結(jié)果

圖像去噪的原理就是利用噪聲和信號(hào)在頻域上的分布不同而完成的。信號(hào)主要集中在低頻區(qū)，高頻部分主要是噪聲和低頻信號(hào)。

4.1 一維小波變換的去噪情況

本文實(shí)驗(yàn)所用PC機(jī)，內(nèi)存為2G，CPU為4G，實(shí)驗(yàn)軟件平臺(tái)為Matlab2007a。以正弦波和輪胎圖片為例，在matlabR2009A的軟件下仿真器去噪[8]。

利用小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，然后通過(guò)閥值信號(hào)進(jìn)行去噪。也可以用下面的程序控制：

Matlab的核心代碼：

圖像越接近原始信號(hào)說(shuō)明去噪信號(hào)越好。從圖可以看出，小波效果比較明顯。

4.2 二維圖像的小波去噪的主要過(guò)程

（1）裝入原始圖像，首先利用高斯噪聲對(duì)原始圖像進(jìn)行預(yù)處理。

（2）圖像的小波分解。根據(jù)Mallat的塔式分解理論，圖像經(jīng)過(guò)一級(jí)小波變換后被分解成為四個(gè)頻帶：水平、垂直、對(duì)角線三個(gè)高頻部分和一個(gè)低頻部分。有時(shí)考慮到經(jīng)小波分解后的低頻系數(shù)部分仍含有一部分噪聲，就可以對(duì)低頻部分進(jìn)行二級(jí)小波分解?；趫D像和噪聲進(jìn)行小波變換后具有不同的特性，信號(hào)中的有用信息主要集中在低頻區(qū)，而噪聲分布在所有小波系數(shù)中且主要表現(xiàn)在高頻區(qū)，經(jīng)過(guò)小波變換后圖像細(xì)節(jié)也主要表現(xiàn)在高頻區(qū)，簡(jiǎn)單地把高頻區(qū)去除時(shí)會(huì)失去許多重要的細(xì)節(jié)信息，為了解決這一問(wèn)題，可以利用噪聲經(jīng)小波分解后系數(shù)幅值都比較小的特點(diǎn)，設(shè)置不同的閾值過(guò)濾掉噪聲而達(dá)到去噪的目的。

（3）小波分解圖像信號(hào)，確定小波基函數(shù)，確定小波分解的層次。小波基的選擇具有正交性。選擇小波sym4。

（4）多分辨分析閥值采取的是經(jīng)驗(yàn)值。

（5）重構(gòu)圖像信號(hào)

輪胎原圖在加高斯噪聲的情況下，在對(duì)其進(jìn)行小波去噪仿真，主要是針對(duì)小波的一層分解和二層分解。

對(duì)輪胎圖片的其他方法去噪仿真，包括均值去噪，巴斯低通，指數(shù)低通濾波、梯形低通濾波去噪。

用小波去噪的方法，在matlab主窗口中輸入wavemenu后，在上述信號(hào)中加入高斯白噪聲，利用二維小波分析工具[8]。

從仿真圖可以看出，小波去噪效果是最好的。中值濾波，特別是巴斯低通濾波、指數(shù)低通濾波、梯形低通濾波的效果顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及小波去噪的效果。小波去噪后圖像更清晰，更接近于原始圖形。

5.結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)在matlab環(huán)境下的仿真，運(yùn)用小波去噪，保留了高頻成分，通過(guò)仿真，實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練的圖片結(jié)果表明：一維信號(hào)在小波去噪后，信號(hào)變得比加如噪聲后，好很多；二維圖片加噪聲后的圖像，小波去噪效果對(duì)比均值濾波、巴斯低通濾波、指數(shù)低通濾波、梯形低通濾波的效果，二維小波的去噪效果很好，其實(shí)在小波去噪的過(guò)程中，可以使其去噪效果更好，這個(gè)需要對(duì)小波閥值進(jìn)行深入的研究，可以找出去噪效果更好的小波去噪。

參考文獻(xiàn)

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[8]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心編著.Matlab輔助小波分析與應(yīng)用[M].電子工業(yè)出版社，2003.