新課程下的習(xí)題變式訓(xùn)練

課本例題、習(xí)題的編排是教材編寫(xiě)者匠心獨(dú)具的表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了對(duì)教材知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的、邏輯化的講授之外，還要安排學(xué)生完成教材設(shè)置的一系列針對(duì)性極強(qiáng)的數(shù)學(xué)習(xí)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)的“模擬實(shí)踐”（即解數(shù)學(xué)習(xí)題），通過(guò)這樣的活動(dòng)來(lái)達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的完全掌握。課本習(xí)題變式是高考命題教師組織試題的重要來(lái)源，命題教師往往依據(jù)各自的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)或數(shù)學(xué)活動(dòng)，從課本習(xí)題上“變式”取材。作為教師應(yīng)認(rèn)真研究教材、大綱，透徹理解編者的意圖，而不是對(duì)新知識(shí)簡(jiǎn)單的重復(fù)、模擬，更不是讓學(xué)生“依葫蘆畫(huà)瓢”。

教材中的例題與課外習(xí)題是兩個(gè)層次的數(shù)學(xué)問(wèn)題系列：例題具有典型性、簡(jiǎn)單性、及時(shí)性、針對(duì)性等特點(diǎn)；課外習(xí)題，在這個(gè)基礎(chǔ)上還體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性、滲透性、遷移性、指導(dǎo)性，其解題難度超載了課本例題的能力要求。在高中階段，總會(huì)有一部分的學(xué)生不適應(yīng)高中的數(shù)學(xué)教學(xué)方法內(nèi)容，造成成績(jī)落差大。我們針對(duì)每節(jié)內(nèi)容都出一份小練習(xí)，其中選擇題4小題，填空題2小題，再配一題解答題，難度要求分梯度，只有在最后一題的一個(gè)小題安排一個(gè)較難的問(wèn)題，這樣的小練習(xí)的容量，學(xué)生10分鐘左右就可以完成，教師再根據(jù)實(shí)際情況，用5～10分鐘的時(shí)間進(jìn)行講評(píng)，因?yàn)殡y度不高，入手容易，這樣大部分的學(xué)生都能做。而在每個(gè)章節(jié)的教學(xué)結(jié)束后，教師對(duì)教材中有意安排的一些具有典型性、綜

合性、難度相對(duì)較大的習(xí)題進(jìn)行教學(xué)研討是完全必要的。

抓住教材中代表性習(xí)題，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行探索，對(duì)提高學(xué)生思維的廣闊性與靈活性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維大有益處。以新教材人教版第二冊(cè)一道習(xí)題的變式為例，探討變式訓(xùn)練。

例1.過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1、y2，求證：y1y2=-p2（如圖1）。

這道題有兩點(diǎn)值得注意：一是拋物線的焦點(diǎn)為定點(diǎn)，二是y1y2=-p2為定值。

由此可向以下幾個(gè)方向展開(kāi)聯(lián)想，進(jìn)行探索：

一、探索拋物線的幾何性質(zhì)

變式一：直線l與y2=2px相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）。若：y1y2=

-p2，那么該直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)？

解：兩個(gè)交點(diǎn)在拋物線上，則y21=2px1，y22=2px2，

若x1=x2，則有y21=y22，∴y1=y2=p，x1=x2=。此時(shí)直線AB過(guò)焦點(diǎn)F。

若x1≠x2，則有y21=2px1，y22=2px2，兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=2p（x1-x2），

即KAB=（y1-y2）/（x1-x2）=2p/（y1+y2），

∵KAF=y1/（x1-）=2py1/（y21-p2）=2py1/（y22+y1y）=2p/（y1+y2），

∴KAB=KAF，因此A、F、B三點(diǎn)共線，直線AB過(guò)焦點(diǎn)F。

可知：AB過(guò)焦點(diǎn)的充分必要條件是y1y2=-p2。

變式二：（例1的推廣）將過(guò)焦點(diǎn)改為過(guò)定點(diǎn)M（a，0），問(wèn)y1y2是否為定值？反之，若y1y2=k為定值，那么該直線是否過(guò)一定點(diǎn)？

解：設(shè)直線AB的方程為x=ky+a，代入y2=2px中消去x，整理得：y2-2pky-2pa=0，由韋達(dá)定理知：y1y2=-2pa（定值）。反之，答案也是肯定的。

二、探索拋物線有關(guān)點(diǎn)的軌跡

變式三：如圖2，F(xiàn)為y2=2px的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，過(guò)頂點(diǎn)O作OP垂直AB于P，探求點(diǎn)P的軌跡方程。

解：設(shè)P（x，y），F(xiàn)（，0）。

由OP⊥PF，知·=0。

∵=（x，y），=（x-，y）

∴x（x-）+y2=0，化簡(jiǎn)得（x-）2+y2=p2/16

此即為點(diǎn)P的軌跡方程。

事實(shí)上，由于直線AB過(guò)定點(diǎn)F，OP⊥PF，因此點(diǎn)P在始終在OP為直徑的圓上。

變式四：與變式三相類(lèi)似，將過(guò)焦點(diǎn)改成直線AB始終過(guò)定點(diǎn)M（a，0），此時(shí)P的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓。

三、探索拋物線的弦中點(diǎn)的軌跡

變式五：F為y2=2px的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與y2=2px相交于A、B，P為AB的中的，探求P的軌跡方程。

解：設(shè)中點(diǎn)P（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），

則2x=（x1+x2），2y=（y1+y2），

則KAB=2p/（y1+y2）=p/y，

又KPF=y/（x-），

由KPF=KAB得y2=p（x-），

即為點(diǎn)P的軌跡方程。

變式六：A（x1，y1）、B（x2，y2）為y2=2px的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若y1y2=k（k為常數(shù)），P是AB中點(diǎn)，探求P的軌跡方程。

解：設(shè)中點(diǎn)P（x，y），則2x=（x1+x2），2y=（y1+y2），

由點(diǎn)A、B在拋物線上有y2=px+。此即為所求的軌跡方程。

從以上對(duì)課本習(xí)題的變式探索中，可以體會(huì)到課本習(xí)題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)價(jià)值。這一點(diǎn)為歷年高考試卷分析所確證。認(rèn)真探索課本習(xí)題的內(nèi)涵與外蘊(yùn)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，才是新課程習(xí)題練習(xí)的意義所在。

（作者單位 福建省南平市教師進(jìn)修學(xué)院）

編輯 司 楠