勾股數(shù)的探索

初中數(shù)學(xué)課本蘇科版（八年級(jí)上冊(cè)）《綜合與實(shí)踐活動(dòng)》第26頁《勾股數(shù)的探索》，課本部分內(nèi)容如下：

與直角三角形三條邊長對(duì)應(yīng)的三個(gè)正整數(shù)（a，b，c）稱為勾股數(shù).《周髀算經(jīng)》中記載的“勾三股四玄五”中的（3，4，5）就是一組最簡單的勾股數(shù).顯然，這組數(shù)的整數(shù)倍，如（6，8，10），（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股數(shù).

當(dāng)然，勾股數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，如（5，12，13），（8，15，17）等也都是勾股數(shù).

怎樣探索勾股數(shù)呢？即怎樣的一組正整數(shù)（a，b，c），才能滿足關(guān)系式a2+b2=c2？

活動(dòng)1：設(shè)（a，b，c）為一組勾股數(shù)，填表：

活動(dòng)2：（1）在表1中，a為奇數(shù)，正整數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系是_____，b、c與a2之間的關(guān)系是_____，根據(jù)以上規(guī)律，寫出勾股數(shù)（13，_____，_____）.

（2）一般的，當(dāng)a=2n+1（n為正整數(shù)）時(shí)，請(qǐng)給出計(jì)算勾股數(shù)的一組公式.

活動(dòng)3：（1）在表2中，a為大于4的偶數(shù)，正整數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系是_____，b、c與a2之間的關(guān)系是_____，根據(jù)以上規(guī)律，寫出勾股數(shù)（16，_____，_____）.

（2）一般的，當(dāng)a=2n（n>2正整數(shù)）時(shí)，請(qǐng)給出計(jì)算勾股數(shù)的一組公式.

課本答案：活動(dòng)1：40，60、61；35，48、50.

活動(dòng)2：（1）c=b+1，b+c=a2，84，85.

（2）（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）

活動(dòng)3：（1）c=b+2，b+c=a2，63，65.

（2）（2n，n2-1，n2+1）

對(duì)教材的分析與理解：

（1）對(duì)于勾股數(shù)（a，b，c）中，當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，c比b大1，即c=b+1，于是，b+c=a2，b=（a2-1）.所以，只要給定一個(gè)奇數(shù)a的值，就可以求出b的值，再求出c的值，最后求出勾股數(shù)組（a，b，c）的值.

（2）對(duì)于勾股數(shù)（a，b，c）中，當(dāng)a為大于4的偶數(shù)時(shí)，c比b大2，即c=b+2，于是，b+c=a2，b=（a2-22）.所以，只要給定一個(gè)偶數(shù)a的值，就可以求出b的值，再求出c的值，最后求出勾股數(shù)組（a，b，c）的值.

探索與發(fā)現(xiàn)：怎樣探索勾股數(shù)呢？在已知一個(gè)數(shù)a的條件下，這樣的一組正整數(shù)（a，b，c），并且滿足關(guān)系式a2+b2=c2中的正整數(shù)b和c是唯一的嗎？

請(qǐng)看下面的表3和表4：

觀察表3，當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系不僅僅是c=b+1，還可以是c=b+3，和c=b+5，c=b+7，c=b+9…b、c

與a2之間的關(guān)系又是什么呢？.

經(jīng)過仔細(xì)的觀察與思考，我們發(fā)現(xiàn)c比b大的數(shù)有1，3，5，7，9…這些數(shù)正好是a中正的真奇數(shù)因數(shù).

觀察表4，當(dāng)a為大于4的偶數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系不僅僅是c=b+2，還可以是c=b+4，和c=b+6，c=b+8，c=b+10…b、c與a2之間的關(guān)系又是什么呢？

經(jīng)過仔細(xì)的觀察與思考，我們發(fā)現(xiàn)c比b大的數(shù)有2，4，6，8，10…的這些數(shù)，正好是a中正的真偶數(shù)因數(shù).

所以，只要給出一個(gè)數(shù)a的值，我們就很快地找到a的真因數(shù)m，通過a和m的數(shù)值就可以求出b、c的值，從而求出勾股數(shù)（a，b，c）.

結(jié)論：一般的，在勾股數(shù)（a，b，c）中，a

（1）當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，m是a的真奇數(shù)因數(shù)，

則有：c=b+m，b+c=2，b=（a2-m2）.

（2）當(dāng)a為大于4的偶數(shù)時(shí)，m是a的真偶數(shù)因數(shù)，

則有：c=b+m，b+c=a2，b=（a2-m2），

運(yùn)用：（1）已知，a=21，求勾股數(shù)（a，b，c）.

解：∵a=21是奇數(shù)，∴m=1，3，7（21的真奇數(shù)因數(shù)1，3，7）.

①當(dāng)m=1時(shí)，b=（a2-m2）=（212-12）=220，c=b+m=221，

∴勾股數(shù)（a，b，c）=（21，220，221）.

②當(dāng)m=3時(shí)，b=（a2-m2）=（212-32）=72，c=b+m=75，

∴勾股數(shù)（a，b，c）=（21，72，75）.

③當(dāng)m=7時(shí)，b=（a2-m2）=（212-72）=28，c=b+m=35，

∴勾股數(shù)（a，b，c）=（21，28，35）.

∴滿足條件的勾股數(shù)（a，b，c）有三組：

即（a，b，c）=（21，220，221），（21，72，75），（21，28，35）。

（2）已知，a=24，求勾股數(shù)（a，b，c）.

解：∵a=24是偶數(shù)，∴m=2，4，6，8，12（24的真偶數(shù)因數(shù)2，4，6，8，12）

①當(dāng)m=2時(shí)，b=（a2-m2）=（242-22）=143，c=b+m=145，

∴勾股數(shù)（a，b，c）=（24，143，145）.

②當(dāng)m=4時(shí)，b=（a2-m2）=（242-42）=70，c=b+m=74，

∴勾股數(shù)（a，b，c）=（24，70，74）.

③當(dāng)m=6時(shí)，b=（a2-m2）=（242-62）=45，c=b+m=51，

∴勾股數(shù)（a，b，c）=（24，45，51）.

④當(dāng)m=8時(shí)，b=（a2-m2）=（242-82）=32，c=b+m=40，

∴勾股數(shù)（a，b，c）=（24，32，40）.

⑤當(dāng)m=12時(shí)，b=（a2-m2）=（242-122）=18，c=b+m=30，

∴勾股數(shù)（a，b，c）=（24，18，30）.

∴滿足條件的勾股數(shù)（a，b，c）有五組：

即（a，b，c）=（24，143，145），（24，70，74），（24，45，51），（24，32，40），（24，18，30）.

（作者單位 江蘇省南京市六合區(qū)瓜埠初級(jí)中學(xué)）

編輯 司 楠